TS Chimie Le lancer de poids aux championnats du monde
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P a g e |1 Le lancer de poids aux championnats du monde TS Chimie Exercice résolu Enoncé Lors des championnats du monde d'athlétisme qui eurent lieu à Paris en août 2003, le vainqueur de l'épreuve du lancer du poids, le bélarusse Andrey Mikhnevich, a réussi un jet à une distance D = 21,69 m. L'entraîneur de l'un de ses concurrents souhaite étudier ce lancer en travaillant sur le mouvement du centre d’inertie G du boulet (nom courant donné au poids). Pour cela, il dispose de la valeur v0 (mesurée avec un cinémomètre) du vecteur vitesse initiale de G et de l’altitude H du même point à la date t = 0 : v0 = 13,7 m.s-1 et H = 2,62 m. Un logiciel informatique lui permet de réaliser une simulation de ce lancer et de déterminer la valeur de l'angle du vecteur vitesse initiale avec l'horizontale : = 43,0°. y G H j L’étude est réalisée dans le repère (O, i , j ) représenté sur le schéma O ci-contre. x i L’entraîneur obtient trois graphes (pour lesquels les dates correspondant à deux points successifs sont séparées par le même intervalle de temps) : - en annexe n°1, le graphe de la trajectoire du point G représentatif de la fonction x y(x), - ci-dessous (figures 1 et 2), les graphes représentatifs des fonctions t vx(t) et t vy(t) où vx et vy sont les coordonnées du vecteur vitesse vG du point G. Figure 1 Figure 1 Lancer de poids Figure 2 Figure 2 Document : M.Moppert - CPF - Beyrouth P a g e |2 A. Première partie : étude des résultats de la simulation 1. Étude de la projection horizontale du mouvement du boulet En utilisant la figure 1, déterminer : a) La composante v0x du vecteur vitesse du point G à l'instant de date t = 0 s. b) La nature du mouvement de la projection du point G du boulet sur l'axe (Ox). c) La composante vSx vecteur vitesse du point G lorsque le boulet est au sommet S de sa trajectoire. 2. Étude des conditions initiales du lancer a) En utilisant la figure 2, déterminer la composante v0y du vecteur vitesse à l'instant de date t = 0 s. b) À partir des résultats précédents, vérifier que la valeur v0 du vecteur vitesse initiale du point G et l'angle de tir sont compatibles avec les valeurs données dans le texte. 3. Étude du vecteur vitesse du centre d'inertie du boulet a) Déterminer toutes les caractéristiques du vecteur vitesse du centre d'inertie du boulet au sommet de la trajectoire. b) Sur le graphe donné en annexe n°1, tracer le vecteur vitesse v 0 du centre d'inertie du boulet à l'instant du lancer et le vecteur vitesse vS du centre d'inertie du boulet au sommet S de la trajectoire (aucune échelle n’est exigée). B. Deuxième partie : étude théorique du mouvement du centre d’inertie du boulet Données : - le boulet est une sphère de volume V et de masse volumique = 7,10 10 - la masse volumique de l'air est ’ = 1,29 kg.m –3 - la valeur du vecteur champ de pesanteur est g = 9,80 N.kg -1 3 kg.m –3 1. a) Exprimer littéralement la valeur PA de la poussée d'Archimède exercée par l'air sur le boulet ainsi que la valeur P de son poids. b) Montrer que PA est négligeable devant P. 2. En appliquant la 2ème loi de Newton dans le référentiel terrestre supposé galiléen, déterminer l’expression du vecteur accélération aG du centre d'inertie du boulet lors du mouvement (on supposera que, compte tenu des faibles vitesses atteintes, les frottements dus à l'air au cours du jet sont négligeables). 3. a) Établir les équations horaires du mouvement du centre d’inertie du boulet. b) En déduire l’équation de la trajectoire du point G. 4. a) Calculer la portée théorique D’ du lancer. b) Arrondies à l’entier le plus proche, les valeurs de D et D’ sont-elles en cohérence ? 5. a) Calculer l’altitude maximale théorique h atteinte par le point G. b) Le résultat obtenu est-il en accord avec le graphe en annexe n°1 ? Lancer de poids Document : M.Moppert - CPF - Beyrouth P a g e |3 C. Troisième partie : comment améliorer la performance d’un lanceur ? L'entraîneur veut ensuite savoir sur quel(s) paramètre(s) il peut travailler pour améliorer la performance de l'athlète. Celui-ci est plus petit que le champion du monde : sa taille est telle que l'altitude initiale de ses lancers n'est au maximum que de H' = 2,45 m. L'entraîneur décide donc d'étudier l'influence de la valeur v0 de la vitesse initiale du lancer et de l'angle de tir . Pour cela, il réalise des séries de simulations rassemblées dans les réseaux de courbes ci-dessous (figures 3 et 4) : - sur la figure 3, l'angle de tir est maintenu constant, soit = 41,0° - sur la figure 4, la vitesse est maintenue constante, soit v0 = 13,8 m.s–1 Figure 3 Figure 4 1. À partir des figures 3 et 4, entourer, dans le tableau en annexe n°2, la proposition correcte donnant l'évolution de la portée du lancer pour : a) l'angle fixé, b) la valeur v0 fixée. 2. Confronter les figures 3 et 4 pour déterminer les combinaisons qui permettent : a) d’égaler le record du monde, b) de battre le record du monde. Lancer de poids Document : M.Moppert - CPF - Beyrouth P a g e |4 Annexe Annexe n°1 Annexe n°2 fixé Quand v0 augmente, la portée D du lancer : Lancer de poids augmente diminue reste la même augmente, passe par un maximum puis diminue diminue, passe par un minimum puis augmente v0 fixée Quand augmente, la portée D du lancer : augmente diminue reste la même augmente, passe par un maximum puis diminue diminue, passe par un minimum puis augmente Document : M.Moppert - CPF - Beyrouth P a g e |5 Corrigé A. Première partie : étude des résultats de la simulation 1. Étude de la projection horizontale du mouvement du boulet En utilisant la figure 1, déterminer : a) La composante v0x du vecteur vitesse du point G à l'instant de date t = 0 s. Par lecture graphique : v0x = 10,0 m.s-1 b) La nature du mouvement de la projection du point G du boulet sur l'axe (Ox). La composante vx est constante : le mouvement de la projection de G sur (Ox) est uniforme. c) La composante vSx vecteur vitesse du point G lorsque le boulet est au sommet S de sa trajectoire. Par lecture graphique : vSx = v0x = 10,0 m.s-1 2. Étude des conditions initiales du lancer a) En utilisant la figure 2, déterminer la composante v0y du vecteur vitesse à l'instant de date t = 0 s. Par lecture graphique : v0y = 9,0 m.s-1 b) À partir des résultats précédents, vérifier que la valeur v 0 du vecteur vitesse initiale du point G et l'angle de tir sont compatibles avec les valeurs données dans le texte. v 0 x v0 y v0 = 2 2 2 10, 0 9, 0 = 14 m.s-1 (compatible avec la donnée du texte soit : v0 = 2 arrondie à l’entier le plus proche). cos = v0 x soit : cos = v0 10, 0 14 = 0,71 et = 45° (compatible avec la donnée du texte à moins de 5% près). 3. Étude du vecteur vitesse du centre d'inertie du boulet a) Déterminer toutes les caractéristiques du vecteur vitesse du centre d'inertie du boulet au sommet de la trajectoire. Origine : le point S Direction : horizontale Sens : vers la droite 2 10, 0 0 = 10 m.s-1 vSx vSy = Valeur : vS = 2 2 b) Sur le graphe donné en annexe n°1, tracer le vecteur vitesse v du centre d'inertie du boulet à l'instant du 0 lancer et le vecteur vitesse v exigée). S du centre d'inertie du boulet au sommet S de la trajectoire (aucune échelle n’est Pour v 0 , on trace un vecteur tangent à la trajectoire à la date t =0. Pour vS , on trace un vecteur tangent à la trajectoire au point S (attention : vS < v0). B. Deuxième partie : étude théorique du mouvement du centre d’inertie du boulet 1. a) Exprimer littéralement la valeur PA de la poussée d'Archimède exercée par l'air sur le boulet ainsi que la valeur P de son poids. PA = ’.V.g et P = m.g b) Montrer que PA est négligeable devant P. P PA = m..g '.V.g => P PA = ' soit : P PA = 7,10 10 1,29 3 = 5,50 x 103 P >> PA : la poussée d’Archimède est négligeable devant le poids. Lancer de poids Document : M.Moppert - CPF - Beyrouth P a g e |6 2. En appliquant la 2ème loi de Newton dans le référentiel terrestre supposé galiléen, déterminer l’expression du vecteur accélération a du centre d'inertie du boulet lors du mouvement (on supposera que, compte tenu des faibles vitesses atteintes, les frottements dus à l'air au cours du jet sont négligeables). G Système : le boulet de masse m et de centre d’inertie G. Référentiel : terrestre, supposé galiléen. Bilan des forces : P , poids du boulet. 2ème loi de Newton : P = m. aG => m. aG = m. g => aG = g 3. a) Établir les équations horaires du mouvement du centre d’inertie du boulet. Dans le repère (O, i, j) , les coordonnées du vecteur accélération aG sont : ax = 0 et ay = - g Le vecteur accélération est la dérivée du vecteur vitesse par rapport au temps. Les coordonnées du vecteur vitesse sont donc des primitives des coordonnées du vecteur accélération : vx = cte et vy = - g.t + cte. Or, à t = 0, v0x = v0.cos et v0y = v0.sin => vx = v0.cos et vy = - g.t + v0.sin Le vecteur vitesse est la dérivée du vecteur position par rapport au temps. Les coordonnées du vecteur position (équations horaires du mouvement) sont donc des primitives des coordonnées du 1 vecteur vitesse : x = (v0.cos ).t + cte et y = .g.t2 + (v0.sin ).t + cte 2 1 Or, à t = 0, x0 = 0 et y0 = H => x = (v0.cos ).t (1) et y = - .g.t2 + (v0.sin ).t + H (2) 2 b) En déduire l’équation de la trajectoire du point G. (1) => t = => y = - 1 2 x v0 . cos . => (2) : y = - g 2 2 v0 . cos 1 2 .g.( x v0 . cos )2 + (v0.sin ).( x v0 . cos )+H .x2 + (tan ).x + H 4. a) Calculer la portée théorique D’ du lancer. La portée D’ du lancer est la valeur de x pour y = 0 => => - 0,0488.x2 + 0,933.x + 2,62 = 0 = (- 0,933)2 – ‘[4 x (-0,0488) x 2,62] = 1,382 x= 0, 933 1,382 2 0, 0488 1 2 . g 2 2 v0 . cos .x2 + (tan ).x + H = 0 = - 2,48 m et 21,6 m La valeur négative est à exclure et on obtient : D’ = 21,6 m b) Arrondies à l’entier le plus proche, les valeurs de D et D’ sont-elles en cohérence ? Les valeurs D et D’ sont en cohérence car, si on les arrondit à l’entier supérieur, on obtient : D = D’ = 22 m Lancer de poids Document : M.Moppert - CPF - Beyrouth P a g e |7 5. a) Calculer l’altitude maximale théorique h atteinte par le point G. Au point S, à la date tS, le vecteur vitesse vS est horizontale et vSy = 0 => - g.tS + v0.sin = 0 v . sin 1 et tS = 0 => h = yS = - .g.tS2 + (v0.sin ).tS + H 2 g et : h = - 1 2 .g. ( v0 . sin g 2 ) + (v0.sin ). 1 (v0 . sin ) . +H 2 g soit : h = 2 1 (v . sin ) 2 (v0 . sin ) + H => h = - . 0 ) + 2 g g g 2 Finalement : h = 2 v0 . sin 1 2 x 2 (13, 7 sin 43, 0) 9, 80 +H + 2,62 = 7,07 m b) Le résultat obtenu est-il en accord avec le graphe en annexe n°1 ? Sur le graphe, l’ordonnée du point S est sensiblement égale à 7,1 m : les résultats sont cohérents. C. Troisième partie : comment améliorer la performance d’un lanceur ? 1. À partir des figures 3 et 4, entourer, dans le tableau en annexe n°2, la proposition correcte donnant l'évolution de la portée du lancer pour : a) l'angle fixé : augmente b) la valeur v0 fixée : augmente, passe par un maximum puis diminue. 2. Confronter les figures 3 et 4 pour déterminer les combinaisons qui permettent : -1 a) d’égaler le record du monde : v0 = 13,8 m.s et = 41° b) de battre le record du monde : v0 = 14,0 m.s et = 41° Lancer de poids -1 Document : M.Moppert - CPF - Beyrouth
