Seulement les équivalences logiques simples sont utilisées dans

Seulement les équivalences logiques simples sont utilisées dans les
preuves mathématiques. Il faut les reconnaître.
Par exemple :
(P ↔ Q) ⇔ ((P → Q) ∧ (Q → P)) ;
(P → Q) ⇔ (¬Q → ¬P) ⇔ (¬P ∨ Q).
(Sont déjà montrés.)
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Soient P et Q deux proposition logiques en mathématiques.
Supposons on veut montrer :
Théorème
P → Q.
C.-à-d., on veut montrer que cette proposition logique P → Q est
vraie (preuve directe).
À cause de l’équivalence avant, il suffit de montrer que
l’implication (¬Q → ¬P) est vraie (preuve indirecte), ou que la
proposition (¬P ∨ Q) est vraie.
Donc il y a logiquement trois façons de montrer le théorème.
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Exemple.
Soit donné un nombre n ∈ Z.
Il faut montrer :
S’il existe un nombre m ∈ Z tel que n = m2 alors n ≥ 0.
Il y a trois façons !
(Ce qui a été fait au tableau noir en classe.)
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Exemple.
Soit donné un nombre n ∈ Z.
Il faut montrer :
Si n est premier et n > 2 alors n est impair.
Il y a trois façons.
(Ce qui a été fait au tableau noir en classe.)
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Preuve directe typique :
Si P est fausse, l’implication P → Q est automatiquement vraie et
il y aura rien à faire (Cette phrase est souvent omise).
Supposons P est vraie. Puis (avec cette hypothèse et avec de l’aide
des théorèmes déjà montrés), on montre que Q serait en
conséquence aussi vraie.
Ainsi on aura montré que P → Q est vraie.
En math : si on écrit "On veut montrer P" ça veut dire "On veut
montrer que la proposition logique P est vraie."
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Preuve indirecte typique :
Il suffit de montrer la contraposé (¬Q) → (¬P).
Si ¬Q est faux (c.-à-d., Q est vraie), l’implication est
automatiquement vraie. (Cette phrase est souvent omise).
Supposons Q est fausse. Puis (avec cette hypothèse et avec de
l’aide des théorèmes déjà montrés), on montre que P sera aussi
fausse.
On aura montré que P → Q est vraie.
Différence : avec une preuve directe on peut travailler avec
l’hypothèse que P est vraie pour montrer qu’alors Q est aussi vraie.
Avec une preuve indirecte on peut travailler avec l’hypothèse que
Q est faux pour montrer qu’alors P est aussi faux.
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Troisième type de preuve : Il suffit de montrer que (¬P ∨ Q) est
vraie ou que ce n’est pas fausse.
On montre qu’en supposant par contre que c’est fausse, c-à-d. P
soit vraie ET Q soit fausse on pourrait déduire une absurdité,
comme un certain nombre entier serait au même temps pair et
impair. Absurde. Alors on conclut.
Différence : avec une telle preuve on commence par l’hypothèse
généreuse que P est vraie ET Q est fausse. Avec cette hypothèse
on travaille pour obtenir une absurdité.
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Mais faites attention : on ne doit pas mixer les hypothèse et les
conclusions des trois types de preuves !
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Rappel :
La contraposée de p → q est par définition la proposition
(¬q) → (¬p).
(faute d’écriture du manuel p. 7 : ne laissez-vous pas distraire).
La réciproque de p → q est par définition la proposition q → p.
Montré :
la proposition p → q et sa contraposée sont logiquement
équivalentes :
(p → q) ⇔ (¬q → ¬p).
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Et
p ↔ q est vraie si et seulement p → q et sa reciproque sont vraies :
(p ↔ q) ⇔ ((p → q) ∧ (q → p))
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Qu’est-ce que vous en pensez :
q → p est une sorte d’opposé de p → q (sa réciproque)
et
l’opposé de (q → p) est ¬(q → p)
et donc
p → q est la même chose que ¬(q → p).
Ou, dans la langue de la semaine passée, ça semble que
(p → q) ⇔ ¬(q → p) ?
Raisonable ? Logique ?
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Vous avez des doutes ?
Vérifions :
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p→q
V
F
V
V
q→p
V
V
F
V
¬(q → p)
F
F
V
F
(p → q) ↔ (¬(q → p))
F
V
V
F
NON, c’est une contre-vérité !
Il faut aiguiser le sens critique.
En effet : q → p n’est pas l’opposé de p → q.
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Qu’est-ce que vous en pensez :
E : "...... on a déjà montré que p implique q.... alors q est vraie et
......"
P : "Non, on n’a pas le droit"
E : "Mais, en supposant que p est vraie j’ai montré que q est vraie,
n’est-ce pas ? Alors q est vraie, non ?"
P : "Non !, seulement en supposant p vrai, mais si p est faux ? ! "
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C’est incontestablement vrai que :
(”0 = 1”) → "Dieu existe".
Bon.
Il suit donc que "Dieu existe" ? !
Non.
Il suit que "Dieu n’existe pas" ? !
Non.
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Mais
" .....on sait que p est vraie et que ça implique q, donc q est vraie
...."
ou
"...... on a déjà montré que p implique q, et on a montré que p est
vraie.... alors q est vrai et ......"
sont des raisonnements logiquement corrects, basée sur la
tautologie modus ponens :
(p ∧ (p → q)) ⇒ q
(c.-à-d, toujours vraie, n’importe p et q).
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Considérons P :="S’il fait beau je vais nager cet après-midi. Il fait
beau. Donc je vais nager cet après-midi."
Vraie ou Fausse ?
Analyse.
Posons :
p :="il fait beau"
q :=" je vais nager cet après-midi".
Donc :
p → q = "S’il fait beau je vais nager cet après-midi."
P = [(p → q) ∧ p] → q.
Donc P est vraie par modus ponens ! !
Est-ce que "il fait beau" ? est-ce que " je vais nager cet
après-midi" ? est ce que "" S’il fait beau je vais nager cet
après-midi" ? Qui sait. Mais P est vraie.
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Est-ce que la preuve suivante est logiqement correcte ?
Proposition
Soit A, B deux ensembles finis et F : A → B une fonction donnée
par la notation "deux-lignes" (sans répétitions dans la première
ligne).
Cette fonction est injective si et seulement si chaque élément de B
se trouve au maximum une fois sur la 2-ième ligne.
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Démonstration.
Montrons par une preuve directe que l’hypothèse que chaque
élément de B se trouve au maximum une fois sur la deuxième ligne
implique la conclusion que F est injective.
Soient a et a0 des éléments de A tels que b = F (a) = F (a0 ). Ces
deux éléments a et a0 se trouvent sur la première ligne, c’est à dire
ils existent i et j tels que a = ai et a0 = aj et donc
F (a) = F (ai ) = fi , F (a0 ) = f (aj ) = fj . Nous avons que b = fi = fj .
Mais b se trouve au maximum une fois sur la 2-ième ligne. Ça veut
dire i = j et donc a = ai = aj = a0 . Alors nous avons montré que
F est injective (si chaque élément de B se trouve au maximum une
fois sur la deuxième ligne).
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Démonstration.
Puis, nous allons montrer par une preuve indirecte que si on
suppose que F est injective alors chaque élément de B se trouve au
maximum une fois sur la deuxième ligne.
Supposons b ∈ B se trouve au moins deux fois sur la 2-ième ligne,
disons à positions i et j (i 6= j). Donc b = fi = fj . Mais fi = F (ai )
et fj = F (aj ), alors F (ai ) = F (aj ) et ai 6= aj . Donc F n’est pas
injective. On conclut la preuve indirecte que si F est injective alors
chaque élément de B se trouve au maximum une fois sur la
deuxième ligne.
Ça finit la preuve de la proposition !
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Analyse logique.
P :=" La fonction F est injective " et
Q :="Chaque élément de B se trouve au maximum une fois sur la
2-ième ligne".
Il faut montrer P ↔ Q est vraie.
Parce que (P ↔ Q) ⇔ ((P → Q) ∧ (Q → P)) il suffit de montrer
que P → Q et Q → P sont vraies.
On montre les deux implications. Q → P par une preuve directe et
P → Q par une preuve indirecte.
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Pour la preuve Q → P :
On suppose que Q est vraie. Sous sette hypothèse on montre que
P n’est pas fausse, donc vraie. Donc sous l’hypothèse que Q est
vraie, on a montré que P serait nécessairement vraie aussi. Ainsi
Q → P est montré.
Pour la preuve P → Q :
On suppose que Q est fausse. Sous cette hypothèse que Q est
fausse on montre que P est fausse aussi. Ainsi P → Q est montré.
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Il faut remarquer plus.
Dans la preuve Q → P on suppose Q vraie. Puis on suppose P
fausse.
En utilisant ça on montre Q fausse. Mais Q ne peut pas être
simultanément vraie et fausse : absurde, impossible ! Donc (sous
l’hypothèse que Q vraie, ce n’est pas possible que P est fausse.
Donc P vraie.
Ceci est une preuve du troisième type "par l’absurde" d’un
sous-résultat (ou un lemme si vous voulez).
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Plus généralement : Preuve par l’absurde.
Si en supposant qu’une proposition P soit fausse, on peut
argumenter qu’une autre proposition soit simultanément vraie et
fausse (une contradiction), ce qui est absurde. Dans ce cas P est
nécessairement vraie ! !
C’est une preuve par l’absurde, ou une preuve par contradiction.
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Règles d’inférence
Si P et Q sont deux formules logiques telles que P → Q est une
tautologie, on dit que c’est une règle d’inférence et on écrit
P⇒Q
alors si P est vraie alors AUTOMATIQUEMENT aussi Q est vraie.
Mais si P est fausse, nous ne pouvons rien conclure a propos Q.
Par exemple, proposition logique :
(p ∧ (p → q)) ⇒ q
une règle d’inférence appelée classiquement modus ponens.
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Règles d’inférence déjà utilisés correctement par vous tous les
jours :
p ⇒ (p ∨ q)
(p ∧ q) ⇒ p
(p ∨ q) ∧ (¬p) ⇒ q.
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Un peu d’attention, mais bien "connues" aussi :
(¬q ∧ (p → q) ⇒ ¬p (modus tollens)
et
(p → q) ∧ (q → r ) ⇒ (p → r ) (syllogisme par hypothèse)
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Pour montrer modus tollens en utilisant modus ponens
(p ∧ (p → q)) ⇒ q.
Faisons les substitutions p par ¬q et q par ¬p (on a le droit !) :
(¬q ∧ (¬q → ¬p)) ⇒ ¬p.
Puis utilisons l’équivalence logique
(¬q → ¬p) ⇔ (p → q)
nous obtenons modus tollens :
(¬q ∧ (p → q) ⇒ ¬p.
Autre preuve par tableau !
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On peut combiner des règles d’inférence et les équivalences
logiques :
Si P ⇒ Q et Q ⇒ R alors aussi P ⇒ R.
Et
P ⇔ Q si et seulement si P ⇒ Q et Q ⇒ P.
Exemple :
[(p ∨ q) → r ] ⇔ (p → r ) ∧ (q → r )
implique la règle d’inférence
[(p → r ) ∧ (q → r )] ⇒ [(p ∨ q) → r ]
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Preuve algébrique de l’équivalence logique
[(p ∨ q) → r ] ⇔ (p → r ) ∧ (q → r ).
[(p ∨ q) → r ] ⇔ ¬(p ∨ q) ∨ r ( Car p → q ⇔ ¬p ∨ q)
⇔ (¬p ∧ ¬q) ∨ r ( Par De Morgan)
⇔ (¬p ∨ r ) ∧ (¬q ∨ r ) ( Par distr.)
⇔ (p → r ) ∧ (q → r ) ( Car p → q ⇔ ¬p ∨ q)
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Rappel : (p ∧ (p → q)) → q est une proposition logique toujours
vraie, n’importe les propositions p et q.
Preuve par tableau :
p q p → q p ∧ (p → q)
V V
V
V
V F
F
F
F V
V
F
F F
V
F
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[p ∧ (p → q)] → q
V
V
V
V
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Une preuve directe :
Supposons l’hypothèse est vraie ; c.-à-d., p et p → q sont supposés
vraies.
p → q vraie veut dire par définition : soit (i) p est fausse, soit (ii)
p et q sont vraies. Un des deux cas.
Mais on a supposé p est vraie, donc c’est cas (ii). Ce qui implique
que q est vraie aussi.
Donc si l’hypothèse est vraie, la conclusion est vraie aussi. Cet
implication est vraie.
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(p ∧ (p → q)) → q est une proposition logique toujours vraie,
n’importe les propositions p et q.
En particulier, si p est remplacé par une autre proposition logique,
et q aussi par une autre proposition logique alors l’implication reste
vraie.
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Exemple : remplace "p" partout dans la formule par q ∨ (r → s)
et "q" partout par p → s. On obtient que la proposition logique
suivante est aussi automatiquement VRAIE :
([q ∨ (r → s)] ∧ ([q ∨ (r → s)] → [p → s])) → [p → s]
Une autre règle d’inférence (mais pas intéressante) :
([q ∨ (r → s)] ∧ ([q ∨ (r → s)] → [p → s])) ⇒ [p → s]
(attention aux ()’s et [ ]’s).
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Preuve de
(¬q ∧ (p → q)) ⇒ ¬p (modus tollens),
Commençons par modus ponens
(p ∧ (p → q)) ⇒ q.
Faisons partout les substitutions p par ¬q et q par ¬p (on a le
droit !) :
(¬q ∧ (¬q → ¬p)) ⇒ ¬p.
Puis utilisons l’équivalence logique
(¬q → ¬p) ⇔ (p → q)
nous obtenons modus tollens :
(¬q ∧ (p → q)) ⇒ ¬p.
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"S’il fait beau je vais nager cet après-midi. Je ne vais pas nager cet
après-midi. Donc il ne fait pas beau."
Cette proposition composée (ou cet argument) est vraie par modus
tollens.
Mais je ne sais pas si "S’il fait beau je vais nager cet après-midi"
est vraie ou fausse ! !
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"S’il fait beau je vais nager cet après-midi. Si je vais nager cet
après-midi, je dormirai bien ce soir. Donc s’il fait beau je dormirai
bien se soir."
Cette proposition composée (ou cet argument) est vraie, par
((p → q) ∧ (q → r )) ⇒ (p → r ) (syllogisme par hypothèse)
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On peut combiner des règles d’inférence et les équivalences
logiques :
Si P ⇒ Q et Q ⇒ R alors aussi P ⇒ R.
Et
P ⇔ Q si et seulement si P ⇒ Q et Q ⇒ P.
Exemple :
[(p ∨ q) → r ] ⇔ (p → r ) ∧ (q → r )
implique la règle d’inférence
[(p → r ) ∧ (q → r )] ⇒ [(p ∨ q) → r ]
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Preuve algébrique de l’équivalence logique
[(p ∨ q) → r ] ⇔ (p → r ) ∧ (q → r ).
[(p ∨ q) → r ] ⇔ ¬(p ∨ q) ∨ r (Car (p → q) ⇔ (¬p ∨ q))
⇔ (¬p ∧ ¬q) ∨ r (Par De Morgan)
⇔ (¬p ∨ r ) ∧ (¬q ∨ r ) (Par distr.)
⇔ (p → r ) ∧ (q → r ) (Car (p → q) ⇔ (¬p ∨ q))
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Qu’est-ce que vous pensez :
"C’est certain que si quelqu’un fait beaucoup des haltères il sera
fort. Vous êtes fort. Donc vous devez avoir faites beaucoup des
haltères. Non ?"
Non, ce n’est pas un argument acceptable.
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Une formule qui n’est pas une tautologie est appelée : contrevérité.
Par exemple :
P(p, q) := [(p → q) ∧ q] → p
n’est PAS une tautologie, donc une contrevérité, car si p est fausse
et q vraie, alors P est fausse.
Si on sait seulement que q est vraie, on ne sait pas encore si P est
vraie ou fausse ! Considérons :
"... ainsi on a montré que p implique q. Parce que on sait aussi
que q est vraie, on conclut que p est aussi vraie. "
cet argument n’est pas logiquement correct, évidemment.
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Qu’est-ce que vous pensez :
"C’est certain que si quelqu’un fait beaucoup des haltères il sera
fort. Vous ne faites pas beaucoup des haltères. Donc vous ne serez
pas fort !"
"L’argument" est basée sur une autre contrevérité "utilisée"
souvent :
P := [(p → q) ∧ ¬p] → ¬q
Donc ce n’est pas acceptable comme argument.
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Considérons l’argument :
P :=" Si 32085 est divisible par 13, alors 320852 est divisible par
132 = 169. Le nombre 32085 est divisible par 13. Par conséquent,
320852 est divisible par 169".
Analyse : posons p ="32085 est divisible par 13", q :="320852 est
divisible par 132 = 169". Alors P = [(p → q) ∧ p] → q.
Donc P est vraie par modus ponens !
Cet argument P est valide, alors on peut conclure que 320852 est
divisible par 169.
Qu’est-ce que vous pensez ?
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2
Calculatrice : 32085
169 = 6091403.69822....
Hè ? ! On doit avoir fait une petite erreur quelque part !
En effet.
"Cet argument est valide, alors 320852 est divisible par 169"
est basée sur une contre-vérité
([(p → q) ∧ p] → q) → q
(si c’est une tautologie et son hypothèse P est vraie (ce qui est le
cas), alors par modus ponens, en effet q serait vraie aussi. Mais.....)
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Partie d’un argument :
"... bla bla bla bla bla bla bla bla bla bla bla bla bla
bla bla bla supposons p vraie bla bla bla
Puis on donne encore plus d’arguments,
bla bla bla bla bla bla bla bla bla bla bla bla bla
ce qui montre finalement que p est vraie.
Donc nous avons montré que p est vraie !"
On suppose p est vraie pour montrer que p est vraie. Hmmm.
Raisonnement circulaire.
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Preuve par l’absurde ou Reductio ad absurdum
Une telle preuve peut être basée sur la règle d’inférence :
[(¬p → (q ∧ ¬q)] ⇒ p
ou sur la règle
[(¬p → q) ∧ ¬q] ⇒ p
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Supposons on veut montrer qu’une proposition p est vraie.
En supposant p est fausse, on montre une proposition auxiliaire
disons q. Alors que ¬p → q est vraie.
Puis on montre (ou on sait déjà) que son opposé ¬q est vraie.
Donc l’hypothèse de la règle d’inférence est vraie :
[(¬p → q) ∧ ¬q] ⇒ p.
C’est une règle d’inférence, donc aussi la conclusion p est vraie.
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Soient A et B deux ensembles et F : A → B et G : B → A deux
fonctions telles que G ◦ F = 1A .
Considérons la proposition logique
p :="F est injective".
Preuve par l’absurde : Supposons p est faux, c.-à-d., F n’est pas
injective. Par définition d’injectivité, ils existent deux éléments
a1 , a2 de A telles que F (a1 ) = F (a2 ), mais a1 6= a2 . Parce que
G ◦ F = 1A on a
a1 = 1A (a1 ) = G(F (a1 )) = G(F (a2 )) = 1A (a2 ) = a2 .
Donc sous l’hypothèse que p est fausse, on a montré la proposition
q :="ils existent a1 , a2 dans A tels que a1 = a2 et a1 6= a2 " est
vraie. Ce qui est absurde, car son opposé, ¬q, est vraie.
On conclut p est vraie.
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Soit P une proposition en mathématiques.
Théorème
P
Preuve par l’absurde typique.
Supposons P est fausse. Puis (avec cette hypothèse et avec de
l’aide de théorèmes déjà montrés) on montre une proposition
auxiliaire, disons q. Puis on montre directement (sans utiliser
l’hypothèse que P est fausse) que q est fausse. Ce qui serait
absurde.
On conclut : P est vraie.
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Un cas spécial. Soient P et Q deux propositions en mathématiques.
Théorème
P→Q
Preuve par l’absurde typique.
Supposons P → Q est fausse, c.-à-d., supposons P vraie et Q
fausse. Puis (avec ces deux hypothèses et avec de l’aide de
théorèmes déjà montrés) on montre une proposition auxiliaire,
disons r . Puis on montre directement (sans utiliser l’hypothèse que
P → Q est fausse) que r est fausse. Ce qui serait absurde.
On conclut : P → Q est vraie.
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Si on veut montrer P → Q il y a trois types de preuves typiques,
trois stratégies.
Preuve directe. Avec l’hypothèse P on montre (avec de l’aide de
théorèmes déjà établis) Q.
Preuve indirecte. Avec l’hypothèse ¬Q on montre (avec de l’aide
de théorèmes déjà établis) ¬P.
Preuve par l’absurde. Avec les hypothèse P et ¬Q on montre (avec
de l’aide de théorèmes déjà établis) une absurdité auxiliaire.
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Il y a des liens entre la logique et la théorie des ensembles.
Soit A ⊆ U et B ⊆ U deux sous-ensembles.
Fixons un u ∈ U et considérons :
p :="u ∈ A"
q :="u ∈ B".
Alors
p ∧ q= "u ∈ A"∧ "u ∈ B" = "u ∈ A et u ∈ B"="u ∈ A ∩ B" (par
définition de ∩.
Et
p ∨ q= "u ∈ A" ∨ "u ∈ B" = "u ∈ A ou u ∈ B"="u ∈ A ∪ B" (par
définition de ∪.
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