Récap statistiques usuelles

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International
Tableau des statistiques les plus utilisées
(MAT2080, FIN3500, etc.)
Définitions:
N: Taille de la population
n: Taille de l'échantillon
xi: i-ème observation de la variable
varia
X dans l'échantillon
ni: Effectif associé à la i-ème
ème valeur de la variable
fi: Fréquence associée à la i-ème
i
valeur de la variable fi = ni / n ; 0 ≤ fi ≤ 1
Xi: i-ème observation de la varia
variable X dans la population
pi: probabilité de la i-ème
ème observation de la variable 0 ≤ pi ≤ 1
Moyenne:
- dans l'échantillon n: x̄ ,
- dans la population N: µ ;
Ou en proba: espérance
E(X)
2
Série de données
Distribution
[univers équipondéré]
[univers probabiliste]
1. x̄ = Σ xi / n
1. x̄ = Σ (xi.fi)
2. µ = Σ Xi / N
2. µ = Σ (Xi.fi)
La moyenne est la somme
des observations divisée par n
(N)
3. E(X) = Σ (Xi.pi)
2
2
Variance σ et écart-type σ
1. σ = Σ (xi - x̄) / N
(quand la population N est de
petite taille )
2. σ = √ σ
2
La variance est la somme des
écarts à la moyenne au carré
divisée par N
L'écart-type est égal à la
racine carrée de la variance
(la variance est égale au carré
de l'écart-type)
La moyenne est la somme
pondérée des observations
2
2
1. σ = Σ (xi - x̄) .fi
2. σ = √ σ
2
En proba:
2
1. Var(X) = Σ (Xi - E(X)) . pi
2. σ = √ Var(X)
La variance est la somme
pondérée des écarts à la
moyenne au carré.
2
2
s=√s
écart-type corrigé s
(quand on utilise un
échantillon pour estimer la
variance de la population)
2
s = Σ (xi - x̄ ) / (n-1)
Variance corrigée s et
2
La variance corrigée est la somme des écarts à la moyenne au
carré divisée par (n-1)
L'écart-type corrigé est égal à la racine carrée de la variance
corrigée (la variance corrigée est égale au carré de l'écart-type
corrigé)
Modèle de transformation
linéaire
Y = a + b.X ( ou Y = b0 + b1.X ou Y = α + β. X )
Y est la variable dépendante et X la variable indépendante
ou régression simple
[En finance, le Médaf (ou CAPM): E(Ri) = rf + β.(E(Rm) - rf) est
un modèle de transformation affine]
Covariance σxy
(quand la population N est de
petite taille )
σxy = Σ [(xi - x̄ ). (yi - ӯ)] / N
σxy = Σ [(xi - x̄ ). (yi - ӯ)]. fi
ou
En proba:
σxy = ρ. σx.σy [cf. corrélation]
Cov(X,Y) = Σ [(xi - x̄ ). (yi - ӯ)].
pi
La covariance est la somme
des produits des écarts à la
moyenne des variables
divisée par N.
La covariance est la somme
pondérée des produits des
écarts à la moyenne des
variables.
La covariance est égale au
produit de la corrélation et des
écarts-type des variables.
Covariance corrigée sxy
sxy = Σ [(xi - x̄ ). (yi - ӯ)] / N
ou
sxy = r. sx.sy [cf. corrélation]
La covariance est la somme des produits des écarts à la
moyenne des variables divisée par N.
La covariance est égale au produit de la corrélation et des
écarts-type des variables.
Corrélation r ou ρ
Dans un échantillon:
r = sxy / sx.sy
Dans la population:
ρ = σxy / σx.σy
La corrélation est le rapport de la covariance (corrigée) entre
les variables et du produit des écarts-type (corrigés) des
variables
2
Pente b ou β
2
b = sxy / sx ou β = σxy / σx
La pente est le rapport de la covariance (corrigée) entre les
variables et de la variance (corrigée) de la variable
indépendante (X)
[Dans le Médaf, le bêta est égal à la covariance entre le
rendement du titre et le rendement du marché, divisée par la
variance du rendement du marché]
Modèle de régression à 2
variables
Z = a.X + b.Y
Moyenne ou espérance
Variance
E(Z) = a.E(X) + b.E(Y)
2
Var(Z) = a .Var(X) + b2.Var(Y) + 2.a.b.cov(X,Y)
[En finance, en gestion de portefeuille, vous cherchez à
minimiser votre risque c-a-d l'écart-type de votre portefeuille.
Vous cherchez donc des titres négativement corrélés. En effet,
seule une corrélation négative permet de réduire la variance du
portefeuille (c-a-d rendre la covariance négative)]
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