Exercice 1 La courbe représentative d`une fonction f est donnée ci

Exercice 1
La courbe représentative d’une fonction f est donnée ci-après.
En chacun des points indiqués, la courbe admet une tangente qui est tracée.
1° En vous servant du quadrillage, compléter les égalités suivantes :
f (0) =
f (– 2) =
f ’(0) =
f ’(– 2) =
f (1) =
f ’(1) =
1
–2
O
1
Exercice 2
1°Soit la fonction f définie sur [ 0 ; +  [ par f (x) = x x et C est sa courbe représentative.
En revenant à la définition du nombre dérivé, montrer que f est dérivable en 0. Préciser f ’(0).
2° Déterminer l'équation de la tangente à Cf , au point d'abscisse 0
Exercice 3
f est la fonction définie sur IR par : f (x) = 3 x2 – 6 x + 1 et C est sa courbe représentative.
1° Démontrer que le taux de variations de f entre 2 + h et 2 est égal à 6 + 3 h.
2° En déduire le nombre dérivé de f en 2.
3° a) Démontrer que l'équation de la tangente T à C au point d'abscisse 2 est : y =6 x – 11.
b) Etudier la position de C par rapport à T.
Exercice 4
3x–1
2–3x

 

Soit C f la courbe représentative de f dans le repère (O; i ; j )
1° En utilisant la définition calculer le nombre dérivé de la fonction f au point a = 1
2° Déterminer l'équation de la tangente à Cf , au point d'abscisse a = 1
Soit la fonction f définie par : f (x) =
3° Etudier la position de la courbe Cf par rapport à la tangente à Cf , au point d'abscisse 1
4° Donner l'approximation affine de f (1 + h) pour h voisin de 0.
En déduire une valeur approchée de f (1,03) et de f (0,998)
Exercice 5
x2
x+1
1° En utilisant la définition calculer le nombre dérivé de la fonction f au point a = 2
2° Déterminer l'équation de la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse 2
3° Donner l'approximation affine de f (2 + h) pour h voisin de 0. En déduire une valeur approchée de f (2,03) et de f
(1,998)
Soit la fonction f définie sur [ 0 ; 3] par : f (x) =
Exercice 6
Soit la fonction f définie sur [ – 1,5 ; +  [ par : f (x) = 2 x + 3
1° En utilisant la définition calculer le nombre dérivé de la fonction f au point a = – 1
2° Déterminer l'équation de la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse – 1
3° La fonction f est-elle dérivable en – 1,5
Exercice 1
La courbe représentative d’une fonction f est donnée ci-après. En chacun des points indiqués, la courbe admet une
tangente qui est tracée. 1° En vous servant du quadrillage, compléter les égalités suivantes :
f (– 2) = – 1
f ’(– 2) = 0
f (0) = 1
1
f ’(0) = –
2
3
2
f ’(1) = 2
f (1) =
Exercice 2
1° Soit la fonction f définie sur [ 0 ; +  [ par f (x) = x x
En revenant à la définition du nombre dérivé, montrer que f est dérivable en 0. Préciser f ’(0).
f (0 + h) – f (0) h h – 0
=
= h
h
h
f(0 + h) – f (0)
Par passage à la limite : lim
= lim h = 0 = f ’(0).
h0
h0
h
2° Déterminer l'équation de la tangente à Cf , au point d'abscisse 0
f (0) = 0 et f '(0) = 0 donc la tangente
Exercice 3 f est la fonction définie sur IR par : f (x) = 3 x2 – 6 x + 1 et C est sa courbe représentative.
1° Démontrer que le taux de variations de f entre 2 + h et 2 est égal à 6 + 3 h.
f(2 + h) – f(2) 3 (2 + h)2 – 6 (2 + h) + 1 – (3  22 – 6  2 + 1) 3 (4 + 4 h + h2) – 12 + 1 – 6 h – 1
=
=
h
h
h
12 + 12 h + 3 h2 – 12 – 6 h 3 h2 + 6 h
=
=
= 3 h + 6.
h
h
2° En déduire le nombre dérivé de f en 2.
f(2 + h) – f(2)
= lim (6 + 3 h) = 6 + 3 0 = 6.
h
h0
h0
f ' (2) = lim
3° a) Démontrer que l'équation de la tangente T à C au point d'abscisse 2 est : y =6 x – 11.
y = 1 + 6 (x – 2)  y = 1 + 6 x – 12  y = 6 x – 11
b) d est la fonction définie sur IR par d(x)=f(x)–(6x–11). Etudier le signe de d(x) et en déduire la position de C par rapport à T.
d(x) = f (x) – (6 x – 11) = 3 x2 – 6 x + 1 – (6 x – 11) = 3 x2 – 6 x + 1 – 6 x + 11 = 3 x2 – 12 x + 12.
 = (– 12)2 – 4  3  12 = 0 . d(x) = 3 (x – 2)2  0
C est au dessus de T

 

3x–1
Soit C f la courbe représentative de f dans le repère (O; i ; j )
2–3x
1° En utilisant la définition calculer le nombre dérivé de la fonction f au point a = 1
Exercice 4 Soit la fonction f définie par : f (x) =
3 (1 + h) – 1 3 –1
–
f (1 + h) – f (1) 2 – 3 (1 + h) 2 – 3 1 3 + 3 h – 1
1
2+3h
2 (– 1 – 3 h) 1 2 + 3 h – 2 – 6 h
=
= ×
+ 2 = × 
+
= ×
h
h
h 2 – 3 – 3 h
– 1 – 3 h  h
–1–3h
 h –1–3h
–3
=
–1–3h
f (1 + h) – f (1)
–3
–3
Par passage à la limite on a donc f '(1) = lim
= lim
=
=3
h0
h0 – 1 – 3 h
h
–1–0
2° Déterminer l'équation de la tangente à C , au point d'abscisse a = 1
f
f (1) =
3–1
= – 2 et f '(1) = 3 donc l'équation de la tangente est : y = – 2 + 3 (x – 1)  y = 3 x – 5
2–3
3° Etudier la position de la courbe C par rapport à la tangente à C , au point d'abscisse 1
f
f
Il faut étudier le signe de f (x) – (3 x – 5)
3x–1
3 x – 1 – (3 x – 5) (2 – 3 x) 3 x – 1 – 6 x + 9 x2 + 10 – 15 x 9 x2 – 18 x + 9
f (x) – (3 x – 5) =
– (3 x – 5) =
=
=
2–3x
2–3x
2–3x
2–3x
Pour étudier le signe de 9 x2 – 18 x + 9 = 9 (x2 – 2 x + 1) = 9 (x – 1)2
Pour tout réel x, 9 (x – 1)2  0 donc C f est au dessus de
4° Donner l'approximation affine de f (a + h) pour h voisin de 0.
Pour h voisin de 0 on a : f (a + h)  f (a) + f '(a) × h
En déduire une valeur approchée de f (1,03) et de f (0,998)
Si a = 1 alors f (1 + h)  – 2 + 3 h
En posant h = 0,03 et f (1,03)  – 2 + 3 × 0,03 donc f (1,03)  – 1,91
En posant h = – 0,002 et f (0,998)  – 2 + 3 × (– 0,002) donc f (0,998)  – 2,006
x2
x+1
1° En utilisant la définition calculer le nombre dérivé de la fonction f au point a = 1
Exercice 5 Soit la fonction f définie sur [ 0 ; 2] par : f (x) =
Il faut calculer la limite quand h tend vers 0 de
f (1 + h) – f (1)
h
(1 + h)2 1
–
f (1 + h) – f (1) 1 + h + 1 2 1 2 (1 + 2 h + h2) – (2 + h) 1 2 + 4 h + 2 h2 – 2 – h 1 2 + 4 h + 2 h2 – 2 – h
=
= ×
= ×
= ×
h
h
h
2 (2 + h)
h
2 (2 + h )
h
2 (2 + h )
2
1 2h +3h
2h+3
= ×
=
h 2 (2 + h ) 2 (2 + h )
f (1 + h) – f (1)
2h+3
2×0+3 3
On a, par passage à la limite, f '(1) = lim
= lim
=
=
h0
h  0 2 (2 + h )
h
2 (2 + 0) 4
2° Déterminer l'équation de la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse 1
1
3
1 3
3
1
f (1) = et f '(1) = donc une équation de la tangente est y = + (x – 1) c'est à dire y = x –
2
4
2 4
4
4
3° Donner l'approximation affine de f (1 + h) pour h voisin de 0. En déduire une valeur approchée de f (1,03) et de f (0,998)
f (1 + h)  =
1 3
+ h
2 4
1 3
Pour h = 0,03 on obtient f (1,03)  + × 0,03 donc f (1,03)  0,5225
2 4
1 3
Pour h = – 0,002 on obtient f (0,998)  – × 0,002 donc f (0,998)  0,4985
2 4
Exercice 6
Soit la fonction f définie sur [ – 1,5 ; +  [ par : f (x) = 2 x + 3
1° En utilisant la définition calculer le nombre dérivé de la fonction f au point a = – 1
f (1 + h) – f (1)
2 (– 1 + h) + 3 – 2 × (– 1) + 3
1+2h–1
1+2h–1
2h
=
=
=
=
=
h
h
h
h ( 1 + 2 h + 1) h ( 1 + 2 h + 1)
2
1+2h +1
f (1 + h) – f (1)
2
Par passage à la limite on a : lim
= lim
= 1.
h0
h0
h
1+2h +1
2° Déterminer l'équation de la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse – 1
f (– 1) = 1 et f '(– 1) = 1
Une équation de la tangente est donc y = 1 + 1 × (x + 1) c'est à dire y = x + 2.
3° La fonction f est-elle dérivable en – 1,5
f (– 1,5 + h) – f (– 1,5)
On doit calculer la limite, si elle existe, de
h
f (– 1,5 + h) – f (– 1,5)
2 (– 1,5 + h) + 3 – 2 × (– 1,5) + 3
2h
2h
2
=
=
=
=
h
h
h
h 2h
2h
La limite n'est pas finie donc il n'y a pas dérivabilité en – 1,5.