troisième CC, avec correction rapide

Université de Rennes 1
Module PS1 (Probabilités et Statistiques 1)
Année 2012-2013
Contrôle continu 3
Exercice 1
suivantes :
Soit X une variable aléatoire de loi uniforme sur [0, 10]. Calculer les probabilités
(a) P (X < 3)
(b) P (X > 6)
(c) P (3 < X < 8)
Exercice 2
(a) Donner la fonction de répartition (Erreur ! On voulait dire la densité) de la loi normale de
moyenne 5 et de variance 9.
(b) Quelle est l’espérance et la variance de la variable de densité
2 exp(−2x) si x > 0
f (x) =
0
si x < 0
(c) Supposons que X est une variable aléatoire continue dont la densité est de la forme
c · x2 si x ∈ [0, 1]
f (x) =
0
sinon.
Déterminer c.
Exercice 3
La fonction de densité de X, variable aléatoire représentant la durée de vie en années
d’un certain composant électronique, est donnée par :
3
si x > 1
x4
f (x) =
0 sinon.
(a) Quelle est la fonction de répartition de X ?
(b) Trouver P (X > 3)
(c) Quelle est la probabilité que, parmi 10 composants, au moins 9 d’entre eux fonctionnent durant
au moins 3 années ? (Donnez la formule, pas besoin de calculer la valeur numérique.)
(d) Trouver la médiane de X.
(e) Calculer l’espérance de X.
(f) Calculer la variance de X.
1
Correction du contrôle continu 3
Exercice 1
(b)
(c)
R3
1
3
0 10 dx = 10
R 10 1
P (X > 6) = 6 10
dx = 25
R8 1
P (3 < X < 8) = 3 10
dx = 12
(a) P (X < 3) =
Exercice 2
(a) f (x) =
√1
3 2π
2
exp(− (x−5)
18 )
(b) C’est une variable de loi exponentielle de paramètre 2, donc l’espérance est 12 et la variance est
h 3 i1
R +∞
R1
= 31 c, et donc c = 3.
(c) Nous devons avoir −∞ f (x)dx = 1, donc 1 = 0 cx2 dx = c x3
0
Exercice 3
(a) FX (t) =
Rt
−∞ f (x)dx
=
Rt
3
1 x4 dx
t
= − x13 1 = 1 −
(b) P (X > 3) = 1 − P (X ≤ 3) = 1 − FX (3) =
1
33
=
1
.
t3
1
9.
(c) La probabilité qu’au moins 9 parmi 10 fonctionnent au moins 3 ans est de
9
C10
1 9
33
(d) La médiane m vérifie FX (m) = 12 , donc
+∞
R +∞ 3
(e) E(X) = 1
dx = − 2x32 1 = 32 .
x3
+∞
R +∞ 3
(f) V(X) = 1
dx − ( 32 )2 = − x3 1 −
x2
1
m3
9
4
1−
1
33
10
+ C10
1 10
33
= 12 , et donc m =
=3−
2
9
4
= 34 .
√
3
2.
1
4
.