Calcul II Définition de la dérivée f '(x) = lim h→0 f (x + h) − f (x) h Règles de dérivation d ( cf ) = c f ' dx d ( f ± g ) = f '± g′ dx d ( fg ) = f ' g + fg' dx d ⎛ f ⎞ f ′g − fg′ = dx ⎜⎝ g ⎟⎠ ( g )2 df df du = ⋅ dx du dx dy 1 = dx dx / dy Dérivation des fonctions élémentaires d ( constante ) = 0 dx d n x ) = nx n−1 si n ≠ 0 ( dx d (sin(x)) = cos(x) dx d ( cos(x)) = − sin(x) dx d ( tan(x)) = sec 2 (x) dx d x e ) = ex ( dx d 1 ( ln(x)) = dx x Définition des fonctions trigonométriques Opposé Hypothénuse Adjacent cos(x) = Hypothénuse Opposé sin(x) tan(x) = = Adjacent cos(x) sin(x) = Hypothénuse 1 = Opposé sin(x) Hypothénuse 1 sec(x) = = Adjacent cos(x) Adjacent 1 cos(x) cot(x) = = = Opposé tan(x) sin(x) csc(x) = Identités trigonométriques Sommes importantes sin (x) + cos (x) = 1 2 2 n ∑1 =n 1+ tan 2 (x) = sec 2 (x) 1+ cot (x) = csc (x) 1− cos(2x) sin 2 (x) = 2 1+ cos(2x) cos 2 (x) = 2 1 sin(x)cos(x) = sin(2x) 2 1 sin(x)cos(y) = [ sin(x − y) + sin(x + y)] 2 1 sin(x)sin(y) = [ cos(x − y) − cos(x + y)] 2 1 cos(x)cos(y) = [ cos(x − y) + cos(x + y)] 2 2 i=1 n 2 Définition de l’intégrale définie n b b−a ⎛ (b − a)i ⎞ f (x)dx = lim f a + ∑ ⎜ ⎟ ∫a n→∞ ⎝ n n ⎠ i=1 ∑i = i=1 n ∑i i=1 ∫ b a f ′(x)dx = f (b) − f (a) d x f (t)dt = f (x) dx ∫a = n(n + 1)(2n + 1) 6 n(n + 1) ∑ i = ⎡⎢⎣ 2 ⎤⎥⎦ i=1 n 2 3 Propriétés de l’intégrale définie ∫ a ∫ a ∫ b ∫ b ∫ b a b a a a Théorème fondamental du calcul 2 n(n + 1) 2 f dx = 0 b f dx = − ∫ f dx a c b f dx = ∫ f dx + ∫ f dx a c b b a a ( f ± g)dx = ∫ f dx ± ∫ gdx b k fdx = k ∫ f dx a Formule quadratique Si ax 2 + bx + c = 0 −b ± b 2 − 4ac Alors x = 2a Règle de l’Hospital f (x) 0 ∞ Si lim est de la forme ou x→a g(x) 0 ∞ f (x) f ′(x) alors lim = lim x→a g(x) x→a g′ (x) Formes indéterminées Forme 0 ∞ ou 0 ∞ Utiliser directement la règle de l’Hospital 0 ⋅(±∞) Transformer f (x)g(x) sous la f (x) forme 1 / g(x) puis règle de l’Hospital ∞−∞ Factoriser, utiliser des identités trigonométrique ou des dénominateurs commun pour nous permettre d’utiliser la règle de l’Hospital Algèbre des limites Si chacune des limites ci dessous existe, alors: lim cf (x) = c lim f (x) x→a x→a lim ( f (x) ± g(x)) = lim f (x) ± lim g(x) x→a x→a x→a lim ( f (x)g(x)) = lim f (x)lim g(x) x→a x→a lim f (x) f (x) lim = x→a g(x) lim g(x) x→a Quoi faire 0 0 , ∞ 0 ou 1±∞ Utiliser des logarithmes pour obtenir une des formes ci dessus x→a x→a De plus, si f est une fonction continue, alors: ( lim f (g(x)) = f lim g(x) x→a x→a ) Changement de variables ∫ f (g(x))g′(x)dx = ∫ f (x)dx ∫ b a f (g(x))g′(x)dx = ∫ g(b) g(a) f (x)dx Formules de base pour l’intégration x n+1 ∫ x dx = n + 1 + C, n si n ≠ −1 1 ∫ x dx = ln x + C ∫ cos(x)dx = sin(x) + C ∫ sin(x)dx = − cos(x) + C ∫ tan(x)dx = − ln cos(x) + C ∫ cot(x)dx = ln sin(x) + C ∫ sec(x)dx = ln sec(x) + tan(x) + C ∫ csc(x)dx = − ln csc(x) + cot(x) + C ∫ sec (x)dx = tan(x) + C ∫ csc (x)dx = − cot(x) + C 2 2 si g′(x) ≠ 0 sur (a,b) Intégration par partie ∫ sec(x)tan(x)dx = sec(x) + C ∫ csc(x)cot(x)dx = − csc(x) + C ∫ e dx = e + C x x ax ∫ a dx = ln(a) + C 1 ∫ 1− x 2 dx = arcsin(x) + C 1 ∫ 1+ x 2 dx = arctan(x) + C 1 ∫ x x 2 − 1dx = arcsec(x) + C x ∫ udv = uv − ∫ vdu Différentielles Δx = b − a Δy = f (b) − f (a) dx = Δx dy = f '(a)dx Si Δx est petit Δy ≈ dy Intégration des fonctions trigonométriques Forme Méthode ∫ sin (ax)dx Si n est impair, conserver une copie de sin(ax) et remplacer les autres en cosinus. Faites ensuite un changement de variable. n Si n est pair, utiliser l’identité sin 2 (ax) = 1− cos(2ax) et calculer le produit. 2 ∫ cos (ax)dx Comme précédemment en inversant sin et cos. ∫ sin Si m ou n est un entier impair plus grand ou égal à 3, on remplace la fonction ayant un exposant impair en utilisant sin 2 (ax) + cos 2 (ax) = 1 n m (ax)cos n (ax)dx Si m et n sont pairs, utiliser les identités suivante: 1− cos(2ax) 1+ cos(2ax) 1 sin 2 (ax) = , c os 2 (ax) = et sin(ax)cos(ax) = sin(2ax) 2 2 2 1 n ∫ (sin(ax)cos(bx)) dx Utiliser l’identité sin(ax)cos(by) = 2 [sin(ax − by) + sin(ax + by)] 1 n Utiliser l’identité sin(ax)sin(by) = [ cos(ax − by) − cos(ax + by)] sin(ax)sin(bx) dx ( ) ∫ 2 1 n ∫ ( cos(ax)cos(bx)) dx Utiliser l’identité cos(ax)cos(by) = 2 [ cos(ax − by) + cos(ax + by)] ∫ tan (ax)dx Utiliser l’identité 1+ tan 2 (ax) = sec 2 (ax) pour remplacer un tan 2 (ax) Ensuite on fait un changement de variable. n ∫ sec (ax)dx 2 Si n est pair, conserver une copie de sec (ax) et transformer les autre en utilisant l’identité 1+ tan 2 (ax) = sec 2 (ax) n Si n est impair, utiliser l’intégration par partie. n m ∫ sec (ax)tan (ax)dx Si n est pair, isoler un sec 2 (ax) et transformer les reste des sécantes en tangentes à l’aide de l’identités 1+ tan 2 (ax) = sec 2 (ax) Si n et m sont impairs, isoler sec(ax)tan(ax) et transformer le reste des 2 2 tangentes en sécantes à l’aide de l’identité 1+ tan (ax) = sec (ax) Si n est impair et m est pair, utiliser l’identité 1+ tan 2 (ax) = sec 2 (ax) pour retrouver seulement des sécantes. Valeurs des fonctions trigonométriques à connaître Radian 0 π/6 sin(x) 0 1/ 2 cos(x) 1 tan(x) 0 1/ 3 3/2 π/4 π/3 π/2 Radian 0 π/6 π/4 π/3 π/2 2 2 2/ 3 1 2 /2 3/2 1 csc(x) ∃/ 2 /2 1/ 2 0 sec(x) 1 2/ 3 2 2 ∃/ 3 ∃/ cot(x) ∃/ 3 1 1/ 3 0 1 Substitutions trigonométrique Forme Substitution 2 x = asin(θ ) a2 + x 2 x = a tan(θ ) x 2 − a2 x = asec(θ ) a x = sin(θ ) b a x = tan(θ ) b a x = sec(θ ) b a −x 2 a2 − b2 x 2 a2 + b2 x 2 b2 x 2 − a2 ax 2 + bx + c Décomposition en fractions partielles Si le degré du numérateur est supérieur ou égal à celui du dénominateur, effectuer la division euclidienne. Chaque facteur de la forme (x + a)n au dénominateur donnera n fractions de la forme: A1 A2 A3 An + + + ...+ 2 3 (x + a) (x + a) (x + a) (x + a)n 2 n Chaque facteur de la forme (x + bx + c) au dénominateur donnera n fractions de la forme: A1 x + B1 A x + B2 A x + Bn + 22 + ...+ 2 n 2 2 (x + bx + c) (x + bx + c) (x + bx + c)n Complétez le carré Volumes de révolution Longueurs de courbes Aire des surfaces de révolution b Méthode des disques: b V = ∫ πr2E L=∫ b a A = ∫ 2π f (x) 1+ ( f ′(x))2 dx 1+ ( f ′(x)) dx 2 a a Méthode des tubes b V = ∫ 2π rHE a Graphique de quelques fonctions usuelles ln(x) x e sin(x) x cos(x) tan(x)