Chapitre 1 Eléments de logique - IMJ-PRG

Chapitre 1
Eléments de logique
Le contenu de ce chapitre n’est pas un cours de logique. La logique a
pour objet d’étude les processus de la pensée, elle ne montre à proprement
parler aucun résultat, elle décrit ce qu’est un raisonnement valide et explique pourquoi un raisonnement donné est valide. Elle est sous-jacente à
toute construction mathématique mais aussi à toute construction théorique.
Il existe plusieurs forme de logique, logique du premier ordre , logique multivaluée, différente forme de logique ”floue”. Nous présentons ici simplement
quelque ”élément” de logique du premier ordre qui est la forme de la logique
la plus utilisée en mathématique.
1.1
Les deux différents types d’énoncés
Il y a en mathématique deux grandes catégories d’énoncés, les énoncés
qui représentent ou désignent les objets étudiés et les énoncés qui affirment
une propriété qu’ont (ou n’ont pas) les objets étudiés.
Exemples
- Homer, Bart, Lisa.
- Homer est gros.
- Bart est un lapin.
- L’ensemble des entiers naturels.
- L’application à valeur réelle de la variable réelle f : x 7→ sin(x) est
continue sur R.
- Les fonctions polynômiales sont des fonctions croissantes sur R.
Les énoncés 1 et 4 désignent des objets. Les énoncés 2, 3, 5 et 6 sont des
affirmations.
1
2
CHAPITRE 1. LOGIQUE
Concernant les énoncés désignant des objets, les concepts de vrai ou faux
n’ont aucun sens, en revanche un énoncé qui est une affirmation peut être
vrai ou faux on dit qu’il admet une véracité ou une valeur de vérité.
Exemples
- Dire ou écrire ”la fonction sinus est fausse” ou ”le lapin est vrai” sont
des énoncés qui n’ont pas sens.
- ”L’application f : R → R; x 7→ sin(x) est continue sur R”
est une affirmation vraie.
-” Les fonctions polynômiales sont des fonctions croissantes sur R”
est une affirmation fausse.
Exercice 1. Parmi les énoncés suivants lesquels ont un sens ? lesquels
désignent un objet ? une affirmation ? lesquels admettent une véracité ? (tiré
d’un poème de R.Desnos)
- Une fourmi de dix-huit mètres ça n’existe pas !
- Une fourmi parlant français, parlant latin et javanais.
- Cette fourmi est fausse.
- Une vraie fourmi.
1.2
Idées générales sur la construction axiomatique
Les mathématiques sont une juxtaposition de constructions appelées
théories, ce qu’est exactement une théorie ne se dégage avec précision qu’au
fur et à mesure de l’histoire de la pensée scientifique et mathématique en
particulier. Les premiers textes dans lesquels on distingue clairement ce qu’est
une théorie sont des textes écrits vers la fin de l’époque hellenistique (-300,
100), l’un des plus célèbres est Les éléments d’Euclide.
Composé de 13 livres traitant de différents thèmes, géométrie plane et
arithmétique . La structure globale du texte est en trois parties :
- Une première partie fixe et donne un nom aux objets qui vont être étudiés,
points, droites, cercles,...
- Une deuxième partie est une liste d’affirmations faites sur les objets décrits
en première partie. Ces affirmations sont les axiomes de la théorie, elles sont
affublée d’office d’une valeur de vérité ”vraie”.
- La troisième partie est également une liste d’affirmations faites sur les objets
décrits dans la première partie, mais contrairement aux axiomes énoncés
dans la seconde partie, ces affirmations sont déduites des axiomes, elles sont
1.2. IDÉES GÉNÉRALES SUR LA CONSTRUCTION AXIOMATIQUE 3
appelées propositions ou théorèmes. Chacune de ces affirmations est suivie
d’un texte (la démonstration) : partant des valeurs de vérités (déjà connues)
de certaines affirmations et en appliquant des règles de déduction (les règles
de la logique) la démonstration établit que l’énoncé proposé admet une valeur
de vérité ”vraie”.
1.2.1
Termes
Les objets étudiés sont représentés par des lettres appelés des termes. Par
exemple dans la phrase ” les points A, B et C sont alignés” Les lettres A, B
et C sont des termes (chacun d’eux représente un objet appelé ”point”). Un
terme peut prendre une valeur, par exemple dans les phrases ”Soit x un réel
alors ex est un réel positif” et ” si on suppose que le réel x vaut 1 alors
x + 2 = 3” la lettre x est un terme elle représente un objet, dans les deux cas
cet objet est un réel, dans la première phrase le réel représenté par le terme
x n’est pas précisé, dans la seconde on affecte au terme x une valeur précise.
Il arrive souvent qu’on rencontre des objets d’un ”type” nouveau, dans
ce cas on décrit précisément quelle est la nature de ces objets grâce à une
définition et on fixe très souvent une notation.
Exemples
- Définition : On appelle nombre premier tout entier naturel différent
de 1 qui n’est divisible que par 1 et par lui-même.
Cette définition permet par exemple d’écrire
”Soit p un nombre permier”
au lieu de
”Soit p un entier naturel différent de 1 et qui n’est divisible que par 1
et par lui-même.”
- Notation : L’ensemble des entiers naturels est noté N.
Cela permet dans un texte de substituer la notation N à la phrase
”l’ensemble des entiers naturels”.
- Définition et notation : Une sphère est l’ensemble des points de
l’espace équidistants d’un même point appelé centre de la sphère,
la distance commune entre chaque point de la sphère et son centre est
appelé rayon de la sphère. La sphère de centre C et rayon %
est notée S(C, %).
Il peut arriver qu’aucun objet n’entre dans le cadre d’une définition donnée.
Exemples
- Définition : Une Drôle de fonction est une fonction réelle de la variable
réelle continue et admettant une limite égale à +∞ en 0.
4
CHAPITRE 1. LOGIQUE
Il n’existe aucune ”drôle de fonction”. On dit que cette définition
est ”vide”.
1.2.2
Assertions
Une assertion est la représentation d’une affirmation. On a déjà dit qu’une
affirmation peut être vraie ou fausse, les axiomes sont des assertions dont on
décide arbitrairement qu’elles sont vraies.
Exemples
- ”Par un point hors d’une droite donnée du plan passe une et une seule
droite parallèlle ”
C’est un des axiomes d’Euclide.
Un axiome ne se démontre pas, il est vrai a priori. C’est sur la collection des
axiomes que repose l’ensemble de la théorie :
Après s’être donné une liste d’axiome on applique des règles de déduction
(que nous étudierons plus tard) pour trouver de nouvelles assertions vraies.
Ces nouvelles assertions sont appelées théorèmes, lemmes, ou corollaires. La
distinctions entre ces trois types d’assertion est plutôt de nature culturelle
voire émotionnelle, les théorèmes sont les assertions qui semblent les plus
importantes, les lemmes sont des assertions préparatoires aux théorèmes, les
corollaires sont des conséquences de théorèmes.
Ce qu’on exige de la collection initiale d’axiome est qu’ils ne soient pas
contradictoires .
Les théorèmes, lemmes et corollaires sont accompagnés d’un texte appelé
démonstration ce texte établit la véracité de l’énoncé.
Un type particulier d’assertions sont les égalités : si a et b sont deux
termes, lorqu’ils désignent le ”même” objet on dit que a égale b et on écrit
a = b.
Exemples
-”5 = 3 + 3”, ”7 = 4 + 3” sont des assertions, la première est fausse,
la seconde est vraie.
Le symbole ”=” ne peut être écrit qu’entre deux termes !
Par exemple,”(x + 4 = 0) = (x = −4)” n’a pas de sens puisque (x + 4 = 0)
est une assertion et non un terme.
1.3. RÈGLES ET SYMBOLES LOGIQUES
1.3
5
Règles et symboles logiques
Les symboles logiques sont des symboles qui permettent d’écrire de nouvelles assertions à partir d’assertions déjà écrites, ils obéı̈ssent à des règles de
syntaxe précises qui doivent être respectées. Les règles logiques établissent
les valeurs de vérité des assertions écrites à l’aide des symboles logiques et
d’assertions de valeur de vérité connues .
† La négation
Syntaxe : Soit A une assertion. En écrivant à gauche de A le symbole
”NON”, on obtient une assertion ”NON (A)”.
Exemple
Si A est l’assertion ”la fonction cosinus est continue”. On obtient une nouvelle assertion en écrivant ”NON (la fonction cosinus est continue)” dans
l’usage courant on utilisera bien entendu plutôt la phrase La fonction cosinus
n’est pas continue”.
L’assertion ”NON (A)” est appelée la négation de A.
Règle logique : La véracité d’une négation s’obtient par application de la
règle suivante donnée sous forme d’un tableau de vérité.
A NON A
V
F
F
V
On dit qu’une famille d’axiome est non contradictoire lorsqu’on ne peut
pas en déduire d’assertions qui soient à la fois vraie et fausse.
† La disjonction
Syntaxe : Soit A et B deux assertions. Une nouvelle assertion est obtenue
en écrivant AouB.
L’assertion ”A ou B” est appelée la disjonction de A et de B.
Règle logique : La véracité d’une disjonction s’obtient par application de
la règle suivante donnée sous forme d’un tableau de vérité.
A B
V V
V F
F V
F F
A
ou
V
V
V
F
B
La négation N ON et la disjonction ou sont deux symboles logiques à partir desquels on peut définir tous les autres symboles logiques, les symboles
suivants peuvent donc être vus comme de simple abbréviations destinées à
alléger les textes.
6
CHAPITRE 1. LOGIQUE
† L’implication logique
Syntaxe : Soit A et B deux assertions. L’assertion (N ON A) ou B est
notée A ⇒ B.
L’assertion ”A ⇒ B” est appelée l’implication de B par A.
Règle logique : La véracité d’une implication s’obtient par application de
la règle suivante donnée sous forme d’un tableau de vérité.
A B
V V
V F
F V
F F
A⇒B
V
F
V
V
Exercice 2.
a) Vérifier cette règle.
b) Que peut-on dire de la véracité de B sachant que A ⇒ B est vraie,
dans le cas où l’on sait que A est vraie ? dans le cas où l’on sait que A est
fausse ?
† La conjonction
Syntaxe : Soit A et B deux assertions.
L’assertion N ON ((N ON A) ou (N ON B)) est notée A et B.
L’assertion ”A et B” est appelée la conjonction de B et de A.
Règle logique : La véracité d’une conjonction s’obtient par application de
la règle suivante donnée sous forme d’un tableau de vérité.
A B
V V
V F
F V
F F
A et B
V
F
F
F
† L’équivalence logique
Syntaxe : Soit A et B deux assertions. L’assertion (A ⇒ B) et (B ⇒ A)
est notée A ⇐⇒ B.
L’assertion ”A ⇐⇒ B” est appelée la équivalence logique de B et de A.
Règle logique : La véracité d’une équivalence logique s’obtient par application de la règle suivante donnée sous forme d’un tableau de vérité.
A
V
V
F
F
B A ⇐⇒ B
V
V
F
F
V
F
F
V
1.3. RÈGLES ET SYMBOLES LOGIQUES
7
Exercice 3.
Les lettres minuscules désignant des termes et les lettres majuscules des
assertions, parmi les énoncés suivants quels sont ceux qui respectent la syntaxe (donc ont un sens) ?
a) a ⇒ B.
b) a = B.
c) A = B.
d) (a = b) ⇐⇒ N ON (a = b).
† Autres règles logiques
Les ”règles” présentées dans ce paragraphe sont des conséquences des
règles déjà vues.
1) Transitivité de l’implication logique
Soit A, B et C trois assertions. L’assertion (A ⇒ B) et (B ⇒ C) ⇒ (A ⇒
C) est vraie en toutes circonstances. En effet, on a le tableau de vérité
A
V
V
V
V
F
F
F
F
B
V
V
F
F
V
V
F
F
C
V
F
V
F
V
F
V
F
A⇒B
V
V
F
F
V
V
V
V
B⇒C (A⇒B)et(B⇒C) A⇒C (A⇒B)et(B⇒C) ⇒(A⇒C)
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
V
V
V
F
F
V
V
V
V
V
F
F
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
2) Règles de Morgan
Soit A et B deux assertions. Les assertions
N ON (A ou B) ⇐⇒ (N ON A) et (N ON B)
N ON (A et B) ⇐⇒ (N ON A) ou (N ON B)
sont vraies en toutes circonstances.
3) Double négation
Soit A une assertion. L’assertion N ON (N ON A) ⇐⇒ A est toujours vraie.
8
CHAPITRE 1. LOGIQUE
4) Associativité de la disjonction et de la conjonction
Soit A, B et C trois assertions. Les assertions
[A et (B et C) ⇐⇒ (A et B) et C] et [A ou (B ou C) ⇐⇒ (A ou B) ou C]
sont toujours vraies.
Exercice 4.
Vérifier les règles 2), 3) et 4)
5) Discussion
Soit A, B et C des assertions.
L’assertion (A ou B) et (A ⇒ C) et (B ⇒ C) ⇒ C est toujours
vraie.
En effet, on a le tableau
de vérité suivant
( D note l’assertion (AouB)et(A ⇒ C)et(B ⇒ C) )
A
V
V
V
V
F
F
F
F
B
V
V
F
F
V
V
F
F
C
V
F
V
F
V
F
V
F
AouB A⇒C B⇒C
V
V
V
V
F
F
V
V
V
V
F
V
V
V
V
V
V
F
F
V
V
F
V
V
(A ou B) et (A⇒C) et (B⇒C) D⇒C
V
V
F
V
V
V
F
V
V
V
F
V
F
V
F
V
Cette règle est le fondement des raisonnement par discussion.
Exemples
”Si n est un entier naturel alors n(n+3)
est un entier”
2
Un entier naturel n est pair ou impair.
= n2 (n + 3) est
- Si n est pair alors n2 est un entier, on a n(n+3)
2
donc le produit de deux entiers : c’est un entier.
- Si n est impair alors n + 3 est la somme de deux entiers impairs donc
est pair, donc n+3
est un entier, on a n(n+3)
= n+3
n
2
2
2
c’est donc le produit de deux entiers : c’est un entier.
La structure du raisonnement est visible :
Notons H l’assertion ”n est un entier”, A l’assertion ”n est pair”,
B l’assertion ”n est impair”, et C l’assertion ” n(n+3)
est un entier”.
2
- Lorsque H est vraie on a AouB
- Si A alors C
- Si B alors C
donc C est toujours vrai.
1.3. RÈGLES ET SYMBOLES LOGIQUES
9
6) Contraposition
Soit A et B deux assertions.
L’assertion (A ⇒ B) ⇐⇒ (N ON B ⇒ N ON A) est toujours vraie.
Exercice 5.
1) Montrer cette règle.
2) Supposons qu’on veuille montrer que
”Tout point M du plan situé sur le cercle d’équation x2 + y 2 = 1 forme
avec les points A = (−1, 0) et B = (+1, 0) un triangle rectangle en M ”.
On suppose qu’on sait qu’un triangle (A, B, C) est rectangle en C si et
seulement si la formule de Pythagore est satisfaite.
a) Donner une démonstration directe du résultat.
b) Donner une démonstration par contraposition du résultat.
7) Règle du raisonnement par l’absurde
Soit A une assertion. S’il existe une assertion B telle que
(N ON A ⇒ B) et (N ON A ⇒ N ON B)
est vraie, alors A est vraie.
Exercice 6.
Etablir une table de vérité montrant l’équivalence
de A et de [(N ON A ⇒ B) et (N ON A ⇒ N ON B)].
Exemples
On veut montrer que lorsque n est un entier naturel, n2 + 1 n’est pas le
carré d’un entier naturel non nul.
Soit n un entier naturel.
Si n2 + 1 est le carré d’un entier naturel non nul a, alors n2 + 1 = a2 , donc
(n + a)(n − a) = 1. Or le produit de deux entiers vaut 1 si et seulement si
ces deux entiers valent simultanément 1 ou valent simultanément −1, donc
- ou bien n + a = 1 et n − a = 1 ce qui entraı̂ne que a = 0.
- ou alors n + a = −1 et n − a = −1 ce qui entraı̂ne que a = 0.
Exercice 7.
Identifier la nature de ce raisonnement.
10
1.4
CHAPITRE 1. LOGIQUE
Quantificateurs
Soit A l’assertion ”n est un entier pair”
- Si on fait n = π cette assertion est fausse (π n’est pas un entier donc
encore moins un entier pair).
- Si on fait n = 18 cette assertion est vraie.
On voit donc que la valeur de vérité d’une assertion donnée peut dépendre
de la valeur donnée à un terme (n dans notre exemple), en fait même si ce
n’est pas systématique c’est la plupart du temps le cas. Lorsque la valeur
de vérité d’une assertion A dépend de la valeur donnée à un terme x on la
notera A(x).
Dans l’exemple qui précède on notera donc A(n) l’assertion ”n est un
entier pair”.
- Si n = π ( ou 21) A(n) est fausse
- Si n = 16, A(n) est vraie.
- Pour exprimer qu’il arrive qu’une assertion A(x) dont la valeur de vérité
dépend du choix de la valeur du terme x soit vraie, on écrit
∃x/A(x)
qui se lit ”il existe x tel que A(x)”.
- Pour exprimer qu’une assertion A(x) dont la valeur de vérité dépend du
choix de la valeur du terme x est vraie pour n’importe quelle valeur donnée
de x, on écrit
∀x, A(x)
qui se lit ”pour tout x, A(x)”.
Les énoncés
∃x/A(x)
et
∀x, A(x)
sont des assertions ils peuvent être vrais ou faux.
Exemples
”∃n/n est un entier pair” est vraie.
”∃x/x est un réel et ex est un réel négatif” est fausse.
”∀n, si n est un entier c’est un entier pair” est fausse.
”∀x, si x est un réel x2 est un réel positif ou nul” est vraie.
1.4. QUANTIFICATEURS
11
† Règles concernant les quantificateurs
1) Quantificateurs et négation
N ON (∃x/A(x)) ⇐⇒ ∀x, N ON (A(x))
N ON (∀x, A(x)) ⇐⇒ ∃x/N ON (A(x))
2) Quantificateurs, disjonction et conjonction
(∀x, A(x)
(∀x, A(x)
(∃x/A(x)
(∃x/A(x)
et B(x)) ⇐⇒ (∀x, A(x)) et (∀x, B(x))
ou B(x)) ⇐= (∀x, A(x)) ou (∀x, B(x))
et B(x)) =⇒ (∃x/A(x)) et (∃x/B(x))
ou B(x)) ⇐⇒ (∃x/A(x)) ou (∃x/B(x))
Exercice 8.
Trouver un exemple de deux assertions dépendant d’un terme x sur lesquelles on constate que les implications
(∀x, A(x) ou B(x)) ⇒ (∀x, A(x)) ou (∀x, B(x))
(∃x/A(x) et B(x)) ⇐ (∃x, A(x)) et (∀x, B(x))
sont fausses.
Exercice 9.
1) Ecrire des assertions équivalentes aux négations des assertions
∀x, ∃y/B(y) ⇒ A(x)
∃x/∀y, N ON (A(x) et B(y))
En n’utilisant le symbole ’NON’ qu’éventuellement appliqué à A ou B.
2) Comparer du point de vue de l’implication logique les assertions
∃x/∀y, A(x, y) et ∀y, ∃x/A(x, y).
I.5 Compléments : lettres muettes, lettres parlantes
L’utilisation des quantificateurs pose un problème concernant les noms
donnés aux termes :
- Lorsqu’on écrit ∀x, A(x) ou ∃x/A(x) on peut changer le nom du terme x
sans pour autant changer le sens de l’assertion ni sa valeur de vérité.
Ainsi
∀x, A(x) ⇐⇒ ∀y, A(y).
On dit que dans l’assertion ∀x, A(x) la lettre x est muette.
- Dans d’autre cas le nom donné à un terme a une véritable importance
Les deux assertions
∀x, A(x) ⇒ B(x, y) et ∀x, A(x) ⇒ B(x, z)
12
CHAPITRE 1. LOGIQUE
n’ont pas la même signification la première affirme que le terme y a une
certaine propriété la seconde que c’est le terme z qui l’a ! ici les lettres y et
z sont parlantes.
1.4. QUANTIFICATEURS
13
I.6 Application pratique des tableaux de vérité : algèbre de Boole,
un des fondements de l’informatique
Il s’agit ici d’une applications des mathématiques à électronique. Les aspects
électroniques ne sont pas un détails mais n’ont pas leur place dans ce cours.
1) Variable Booléenne, fonction booléenne et simultation électronique :
Un terme qui peut prendre deux valeurs est un Booléen, par exemple
une assertion peut être vue comme un booléen. Etant donné deux Booléens
indépendants, il existe exactement 4 situations données par le tableau
A B
V V
V F
F V
F F
- Il existe exactement 16 tableaux de trois colonnes ayant les colonnes du
tableau précédent pour premières colonnes à savoir
A B
V V V
(1) V F V
F V V
F F V
A B A(Ou)B
V V
V
V
(2) V F
F V
V
F F
F
A B A⇐B
V V
V
V
(3) V F
F V
F
F F
V
A B A⇒B
V V
V
F
(4) V F
F V
V
F F
V
A B A(Nand)B
V V
F
V
(5) V F
F V
V
F F
V
A B
V V V
(6) V F V
F V F
F F F
A B
V V V
(7) V F F
F V V
F F F
A B A⇔B
V V
V
F
(8) V F
F V
F
F F
V
A B A(Xor)B
V V
F
V
(9) V F
F V
V
F F
F
A B
V V F
(10) V F V
F V F
F F V
A B
V V F
(11) V F F
F V V
F F V
A B A(Et)B
V V
V
F
(12) V F
F V
F
F F
F
A B
V V F
(13) V F V
F V F
F F F
A B
V V F
(14) V F F
F V V
F F F
A B A(Nor)B
V V
F
F
(15) V F
F V
F
F F
V
A B
V V F
(16) V F F
F V F
F F F
14
CHAPITRE 1. LOGIQUE
Il est d’usage de noter ”0” au lieu de ”F” et ”1” au lieu de ”V”, c’est ce que
nous ferons désormais.
Chacun de ces tableaux est un ”opérateur” logique, les tableaux (2), (4), (8)
et (12) correspondent respectivement au ”Ou”, à ”implication logique”, à
”l’équivalence logique” et au ”Et” étudiés dans le cours. Les tableaux (5),
(9) et (15) représentent les opérateurs Nand , Xor et Nor, ils n’ont pas été
étudiés car on ne les utilise que très rarement en mathématiques.
Une fonction booléenne de k variables booléenne est une application de
{0, 1}k vers {0, 1}. On peut représenter une fonction booléenne de k variables
boolénnes par une table de vérité à k + 1 colonnes, les k premières colonnes
représentent le k variables (il y a 2k situations différentes) la dernière colonne
donnant la valeur de la fonction selon les valeurs données aux variables.
• L’opérateur ”Nand” est particulièrement important. L’intéret de cet opérateur est double : D’une part toute fonction booléenne peut être définie exclusivement à l’aide de cet opérateur et d’autre part il existe des systèmes
électroniques simples simulant cet opérateur.
† Concernant le premier point on se contentera de donner deux exemples,
si A est un booléen N ON (A) (l’application A 7→ N ON (A) est une fonction
booléenne d’une variable booléenne) est équivalente à A(N and)A puisque
A NON(A) A(Nand)A
1
0
0
0
1
1
Si A et B sont deux booléens, A ⇒ B (l’application (A, B) 7→ A ⇒ B
est une fonction booléenne de deux variables booléennes) est équivalente à
A(N and)[B(N and)B] puisque
A B
1 1
1 0
0 1
0 0
A⇒B
1
0
1
1
B(Nand)B A(Nand)[B(Nand)B]
0
1
1
0
0
1
1
1
Il existe une technique simple, la méthode des ”diagrammes de Karnaugh”,
permettant d’obtenir une expression de toute fonction booléenne de k variables booléennes n’utilisant que l’opérateur ”Nand”.
† D’autre part, pour simuler électroniquement une variable booléenne on
utilise sur un composant une tension faible (de 0 à 0,8 V) qui simule un ”0”
ou une tension forte (de 2,5 à 2,8 V) qui simule un ”1”.
Il existe des systèmes electroniques relativement simples et faciles à fabriquer, appelés ”portes Nand”, ayant deux entrées et une sortie pour lesquels
1.4. QUANTIFICATEURS
15
l’état de la sortie est donnée par le tableau suivant
E1
1
1
0
0
E2
1
0
1
0
S
0
1
1
1
(Le nom de ”portes Nand” provient evidemment de l’anglais)
Un circuit électronique composé de portes Nand pourra donc simuler n’importe quel opérateur.
Si on représente une porte Nand par le schéma
#
-
N and
"
!
Le circuit électronique
#
-
A
N and
#
1
N and
BP
PP
q
P
"
-
"
7
!
!
simulera A(N and)[B(N and)B] qui n’est autre que A ⇒ B.
Chaque circuit de porte Nand représentant un opérateur logique (à deux
entrée) sera représenté par un schéma
#
-
Nom de l’opérateur
"
!
par exemple le circuit précédent sera représenté par le schéma
16
CHAPITRE 1. LOGIQUE
#
-
⇒
-
"
!
2) Système de numération binaire :
Le deuxième ingrédient est de nature plus mathématique. Tous les
nombres entiers peuvent être représentés par une succession de chiffre, dans
le cas de l’écriture décimale - celle avec laquelle on est en général le plus
familier - on dispose de 10 chiffres : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9. Une
succession de chiffres s’interprète comme un nombre entier :
Le nombre N s’écrivant Ck . . . C2 C1 C0 où C0 , C1 , . . . , Ck sont des chiffres
vaut
C0 + C1 .10 + C2 .102 + · · · + Ck .10k .
La succession Ck . . . C2 C1 C0 est la représentation décimale de N .
On peut utiliser un nombre quelconque de symboles c’est-à-dire un nombre
de chiffres différents de 10. Historiquement, en Mésopotamie par exemple on
utilisait, un système similaire mais comportant 60 chiffres (on parle alors de
représentation sexagégimale). Lorsque le nombre de symboles utilisés vaut 2
on parle de système binaire. On utilise usuellement les chiffres 0 et 1.
Le nombre N s’écrivant Ck . . . C2 C1 C0 où C0 , C1 , . . . , Ck sont des chiffres
(donc dans ce système des 0 ou des 1) vaut
C0 + C1 .2 + C2 .22 + · · · + Ck .2k .
La succession Ck . . . C2 C1 C0 est la représentation binairede N .
Par exemple, le nombre onze (qui s’écrit 11 dans le système décimal)
s’écrit 1011 dans le système binaire puisque 11 = 1 + 1.2 + 0.22 + 1.23 .
La représentation binaire des entiers permet de simuler un nombre facilement de manière électronique.
Pour représenter concrètement un entier dont la représentation binaire
est Ck . . . C2 C1 C0 on considérera k fils ( numérotés de 1 à k, par exemple )
une tension faible ou forte étant appliquée à chaque fils selon que Cj vaut 0
ou 1.
• On peut maintenant réaliser un ”circuit additionneur”
Par exemple un ”additionneur” de deux nombres ayant une représentation
binaire comportant chacun au plus 5 chiffres ( donc valant au maximum
11111binaire = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31decimal ) peut être vue comme une
machine ayant 10 ”entrées” disons A1 , . . . , A5 , B1 , . . . , B5 et 6 ”sorties” di-
1.4. QUANTIFICATEURS
17
sons R1 , . . . , R6 (le résultat de l’addition ne peut dépasser 62 donc admet une
représentation binaire d’au plus 6 chiffres).
Les entrées A1 à A5 et B1 à B5 permetront de simuler les deux nombres
à additionner, le circuit doit être tel que les tensions des sorties R1 à R6
représentent la somme.
† Commençons par un ”additionneur” de deux nombres N1 et N2 ayant
une représentation binaire à un chiffre ces deux nombres valent chacun 0 ou
1 donc le résultat peut valoir 0, 1 ou 2 et donc le résultat nécéssite peut être
deux chiffres pour être représenté.
La représentation binaire de la somme N1 + N2 est donnée par le tableau
N1
1
1
0
0
N2
1
0
1
0
N1 + N2
10
01
01
00
Donc si on nomme S la sortie représentant le ”chiffre des unités” et R celui
des ”deuzaines” (la retenue). Il nous faudra réaliser deux circuits
Un premier circuit donnant un résultat suivant le tableau
N1 N2 S
1
1 0
1
0 1
0
1 1
0
0 0
un deuxième suivant le tableau
N1 N2 R
1
1 1
1
0 0
0
1 0
0
0 0
On constate que S équivaut à N1 XorN2 et R à N1 etN2
Le circuit électronique
suivant fourni une réponse concrète.
#
-
Xor
-
"
!
??
#
Et
"!
-
18
CHAPITRE 1. LOGIQUE
La réalisation d’additionneurs pour des nombres de valeurs plus élevées nécéssite de considérer des additions de trois nombres N1 , N2 et N3 ayant une
représentation binaire à un chiffre, cette nécéssité est due à la présence
éventuelle de retenue, ces trois nombres valent chacun 0 ou 1 donc leur
somme peut valoir 0, 1, 2 ou 3 et donc le résultat nécéssite peut être deux
chiffres pour être représenté (c’est une chance !).
La représentation binaire de la somme N1 +N2 +N3 est donnée par le tableau
N1
1
1
1
1
0
0
0
0
N2
1
1
0
0
1
1
0
0
N3
1
0
1
0
1
0
1
0
N1 + N2 + N3
11
10
10
01
10
01
01
00
Donc si on nomme S la sortie représentant le ”chiffre des unités” et R celui
des ”deuzaines” (la retenue). Il nous faudra réaliser deux circuits
Un premier circuit donnant un résultat suivant le tableau
N1 N2 N3 S
1
1
1 1
1
1
0 0
1
0
1 0
1
0
0 1
0
1
1 0
0
1
0 1
0
0
1 1
0
0
0 0
un deuxième suivant le tableau
N1 N2 N3 R
1
1
1 1
1
1
0 1
1
0
1 1
1
0
0 0
0
1
1 1
0
1
0 0
0
0
1 0
0
0
0 0
1.4. QUANTIFICATEURS
19
Exercice
1) Exprimer S et R à l’aide de N1 , N2 et N3 et d’opérateurs logiques.
2) Donner un circuit électronique simulant l’addition de deux entiers quelconques dont la représentation binaire nécéssite au plus trois chiffres.
20
CHAPITRE 1. LOGIQUE
Exercices du chapitre I
1. Compléter par l’un des symboles logiques ⇐⇒ ou ⇒ les assertions
suivantes de manière à ce que l’assertion obtenue soit vraie :
- Pour un réel x : x3 = 8 . . . . . . x = 2
- Pour un réel x : x2 = 9 . . . . . . x = 3
2. Pour f une fonction réelle de la variable réelle définie sur R. Ecrire
formellement (avec quantificateur si nécessaire)
- f est croissante sur R.
- f est monotone sur R.
- f est bornée sur R.
- f est paire.
Ecrire formellement les négations.
3. Parmi les ”déductions” suivantes lesquelles respectent les règles logiques ?
- Si les vaches volaient les poules auraient des dents !
- Si les vaches volaient, les poules pondraient des oeufs !
- Si les vaches ne volent pas alors les poules ont des dents.
- Si les vaches ne volent pas alors les poules pondent des oeufs.
(On rappelle qu’il est faux de dire que les vaches volent, que les poules n’ont
pas de dents mais qu’elles pondent des oeufs !)
4. A(x) et B(x) étant deux assertions dépendant de la donnée du terme
x.
1)Comparez du point de vue de l’implication les assertions suivantes
a) ∀x, A(x) ⇒ B(x) et ∀x, A(x) ⇒ ∀x, B(x)
b) ∃x/A(x) ⇒ B(x) et ∃x/A(x) ⇒ ∃x/B(x)
Pour chaque implication, on donnera soit une démonstration soit un contre
exemple.
2) A-t’on [∀x, A(x) ⇐⇒ B(x)] ⇐⇒ [∀x, A(x) ⇐⇒ ∀x, B(x)] ?
Chapitre 2
Ensembles
Les ensembles, relations binaires et applications sont les notions de base
de toutes les mathématiques. On présente ici l’essentiel des notions et du
vocabulaire les concernant.
2.1
Ensembles
Il est très difficile de définir exactement ce qu’est un ensemble. On se
contentera d’une approximation, un ensemble est ”une collection d’objet”
cette collection doit être décrite de manière à ce que l’on puisse dire sans
aucune équivoque si un objet donné fait partie ou non de cette collection.
Définition 1 Soit E un ensemble. Soit x un terme. Lorsque x est un membre
de la collection représentée par E, on dit que
x est un élément de E.
On note x ∈ E, ce qui se lit ”x appartient à E ”
ou encore ”x est un élément de E”.
Lorsque x n’est pas un membre de la collection on note
x∈
/ E qui se lit ”x n’appartient pas à E”.
Le symbole ∈ est le symbole d’appartenance.
La négation de l’assertion x ∈ E, N ON (x ∈ E) peut donc s’écrire x ∈
/ E.
Exemples
- π ∈ R se lit ”π appartient à R (cette assertion est vraie).
- π ∈ N se lit ”π appartient à N (cette assertion est fausse).
21
22
CHAPITRE 2. ENSEMBLES
† Comment écrire un ensemble ?
1) Ecriture extensive, ensembles donnés par liste
Si la liste des éléments d’un ensemble E peut être écrite (c’est le cas
uniquement si la collection est ”finie”) une manière d’écrire l’ensemble en
question est d’écrire la liste, sans répétition, entre deux accolades.
Exemple
- P S = {Homer, M arge}
est l’ensemble des ”Parents Simpson” donné par liste.
Les limitations d’une écriture de ce type sont immédiates : si la liste est
infinie il est impossible de l’écrire, donc, en toute rigueur, une écriture de la
forme 2N = {0, 2, 4, 6, 8, 10, . . .} pour l’ensemble des entiers naturels pairs
n’est pas licite.
2) Ensembles donnés par une propriété ”collectivisante”
Il est aussi possible, très classique et commode, de se donner un ensemble
par une assertion A(x) dont la valeur de vérité dépend de la valeur donnée
au terme x.
Alors x ∈ E si et seulement si A(x) est vraie.
On écrit alors E = {x/A(x)} ce qui se lit ”E est l’ensemble des x tels que la
propriété A(x) est vraie”.
Exemple
- 2N = {x/x ∈ N et le reste de la division de x par 2 vaut 0}
est l’ensemble des entiers naturels pairs donné par propriété collectivisante.
† Exemples fondamentaux d’ensembles
- Il existe un ensemble ne possédant aucun élément c’est l’ensemble vide il
est noté ∅.
- Les entiers naturels 0, 1, 2, 3, . . . forment un ensemble noté N .
- A partir de l’ensemble des entiers naturels, on construit d’autres ensembles
de nombres : Z l’ensemble des entiers relatifs ou entiers signés, Q l’ensemble
des nombres rationnels, R l’ensemble de nombres réels, C l’ensemble des
nombres complexes. Nous verrons comment Z et Q sont construits dans un
chapitre ultérieur, la construction de R est plus délicate elle sera donnée en
annexe, l’ensemble C sera étudié au cours du chapitre III.
2.2. ENSEMBLE DES PARTIES D’UN ENSEMBLE
2.2
23
Ensemble des parties d’un ensemble
Définition 2 Soit E et F deux ensembles. Lorque tout élément de F est un
élément de E on dit que ”F est inclus dans E” ou ”F est
une partie de E” ou encore ”E contient F .
On note alors F ⊂ E.
Le symbole ⊂ est le symbole d’inclusion.
Autrement dit
(F ⊂ E) ⇐⇒ (∀x, x ∈ F ⇒ x ∈ E)
On'
peut visualiser cette situation
grâce à un diagramme de ”patate” :
$
'
$
F
E
&
&
%
%
Exemple
- Soit E = {a, b, c} alors ∅ , {b, c} sont des parties de E : ∅ ⊂ E et {b, c} ⊂ E.
- N est une partie de Z.
Remarque : Lorsqu’une inclusion est fausse on utilise aussi le symbole 6⊂.
Propriété 1 Soit E, F et G trois ensembles.
i) (E ⊂ F et F ⊂ G) ⇒ E ⊂ G.
ii) (E ⊂ F et F ⊂ E) ⇐⇒ E = F .
Démonstration
Soit E ,F et G trois ensembles.
i) Si E ⊂ F et F ⊂ G alors ∀x ∈ E, x ∈ F et ∀x ∈ F, x ∈ G donc
∀x ∈ E, x ∈ G ce qui signifie que E ⊂ G.
ii) Si E ⊂ F et F ⊂ E alors ∀x ∈ E, x ∈ F et ∀x ∈ F, x ∈ E donc
x ∈ E ⇐⇒ x ∈ F ce qui signifie que E = F .
Définition 3 Soit E un ensemble. Les parties de E forment un ensemble
appelé ensemble des parties de E et noté P(E).
Exemple
- P(∅) = {∅}, attention : c’est l’ensemble contenant un seul élément égal à ∅.
- P({∅}) = {∅, {∅}} : c’est un ensemble contenant deux éléments.
-Si E = {a, b, c} alors P(E) = {∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}.
Remarque : Le fait que l’ensemble des partie d’un ensemble est un ensemble
est un axiome.
24
CHAPITRE 2. ENSEMBLES
† Opérations sur les parties d’un ensemble
Dans tous ce paragraphe E est un ensemble et P(E) est l’ensemble
de ses parties.
1) Complémentation
Définition 4 Soit A ∈ P(E), on pose CE A = {x ∈ E/x ∈
/ A}.
L’ensemble CE A est une partie de E appelée complémentaire
dans E de A, on le note également Ac .
On peut visualiser cette situation grâce à un diagramme de ”patate” :
$
'
'
$
A
Ac &
%
&
%
Exemple
- Soit E = {a, b, c} alors CE ∅ = E, CE E = ∅, CE {a, b} = {c}.
Propriété 2 Soit A ∈ P(E) on a CE (CE A) = A.
Démonstration
Soit A ∈ P(E). Soit x ∈ E, on a x ∈ CE (CE A) ⇐⇒ x ∈
/ CE A et x ∈
CE A ⇐⇒ x ∈
/ A, donc x ∈
/ CE A ⇐⇒ x ∈ A.
2) Intersection
Définition 5 Soit A et B des parties de E,
on pose A ∩ B = {x ∈ E/x ∈ A et x ∈ B}.
L’ensemble A ∩ B est appelé intersection de A et de B.
On peut visualiser cette situation grâce à un diagramme de ”patate” :
'
'
$
'
A
&
&
$
$
A∩B
B
%
&
%
%
2.2. ENSEMBLE DES PARTIES D’UN ENSEMBLE
25
Propriété 3 Soit A, B et C trois parties de E.
i) A ∩ B = B ∩ A
ii) A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C.
iii) A ∩ ∅ = ∅.
iv) A ∩ E = A.
v) A ⊂ B ⇐⇒ A ∩ B = A
Démonstration
i) On a (x ∈ A) et (x ∈ B) ⇐⇒ (x ∈ B) et (x ∈ A).
ii)
On a
(x ∈ A) et [(x ∈ B) et (x ∈ C)] ⇐⇒ [(x ∈ A) et (x ∈ B)] et (x ∈ C) .
iii) et iv) De manière plus générale on a A ∩ B ⊂ A.
En particulier on a donc A ∩ ∅ ⊂ ∅ donc A ∩ ∅ = ∅.
Et aussi A ∩ E ⊂ A
v) Si A ⊂ B alors x ∈ A ⇒ x ∈ B donc (x ∈ A) ⇐⇒ (x ∈ A) et (x ∈ B),
autrement dit A = A ∩ B.
Réciproquement, si A = A ∩ B alors x ∈ A ⇐⇒ (x ∈ A) et (x ∈ B)
donc x ∈ A ⇒ x ∈ B et donc A ⊂ B.
3) Réunion
Définition 6 Soit A et B des parties de E,
on pose A ∪ B = {x ∈ E/x ∈ A ou x ∈ B}.
L’ensemble A ∪ B est appelé réunion de A et de B.
On peut visualiser cette situation grâce à un diagramme de ”patate” :
'
'
$
'
$
$
A
&
&
B
%
A∪B&
%
%
Propriété 4 Soit A, B et C trois parties de E
i) A ∪ B = B ∪ A
ii) A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C.
iii) A ∪ ∅ = A.
iv) A ∪ E = E.
v) A ⊂ B ⇐⇒ A ∪ B = B
26
CHAPITRE 2. ENSEMBLES
Exercice 1. Démontrer ces propriétés.
4) Comportements relatifs de la complémentation, de l’intersection et de la
réunion
Propriété 5 Soit A, B et C trois parties de E.
i) CE (A ∩ B) = CE A ∪ CE B , CE (A ∪ B) = CE A ∩ CE B.
ii) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).
iii) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).
Exercice 2. Démontrer ces résultats.
Exercice 3. Montrer que pour deux parties A et B de E on a
A ∩ B = A ∪ B ⇒ A = B.
Exercice 4. Soient A, B et C trois parties d’un ensemble donné E.
Parmi les assertions suivantes lesquelles sont vraies en toutes
circonstances ? Pour celles qui ne seraient pas toujours vraies
pouvez-vous donner une condition nécessaire et suffisante sur
la partie A pour qu’elles le deviennent ?
a) (C ∩ CE A = ∅ et C ∩ CE B = ∅) ⇒ (C ⊂ A ∩ B).
b) (A ∩ B 6= ∅ et A ∩ C 6= ∅) ⇒ A ∩ (B ∩ C) 6= ∅.
c) CA (B ∪ C) ∩ A) = CE (B ∪ C).
Exercice 5. Soit A, B et C trois parties d’un ensemble E donné.
Comparer pour l’inclusion
CA (A ∩ B) ∪ CA (A ∩ C) et CE (CE A ∪ B ∪ C).
2.3. PRODUIT CARTÉSIEN
2.3
27
Produit cartésien
Soit a et b deux termes, le couple (a, b) est un nouveau terme. Attention
(a, b) n’est pas un ensemble, il s’agit d’un objet consistant en la donnée des
deux termes a et b dans cet ordre. En particulier le couple (a, b) n’est pas
égal (sauf si a = b) au couple (b, a).
Exemples
- (∅, N) est un couple d’ensemble.
- (2.36, π) est un couple de réel.
- (4, 156) est un couple d’entiers naturels.
Définition 7 - Soit E et F deux ensembles. Les couples (e, f ) où e est un
élément de E et f est un élément de F forment un ensemble
que l’on note E×F et appelé produit cartésien de E par F .
E × F = {(e, f )/e ∈ E, f ∈ F }
-Dans un couple (e, f ), e est appelé premier terme, et f
est le second terme.
Exemple
- Soit E = {a, b, c} et F = {x, y}.
On a E × F = {(a, x), (a, y), (b, x), (b, y), (c, x), (c, y)}.
Exercice 6. Soit E et F deux ensembles. Soit A une partie de E et B une
partie de F . Comparer
a) E × CF B et CE×F E × B.
b) CE A × CF B et CE×F (A × B).
† Graphe
Définition 8 Soit E et F deux ensembles. Un graphe de E vers F est une
partie du produit cartésien E × F .
Exemple
- Les deux schémas suivants représentent des graphes.
Le premier shéma représente le graphe G = {(a, x), (a, z), (c, y)} de
E = {a, b, c, d} vers F = {x, y, z}.
Exercice 7. Quel est le graphe représenté par le second shéma ?
28
CHAPITRE 2. ENSEMBLES
Les graphes peuvent s’interpreter essentiellement de deux manières. La première est d’interpréter un graphe de E vers E comme une relation binaire
sur E. La seconde, est d’interpréter un graphe comme celui d’une application.
† Relations binaires
Définition 9 Soit E un ensemble. Une relation binaire sur E consiste en
la donnée d’un graphe R de E vers E.
Pour (a, b) ∈ E × E si (a, b) ∈ R on note aRb sinon
on note a 6 Rb.
Les relations binaires sont omniprésentes. Par exemple ”⊂” est une relation binaire sur l’ensemble des parties d’un ensemble, ”≤” est une relation
binaire sur R, sur l’ensemble des triangles du plan ”est semblable” est une relation binaire, sur l’ensemble des applications réelles de la variable réelle ”est
une primitive de” est une relation binaire. Lorsqu’on a une relation binaire
sur un ensemble fini une manière agréable de visualisation est un ”diagramme
sagittal”.
Exemple
Pour E = {a, b, c, d, e} et R = {(a, a), (a, c), (b, a), (b, d), (d, b)}
on a aRa, aRc, bRa, bRd et dRb, le diagramme sagittal correspondant
consiste à tracer dessiner une ”patate” représentant E et une flèche entre
deux éléments x et y lorsque xRy.
Exercice 8. Soit E = {a, b, c, d}, donner le diagramme saggital de la relation
binaire sur E, R = {(a, a), (b, d), (d, c)}
† Fonctions et applications
Définition 10 Soit E et F deux ensembles (il peut arriver que ce soit deux
fois le même ensemble). Une correspondance f de E vers
F consiste en la donnée d’un graphe Gf de E vers F .
- Parmi les correspondances de E vers F celles qui satisfont
”si pour tout élément x de E il existe au plus un élément y
de F tel que (x, y) est dans le graphe”
sont appelées des fonctions.
- Parmi les correspondances de E vers F celles qui satisfont
”si pour tout élément x de E il existe exactement un
élément y de F tel que (x, y) est dans le graphe”
sont appelées des applications.
2.4. RELATIONS BINAIRES
29
L’usage est de noter les fonctions et les applications par
f : E → F
x 7→ f (x)
où f (x) est l’unique élément de F (s’il existe) tel que (x, f (x)) est dans le
graphe.
Les fonctions et les applications sont aussi des objets très courants en
mathématique. Par exemple, les ”fonctions classiques” de terminale sont
des fonctions de R dans R, il existe aussi des exemples plus exotiques : la
”dérivation” peut être vue comme une fonction de l’ensemble des fonctions
réelles de la variable réelle vers lui même, la complémentation peut être vue
comme une application de l’ensemble P(E) dans lui-même.
Dans les deux paragraphes suivants on étudiera plus en détail les notions
concernant les relations binaires et les applications.
2.4
Relations binaires
Définition 11 Soit R une relation binaire sur un ensemble E.
On dit que R est
i) Réflexive lorsque ∀x ∈ E, xRx.
ii) Symétrique lorsque ∀x, y ∈ E, xRy ⇒ yRx.
iii) Transitive lorsque ∀x, y, z ∈ E, (xRy et yRz) ⇒ xRz.
iv) Antisymétrique lorsque
∀x, y ∈ E, (xRy et yRx) ⇒ x = y.
Exemple
- On muni N∗ (l’ensemble des entiers naturels non nuls) de la relation a|b
lorsque a est un diviseur de b, autrement dit le graphe de cette relation
est G = {(a, b) ∈ N∗ × N∗ /∃k ∈ N/b = ka}.
- Soit a ∈ N∗ , on a a = 1.a donc a|a, ceci est vrai pour n’importe quel
entier a donc | est une relation refléxive.
- Soit a et b dans N∗ si on a a|b on n’a pas forcément b|a comme le montre
l’exemple 2|4 et 4 6 |2, donc la relation | n’est pas symétrique.
- Soit a, b et c dans N∗ si on a a|b et b|c alors a|c, donc la relation | est
transitive.
- Soit a et b dans N∗ si on a a|b et b|a alors on a a = b, en effet comme
a|b on trouve un entier k tel que b = k.a et comme b|a on trouve un
entier ` tel que a = `.b donc a = `.(k.b) = (`.k).a, donc `.k = 1 comme
` et k sont des entiers positifs on a ` = k = 1 donc a = b, la relation | est
antisymétrique.
30
CHAPITRE 2. ENSEMBLES
Exercice 9. Que ce passe-t’il si on considère la relation | non pas sur N∗
mais sur Z∗ ?
- Soit E un ensemble. La relation binaire ⊂ sur P(E) est reflexive, transitive, antisymétrique, mais n’est pas symétrique.
Exercice 10. Pour E = {a, b, c} donner le graphe de la relation ⊂ sur
P(E).
Exercice 11. Quelles sont les propriétés des relations binaires sur R définies
par
a) xRy ⇐⇒ sin(x) − sin(y) = 0 ?
b) xQy ⇐⇒ x.y ≤ 0 ?
† Relations d’équivalence
Définition 12 Soit E un ensemble. Une relation binaire sur E est une
relation d’équivalencelorsque elle est reflexive, symétrique
et transitive.
La notion de relation d’équivalence est extrémement importante. C’est un
outil utilisé pour la fabrication d’objets nouveaux, nous rencontrerons de
nombreuses relations d’équivalence dans les développements ultérieurs.
Définition 13 Soit E un ensemble et ' une relation d’équivalence sur E.
- Soit x ∈ E, la classe d’équivalence de x est l’ensemble
des éléments de E qui sont en relation avec x, il est fréquent
de noter x̄ la classe d’équivalence de x,
x = {y ∈ E/x ' x}.
- Soit x ∈ E, un élément de la classe d’équivalence de x est
appelé un représentant de cette classe, autrement dit y est
un représentant de x signifie simplement que y ∈ x.
- Les classes d’équivalences sont des parties de E, elles
forment un ensemble (qui est une partie de P(E)) appelé ensemble quotient de E par ' et noté E/' .
Exemple
- Soit E = {Homer, M arge, Lisa, Bart}. Soit ' la relation binaire
définie sur E par
x ' y ⇐⇒ x et y sont du même sexe .
Cette relation est une relation d’équivalence (cela est facile a vérifier).
On a Homer = {Homer, Bart}(= Bart)
et M arge = {M arge, Lisa}(= Lisa),
Il y a deux classes d’équivalence : Homer et Lisa.
L’ensemble quotient est E/' = {Homer, M arge}.
2.4. RELATIONS BINAIRES
31
- Soit ' la relation binaire sur R∗ définie par x ' y ⇐⇒ xy > 0.
C’est une relation d’équivalence. En effet,
- Soit x ∈ R∗ on a xx = x2 > 0 donc x ' x : la relation est donc
réflexive.
- Soit x, y ∈ R∗ si on suppose que x ' y alors x.y > 0 donc on a
y.x > 0 c’est-à-dire y ' x : la relation est donc symétrique.
- Soit x, y et z dans R∗ , si on suppose que x ' y et que y ' z
alors x.y > 0 et y.z > 0 alors x.y.y.z > 0 mais y.y > 0 quelle
que soit la valeur donnée à y donc x.z > 0 c’est-à- dire x ' z :
La relation est donc transitive.
Soit x ∈ R∗ la classe de x est x = {y ∈ R∗ /y ' x}.
- Si x > 0 on a y ' x ⇐⇒ x.y > 0 ⇐⇒ y > 0,
- Si x < 0 alors y ' x⇐⇒ x.y > 0 ⇐⇒ y < 0.
R∗+ si x > 0
.
Donc finalement x =
R∗− si x < 0
Il y a deux éléments dans l’ensemble quotient, R∗ /' = {R∗+ , R∗− }.
Sur les deux exemples on remarque que deux classes d’équivalences distinctes sont disjointes (c’est-à-dire d’intersection vide) et que la réunion des
classes d’équivalence vaut E. C’est un fait général que nous allons montrer.
Définition 14 Soit E un ensemble. Soit (Ai )ı∈I une famille de partie de E.
On dit que cette famille forme une partition de E lorsque
i) aucune des parties Ai n’est vide,
ii) deux parties distinctes Ai et Aj sont disjointes,
iii) la réunion de ces parties vaut E.
Exemple
- Soit E = {Homer, M arge, Lisa, Bart}.
A1 = {Homer, Bart}, A2 = {M arge, Lisa} est une partition de E
(en deux parties).
- Les parties de R∗ , A1 = R∗+ et A2 = R∗− forment une partition de R∗ .
(en deux parties également).
- Il peut y avoir plus d’une partie dans une partition et même une infinité.
Par exemple, si pour k ∈ Z on pose Ak = [k, k + 1[, on obtient une
partition de R puisque aucune des parties Ak n’est vide, si elles sont
distinctes les deux parties Ak et Al sont disjointes et que leur réunion
vaut R.
32
CHAPITRE 2. ENSEMBLES
Propriété 6 Soit E un ensemble et ' une relation d’équivalence sur E.
Les classes d’équivalences forment une partition de E.
Démonstration
Soit C une classe d’équivalence, c’est la classe d’un élément x de E donc
C = x comme ' est refléxive x ' x donc x ∈ x = C et C est donc non vide.
Soit C et D deux classes d’équivalence, soit x et y des représentants de
ces classes. Si elles ne sont pas dijointes, alors on trouve z ∈ C ∩ D = x ∩ y
donc on a z ' x et z ' y. Soit t ∈ C = x, on a t ' x, compte tenu du
fait que ' est symétrique et transitive on a x ' z donc t ' z et comme
z ' y on a t ' y donc t ∈ y = D : donc C ⊂ D. On montre de même que
D ⊂ C. Finalement, C = D. On a montré que si elles ne sont pas disjointes
alors les classes d’équivalence C et D sont égales. (ceci est un exemple de
raisonnement par contraposition).
Soit x ∈ E, alors x ∈ x donc x est dans la réunion des classes d’équiS
valence, autrement dit E ⊂ C∈E/' C.
Propriété 7 Soit (Ai )i∈I une partition d’un ensemble E. Alors il existe
une unique relation d’équivalence sur E dont les Ai sont
les classes d’équivalence.
Démonstration
Soit (Ai )i∈I une partition d’un ensemble E. Pour x et y dans E, posons
x ' y lorsqu’il existe i ∈ I tel que x ∈ Ai et y ∈ Ai . Cela définit une relation
binaire ' sur E.
Soit x ∈ E, comme les Ai forment une partition de E, leur réunion vaut
E, donc x est au moins dans l’une des parties Ai , disons dans la partie Ai0 .
On a x ∈ Ai0 ( et x ∈ Ai0 ) donc x ' x : La relation ' est donc reflexive.
Soit x et y dans E. Si on suppose que x ' y alors on trouve i dans I tel
que x ∈ Ai et y ∈ Ai , donc on a y ∈ Ai et x ∈ Ai c’est-à-dire y ' x : La
relation ' est symétrique.
Soit x, y et z dans E si on suppose que x ' y et y ' z alors on trouve
i ∈ I tel que x ∈ Ai et y ∈ Ai et on trouve j ∈ I tel que y ∈ Aj et z ∈ Aj (ce
n’est pas a priori la même partie ”A” qui contient x et y et qui contient y et
z). On a alors y ∈ Ai ∩ Aj donc les parties Ai et Aj ne sont pas disjointes,
elles sont donc égales donc x ' z : la relation ' est donc transitive.
Finalement ' est une relation d’équivalence sur E.
Soit x ∈ E, comme les Ai forment une partition de E il existe un et un
seul i ∈ I tel que x ∈ Ai disons Ai0 , alors
x = {y ∈ E/y ' x} = {y ∈ E/∃i ∈ I/x ∈ Ai et y ∈ Ai } = Ai0 .
La classe d’équivalence de x est l’unique partie Ai0 qui le contient !
2.4. RELATIONS BINAIRES
33
Exercice 12. Soit R la relation binaire sur E = {a, b, c, d, e} représentée
par le diagramme saggital
Quel est le graphe de cette relation ? est-ce une relation d’équivalence ? si oui
quelles sont les classes d’équivalence ? Donner l’ensemble quotient.
Exercice 13. Soit ' une relation d’équivalence sur un ensemble E. Soit F
une partie de E, pour x, y ∈ F on pose x 'F y lorsque x ' y.
a) Montrer que 'F est une relation d’équivalence sur F
b) Soit x ∈ F donner en fonction de la classe d’équivalence de x pour '
et de F la classe d’équivalence de x pour 'F .
c) Donner une condition nécessaire et suffisante sur F pour que les classes
d’équivalence pour 'F soient toutes des classes d’équivalence pour '.
Exercice 14.
Soit ≡ et ' deux relations déquivalence sur un même ensemble E.
On suppose que ∀x, y ∈ E, x ≡ y ⇒ x ' y.
a) Comparer les graphes de ' et de ≡
b) Montrer que toute classe d’équivalence relative à ≡ est contenue
dans une classe d’équivalence relative à '.
c) Montrer que toute classe d’équivalence relative à ' est une réunion de
classes d’équivalence relatives à ≡.
† Relations d’ordre
Définition 15 - Soit E un ensemble. Une relation binaire sur E est une
relation d’ordre sur E lorsqu’elle est reflexive, transitive et
antisymétrique.
- Un ensemble E muni d’une relation d’ordre ≤ est un
ensemble ordonné.
Les exemples de relation d’ordre sont également très nombreux. ≤ est une
relation d’ordre sur N ( mais aussi sur Z, Q et R). l’inclusion est une relation
d’ordre sur l’ensemble des parties d’un ensemble.
34
CHAPITRE 2. ENSEMBLES
Définition 16 - Soit (E, ≤) un ensemble ordonné, soit {x, y} une paire
d’élément de E on dit qu’ils sont une paire d’éléments
comparables pour ≤ si on a x ≤ y ou y ≤ x.
- Si toute paire d’éléments de E est une paire d’éléments
comparables on dit que ≤ est un ordre total sur E.
Définition 17 Soit (E, ≤) un ensemble ordonné. Soit A une partie de E
et x un élément de E.
- x est un majorant de A si ∀a ∈ A, a ≤ x
x est un minorant de A si ∀a ∈ A, x ≤ a.
- x est un plus grand élémentde A
si x ∈ A et ∀a ∈ A, si a 6= x alors x 6≤ a,
x est un plus petit élément de A
si x ∈ A et ∀a ∈ A, si a 6= x alors a 6≤ x.
- Une borne supérieure de A est un plus petit majorant
de A,
une borne inférieure est un plus grand minorant
de A.
Exercice 15.
a) Pour chacune des parties suivantes de R muni de l’ordre naturel ≤,
donner si cela existe un exemple de majorant, de minorant, de plus grand
élément, de plus petit élément, de borne supérieure, de borne inférieure.
A = [0, 1[, B = [0, 1], C =]0, +∞[, D = N, E = Z.
b) Soit E = {a, b, c, d, e}, on muni P(E) de l’inclusion. Est-ce un ensemble
totalement ordonné ? Pour chacune des parties suivantes de P(E)
donner si cela existe un exemple de majorant, de minorant, de plus grand
élément de plus petit élément, de borne supérieure, de borne inférieure.
A = {∅, {a, c}, {b, c, d}}
B = {{a}, {a, c}, {a, c, f }}.
Exercice 16. Soit (E, ≤) un ensemble totalement ordonné. Soit A une
partie non vide de E. Montrer que A possède au plus un plus grand élément et
que s’il existe ce plus grand élément est également l’unique borne supérieure
de A.
2.4. RELATIONS BINAIRES
35
Un exemple extrémement important d’ensemble totalement ordonné est
(N, ≤).
Axiome de récurrence.
Soit Pn une assertion dont la valeur de vérité dépend de la valeur donnée
à l’entier naturel n.
Si
- P0 est vraie.
- ∀n ∈ N, Pn ⇒ Pn+1
Alors
∀n ∈ N, Pn est vraie.
Exemple
On veut montrer que ∀n ∈ N∗ , 1 + 2 + 3 + . . . n = n(n+1)
2
Notons Pn l’assertion 1 + 2 + · · · + n = n(n+1)
.
2
- L’assertion P1 signifie 1 = 1×2
qui
est
manifestement
vraie.
2
- Supposons que pour n ∈ N∗ donné Pn soit vraie, alors on a
1 + 2 + ··· + n =
n(n + 1)
.
2
Alors, on a
1 + 2 + · · · + (n + 1) = (1 + 2 + · · · + n) + (n + 1)
n(n+1)
=
+ (n + 1)
2
n(n+1)+2(n+1)
=
2
(n+1)(n+2)
=
2
donc Pn+1 est vraie.
Une application de l’axiome de récurrence donne ∀n ∈ N∗ , Pn est vraie.
Exercice 17. Trouver et démontrer une formule similaire à la formule précédente donnant l’expression de la somme
12 + 22 + 32 + · · · + n2 .
36
2.5
CHAPITRE 2. ENSEMBLES
Fonctions et applications
Définition 18 1. Soit E et F deux ensembles et Gf un graphe de E vers F .
On dit qu’il s’agit d’un graphe fonctionnel lorsque
∀x ∈ E Il existe au plus un élément y ∈ F/(x, y) ∈ Gf
Dans ce cas on dit aussi que Gf est le graphe d’une fonction
f de E vers F que l’on note
f : E →
F
x 7→ y = f (x)
Où y est l’unique élément, si il existe, de F tel que (x, y) ∈ Gf
2. Soit E et F deux ensembles et Gf un graphe de E vers F .
On dit qu’il s’agit du graphe d’une application lorsque
∀x ∈ E Il existe exactement un élément y ∈ F/(x, y) ∈ Gf
Dans ce cas on dit aussi que Gf est le graphe d’une
application f que l’on note
f : E →
F
x 7→ y = f (x)
Où y est l’unique élément de F tel que (x, y) ∈ Gf
3. Si f est une fonction (ou une application) de E vers F on
dit que E est l’ensemble de départ de f et que F est son
ensemble d’arrivée.
4. Soit f : E → F une fonction. La partie de E formée des
éléments pour lesquels f (x) existe est appelé l’ ensemble
de définition de f . On note cette partie Deff ou Def (f ).
Exemple
- cos : R → R est une application de R dans R.
- f : R → R; x 7→ x1 est une fonction dont l’ensemble de définition
est R∗ .
- g : R∗ → R; x 7→ x1 est une application.
Il faut remarquer que f et g ne sont pas le même objet ! !
2.5. FONCTIONS ET APPLICATIONS
37
† Injections, surjections et bijections
Dans tout ce paragraphe on considère des applications f, g, h, ...
d’un ensemble E vers un ensemble F .
Définition 19 Soit y ∈ F , un antécédant de y pour f est un élément x de
E tel que f (x) = y.
Il y a trois cas de figure : L’élément y de F peut admettre plusieurs antécédants, un unique antécédant ou aucun antécédant.
Définition 20 On dit que f est une
- Injection de E vers F lorsque tout élément de F admet
au plus un antécédant.
- Surjection de E vers F lorsque tout élément de F admet
au moins un antécédant.
- Bijection de E vers F lorsque tout élément de F admet
exactement un antécédant,
autrement dit une bijection est une application qui est simultanément injective et surjective.
Exemple
-Le graphe représenté par le premier diagramme est une application qui
n’est ni injective ni surjective, le diagramme 2 représente une injection
qui n’est pas surjective, le diagramme 3 une surjection qui n’est pas injective, le diagramme 4 une bijection.
Les applications représentées par les diagrammes ci-dessus peuvent aussi
être représentées par les diagrammes sagitaux suivants
38
CHAPITRE 2. ENSEMBLES
- Soit E un ensemble et R une relation d’équivalence sur E l’application
ΠR de E vers E/R définie par x 7→ x est une surjection appelée surjection
canonique de E sur son quotient E/R .
- Soit A une partie d’un ensemble E. L’application
iA : A → E : x 7→ x
est une injection appelée injection canonique de A dans E.
† Composition des applications
Définition 21 Soit f et g deux applications respectivement, d’un ensemble
E vers un ensemble F et de F vers un ensemble G.
On appelle composée de f et de g l’application notée g ◦ f
de E vers G définie par g ◦ f (x) = g(f (x)) pour tout élément
de E.
Attention à la notation : Si on voit les applications f et g comme des ”transformations” la ”transformation” g ◦ f consiste en la transformation f suivie
de la transformation g.
Définition 22 Soit E un ensemble on appelle identité de E et on note IdE
l’application
IdE : E →
E
x 7→ IdE (x) = x
Pour tout ensemble E l’identité de E est de manière évidente une bijection
de E dans E.
Propriété 8 a) La composée de deux surjections est une surjection.
b) La composée de deux injections est une injection.
c) La composée de deux bijections est une bijection.
Démonstration
f
g
Soit E → F → G deux applications.
a) Si f et g sont surjectives alors
(∀z ∈ G, ∃y ∈ F/g(y) = z) et (∀y ∈ F, ∃x ∈ E/f (x) = y)
donc
∀z ∈ G, ∃x ∈ E/g(f (x)) = z.
Autrement dit g ◦ f est surjective.
b) Si f et g sont injectives alors soit x et x0 deux éléments de E si on
suppose que g ◦ f (x) = g ◦ f (x0 ) alors g(f (x)) = g(f (x0 ), comme g est une
injection on a donc f (x) = f (x0 ) et comme f est aussi une injection on a
x = x0 donc g ◦ f est une injection.
c) est une conséquence directe de a) et b).
2.5. FONCTIONS ET APPLICATIONS
f
39
g
Propriété 9 Soit E → F → G deux applications.
a) Si g ◦ f est injective alors f est injective.
b) Si g ◦ f est surjective alors g est surjective.
Démonstration
a) Supposons que f ne soit pas une injection alors on trouve un élément
de F qui possède plus d’un antécédant par f : donc deux éléments distincts
dans E, x et x0 tels que f (x) = f (x0 ), on a alors g ◦ f (x) = g ◦ f (x0 ) donc
g ◦ f n’est pas injective.
b) Supposons que g ◦ f soit surjective, soit z ∈ G, z admet un antécédant
par g ◦ f autrement dit on trouve x ∈ E tel que g ◦ f (x) = z alors on a
g(f (x)) = z donc f (x) est un antécédant de z pour g, g est donc surjective.
Exercice 18. Pour chacune des correspondances suivantes déterminer
si ce sont des fonctions (dans ce cas en donner le domaine de définition),
si ce sont des applications et dans ce cas déterminer si ce sont des
injections, des surjections, des bijections.
a) cos : R → R; x 7→ cos(x)
b) cos : R → [−1, +1]; x 7→ cos(x)
c) tg : R → R; x 7→ tg(x)
, π [→ R; x 7→ tg(x)
d) cos :] −π
2 2
1
e) f : R → R; x 7→ x+1
x
f) g : R \ {−2} → R; x 7→ x+2
g) h : R+∗ → R+∗ ; x 7→ x1
Exercice 19.
Soit E et F deux ensembles et f une application de E vers F .
a) Donner une condition nécessaire et suffisante sur f
pour qu’il existe une application g de F vers E telle que f ◦ g = IdF .
b) Donner une condition nécessaire et suffisante sur f pour
qu’il existe une application g de F vers E telle que g ◦ f = IdE .
40
CHAPITRE 2. ENSEMBLES
† Applications et relations d’équivalence
Soit f une application d’un ensemble E vers un ensemble F et R une
relation
d’équivalence sur E, soit Π la projection canonique de E sur l’ensemble quotient E/R . On a un diagramme d’application
E
f
→
F
Π↓
E/R
Le problème que l’on se propose de résoudre est celui de l’existence d’une
application f de l’ensemble quotient vers f telle que f ◦ Π = f , autrement
dit de pouvoir compléter le diagramme précédent en un ”triangle” :
f
E
→
Π↓
%f
F
E/R
Supposons que l’application f existe alors on a nécessairement
∀x ∈ E,
f (x) = f (Π(x)) = f (x).
Par conséquent, si x, x0 ∈ E sont tels que xRx0 on a x = x0 donc f (x) = f (x0 ).
Donc on doit avoir ∀x, x0 ∈ E, xRx0 =⇒ f (x) = f (x0 ).
Réciproquement, si ∀x, x0 ∈ E, xRx0 =⇒ f (x) = f (x0 ) alors la formule
f (x) = f (x) définit une application (et non une correspondance) dont on
vérifie facilement qu’elle répond au problème posé.
Définition 23 Une relation d’équivalence R sur un ensemble E et une
application d’ensemble de départ E sont dits compatibles
lorsque ∀x, x0 ∈ E, xRx0 =⇒ f (x) = f (x0 ).
On a démontré la propriété suivante
Si une relation d’équivalence R et une application f définies sur E sont
compatibles alors il existe une application f définie sur E/R telle que
f ◦ Π = f.
2.6. BIJECTIONS, CARDINALITÉ
2.6
41
Bijections, cardinalité
Définition 24 Soit E et F deux ensembles. On dit qu’ils ont même cardinalité lorsqu’il existe une bijection de E vers F .
Propriété 10 S’il existe une bijection f d’un ensemble E vers un ensemble
F alors il existe aussi une bijection de F vers E.
Précisément, il existe une unique bijection que l’on note usuellement f −1 et appelée bijection réciproque de f de F vers
E telle que
f ◦ f −1 = IdF et f −1 ◦ f = IdE .
Réciproquement, une application f de E vers F étant donnée,
s’il existe une application g de F vers E telle que
f ◦ g = IdF et g ◦ f = IdE alors
l’application g est unique, f est une bijection et g est la bijection réciproque de f .
Démonstration
Soit E et F deux ensembles et f : E → F une bijection. Alors la formule
y 7→ xy où xy est l’unique antécédant de y pour f définit une application
de F vers E, cette application est une bijection satisfaisant les conditions
imposées.
Une application f de E vers F étant donnée, supposons qu’il existe une
application g de F vers E telle que f ◦ g = IdF et g ◦ f = IdE .
- L’application IdF est injective et surjective (puisqu’elle est bijective) donc
si f ◦ g = IdF alors d’une part g est surjective et d’autre part f est injective.
- L’application IdE est injective et surjective (puisqu’elle est bijective) donc
si g ◦ f = IdE alors d’une part g est injective et d’autre part f est surjective.
Donc f et g sont bijectives et g est la bijection réciproque de f .
Terminologie :
- Lorsqu’un ensemble a même cardinalité que l’ensemble N∗n = {1, 2, . . . , n}
on dit qu’il est fini de cardinal n.
- Lorsqu’un ensemble n’est pas de cardinal fini (c’est-à-dire n’est en bijection
avec aucun des ensembles N∗n pour n ∈ N) on dit que c’est un ensemble
infini.
- Parmi les ensemble infini ceux qui ont même cardinalité que N sont dit
infinis dénombrables.
- Il existe des ensembles infinis non dénombrables.
42
CHAPITRE 2. ENSEMBLES
Exemple
- L’ensemble Z est infini dénombrable :
Une bijection de N vers Z est par exemple
n
si n est pair
2
f : N → Z : n 7→
n+1
− 2 si n est impair
- L’ensemble R est infini non dénombrable :
Il est manifeste que R n’est pas fini puisqu’il contient N.
Supposons que ce soit un ensemble dénombrable, alors on trouverait une
bijection f de N vers R.
Supposons que la partie ”après la virgule” du développement décimal de
f (n) soit
0, dn1 dn2 dn3 . . . dnk . . .
(les dnk sont donc des chiffres) considérons alors le réel de développement
décimal
0, c1 c2 . . . ck . . .
où cj = 5 si djj 6= 5 et cj = 0 sinon.
Ce réel n’est pas dans la suite des réels f (n) !
Donc l’application f ne peut être une bijection.
Principe des tiroirs : Soit E et F deux ensembles finis de même cardinal
et soit f une application de E vers F alors
f injective ⇐⇒ f surjective ⇐⇒ f bijective
Attention si on n’a pas l’hypothèse que E et F sont finis (même s’ils
sont de même cardinal) les équivalences deviennent fausses par exemple il
est évident que f : N → N; n 7→ n + 1 est injective mais ce n’est pas une
surjection puisque 0 n’admet pas d’antécédant.
2.7
Applications image réciproque et image
directe
† Application image directe
Définition 25 Soit f : E → F une application, soit A une partie de E.
On pose f (A) = {y ∈ F/∃x ∈ A/f (x) = y},
f (A) est la partie de F formée des images par f des éléments
de A et s’appelle image directe de A par f .
2.7. APPLICATIONS IMAGE RÉCIPROQUE ET IMAGE DIRECTE 43
Cela définit une application de P(E) vers P(F ) que l’on note f , cette
notation a priori ambiguë, puisque f note à la fois l’application initiale de
E vers F et l’application image directe associée de P(E) vers P(F ), ne l’est
pas en pratique puisque si A est une partie de E, dans l’expression f (A), ”f ”
note nécessairement l’application image directe et si x est un élément de E
dans l’expression f (x), ”f ” note l’application initiale.
Propriété 11 Soit f : E → F une application. Soit A1 et A2 deux
parties de E.
a) f (A1 ∩ A2 ) ⊂ f (A1 ) ∩ f (A2 ).
b) f (A1 ∪ A2 ) = f (A1 ) ∪ f (A2 ).
Démonstration
a) Soit y ∈ f (A1 ∩ A2 ), alors on trouve x ∈ A1 ∩ A2 tel que y = f (x)
cet élément x de E est dans A1 donc f (x) ∈ f (A1 ) il est également dans A2
donc f (x) ∈ f (A2 ) finalement y = f (x) ∈ f (A1 ) ∩ f (A2 ).
L’inclusion réciproque est fausse de manière générale comme on peut le
constater sur le diagramme
b) Soit y ∈ Fon a y ∈ f (A1 ∪ A2 ) ⇐⇒ ∃x ∈ A1 ∪ A2 /f (x) = y
⇐⇒ ∃x ∈ A1 ou ∃x ∈ A2 /y = f (x)
⇐⇒ y ∈ f (A1 ) ou y ∈ f (A2 )
⇐⇒ y ∈ f (A1 ) ∪ f (A2 )
† Application image réciproque
Définition 26 Soit f : E → F une application, soit B une partie de F .
On pose f −1 (B) = {x ∈ E/∃f (x) ∈ B},
f −1 (B) est la partie de E formée des antécédants par f des
éléments de B et s’appelle image réciproque de B par f .
Cela définit une application de P(F ) vers P(E) que l’on note f −1 , cette
notation a priori ambiguë, puisque dans le cas où f est une bijection f −1
note à la fois la bijection réciproque de f (de F vers E) et l’application
image image réciproque associée à f de P(F ) vers P(E), ne l’est pas en
pratique puisque si B est une partie de F , dans l’expression f −1 (B), ”f −1 ”
44
CHAPITRE 2. ENSEMBLES
note nécessairement l’application image réciproque et si y est un élément
de F dans l’expression f −1 (y), ”f −1 ” note la bijection réciproque de f (qui
n’existe que si f est bijective).
Propriété 12 Soit f : E → F une application. Soit B1 et B2 deux parties
de F .
a) f −1 (B1 ∩ B2 ) = f −1 (B1 ) ∩ f −1 (B2 ).
b) f −1 (B1 ∪ B2 ) = f −1 (B1 ) ∪ f −1 (B2 ).
Démonstration
a) Soit x ∈ E, on a
x ∈ f −1 (B1 ∩ B2 ) ⇐⇒
f (x) ∈ B1 ∩ B2
⇐⇒ f (x) ∈ B1 et f (x) ∈ B2
⇐⇒ x ∈ f −1 (B1 ) et x ∈ f −1 (B2 )
⇐⇒ x ∈ f −1 (B1 ) ∩ f −1 (B2 ).
b) Soit x ∈ E on a
x ∈ f −1 (B1 ∪ B2 ) ⇐⇒
f (x) ∈ B1 ∪ B2
⇐⇒ f (x) ∈ B1 ou f (x) ∈ B2
⇐⇒ x ∈ f −1 (B1 ) ou x ∈ f −1 (B2 )
⇐⇒ x ∈ f −1 (B1 ) ∪ f −1 (B2 ).
Exercice 20. Soit f : E → F une application.
a) Soit A une partie de E comparer f −1 (f (A)) et A.
Pouvez vous donner une condition nécessaire sur f et suffisante pour que
ces deux parties de E soient toujours égales ?
a) Soit B une partie de F comparer f (f −1 (B)) et B.
Pouvez vous donner une condition nécessaire sur f et suffisante pour que
ces deux parties de F soient toujours égales ?
Exercice 21. Soit E un ensemble.
L’application C : P(E) → P(E); A 7→ CE A est elle injective ? surjective ?
bijective ?
Exercice 22. Soit E un ensemble, soit {0, 1}E l’ensemble des applications
de E vers {0, 1}. On pose 1 : P(E) → {0, 1}E ; A 7→ 1A où
0 si x ∈
/A
1A est définie par 1A : E → {0, 1}; x 7→
1 si x ∈ A.
L’application 1A est la fonction indicatrice de A.
a) Montrer que 1 est une bijection.
b) Soit A et B deux parties de E exprimer 1A∩B et 1A∪B à l’aide de 1A et
1B .
2.7. APPLICATIONS IMAGE RÉCIPROQUE ET IMAGE DIRECTE 45
Exercices du chapitre II
1. Dans tout l’exercice E et F sont des ensembles, A et B sont des
assertions.
a) Ecrire une assertion équivalente sans utiliser le symbole N ON les négations
des assertions
∀x ∈ E, ∃y ∈ F/N ON A(x) =⇒ B(y)
∃x, y ∈ E/∀z ∈ F, A(x) ⇐⇒ B(y, z)
b) Les assertions suivantes sont elles équivalentes ?
∀x ∈ E, ∃y ∈ E/A(x) =⇒ B(y) et ∀y ∈ E, ∃x ∈ E/A(y) =⇒ B(x)
∀x ∈ E, ∃y ∈ E/A(x) =⇒ B(y) et ∃y ∈ E, ∀x ∈ E/A(x) =⇒ B(y)
∀x ∈ E, ∃y ∈ E/A(x) =⇒ B(y) et ∀y ∈ E, ∃x ∈ E/N ON B(y) =⇒ N ON A(x)
2. Soit E, F et G trois ensembles et f : E → F, g : F → G et h : G → E
trois applications.
On suppose que h ◦ g ◦ f est surjective et que g ◦ f ◦ h et f ◦ h ◦ g sont
injectives.
a) Montrer que h est bijective.
b) Montrer f et g sont bijectives.
3. Soit f : R2 → R2 ; (x, y) 7→ (2x + 3y, x + y)
L’application f est elle injective ? surjective ? bijective ?
4. Soit f : E → F une application. Soit A une partie de E.
Comparer f (f −1 (f (A))) et A.
5.
a) Soit A(x) et B(x) deux assertions quelconques dont la valeur de vérité
dépend de la valeur du terme x.
Montrer que l’implication
h
i
h
i
∀x, (A(x) =⇒ B(x)) =⇒ (∀x, A(x)) =⇒ (∀x, B(x))
est vraie.
b) Donner un exemple explicite d’assertions A(x) et B(x) montrant que l’implication réciproque est fausse.
46
CHAPITRE 2. ENSEMBLES
6.
a) Soit E un ensemble de cardinal fini n, Soit {A, B} une paire de parties de
E formant une partition de E. On pose
ϕ : P(A) × P(B) → P(E)
(X, Y )
7→ X ∪ Y
Montrer que ϕ est une bijection.
b) Soit p ≤ r ≤ q trois entiers naturels. Montrer la formule
p + q k
p X
p
q .
=
j
k
−
j
j=0
(On pourra utiliser la question a) même si cette question n’a pas été traitée.)
7. a) Soit A(x) et B(x) deux assertions quelconques dont la véracité
dépend de la valeur
du terme x.
Montrer que l’implication
h
i
h
i
(∃x, A(x)) =⇒ (∃x, B(x)) =⇒ ∃x, (A(x) =⇒ B(x))
est vraie.
b) Donner un exemple explicite d’assertions A(x) et B(x) montrant que
l’implication réciproque est fausse.
Chapitre 3
Anneaux
3.1
Définitions et propriétés élémentaires
Définition 27 Une loi de composition interne sur un ensemble E est
une
application du produit cartésien E × E vers E.
L’usage est de noter les lois de composition internes comme des ”opérations”
c’est-à-dire que, par exemple, l’addition des réels est une loi de composition
interne sur R que l’on note :
+ : R × R → R; (x, y) 7→ x + y ( et non (x, y) 7→ +(x, y)).
Définition 28 Soit une loi de composition interne sur un ensemble E.
On dit que
- est associative lorsque ∀x, y, z ∈ E, (xy)z = x(y z).
- e ∈ E est neutre pour lorsque ∀x ∈ E, e x = x e = x.
- Si admet un élément neutre e, un élément x ∈ E admet
un symétrique x0 lorsque x x0 = x0 x = e.
- est commutative lorsque ∀x, y ∈ E, x y = y x.
Exercice 1. Quelles sont les propriétés de la loi de composition interne sur
R définie par
x x = x + y − xy
Exercice 2. Montrer qu’une loi de composition interne sur un ensemble E
admet au plus un élément neutre.
47
48
CHAPITRE 3. ANNEAUX
Définition 29 Un anneau est un ensemble muni de deux lois de composition
internes (notées en général + et · ), satisfaisant les trois propriétés suivantes :
1) (A, +) est un groupe commutatif ;
C’est-à-dire que la loi + est associative, commutative, admet
un élément neutre (noté 0A ). Tout élément de A admet un
symétrique.
(Le symétrique de l’élément a de A est appelé son opposé il
est noté −a).
2) La loi · est associative, admet un élément neutre (noté 1A ).
3) La loi · est distributive par rapport à la loi + ; c’est-à-dire
∀a, b, c ∈ A, (a + b) · c = a · c + b · c et a · (b + c) = a · b + a · c.
Lorsque la loi · est de plus commutative, (A, +, · ) est un
anneau commutatif.
Notation : Lorsque (A, +, ·) est un anneau, on note A? l’ensemble A privé
de 0A .
Exercice 3. (N, ·, +) , (Z, ·, +), (Z, +, ·) , (P(E), ∩, ∪) et (P(E), ∪, ∩) sontils des anneaux ?
Nous n’étudierons en détail que trois exemples d’anneaux :
L’anneau des entiers relatifs Z, les anneaux des polynômes réels et complexes
R[X], et C[X].
Propriété 13 Soit (A, +, ·) un anneau.
L’élément neutre de l’addition 0A est absorbant pour la multiplication. c’est-à-dire
∀a ∈ A, A · 0A = 0A · a = 0A .
Démonstration :
Soit a ∈ A, on a
0A + a = a = 1A · a = (0A + 1A ) · a
= 0A · a + 1A · a = 0A · a + a.
Donc 0A + a = 0A · a + a en rajoutant l’opposé de a aux deux membres de
cette égalité il vient, 0A = 0A · a.
- Une conséquence importante est que ∀a ∈ A, on a (−1A ) · a = −a.
En effet, 0A · a = 0A donc
0A · a = (1A + (−1A )) · a = 1A · a + (−1A ) · a = a + (−1A ) · a = 0A .
3.1. DÉFINITIONS ET PROPRIÉTÉS ÉLÉMENTAIRES
49
Définition 30 Soit (A, +, ·) un anneau. Soit u ∈ A on dit que u est
inversible s’il admet un symétrique pour la multiplication.
Le symétrique de u pour la multiplication est noté u−1 et appelé inverse de u.
L’ensemble des inversibles de A est noté A× .
Définition 31 Soit (A, +, ·) un anneau. On dit que c’est un corps lorsque
tous ses éléments excepté 0A sont des inversibles, autrement
dit lorsque A× = A? .
Propriété 14 Soit (A, +, ·) un anneau. La multiplication détermine une loi
de composition interne sur A× et (A× , ·) est un groupe.
Démonstration
- La multiplication est une loi de composition interne sur A× :
Soit u et u0 deux inversibles de l’anneau (A, +, .).
On a
(u.u0 ).(u0−1 .u1 ) = u.(u0 .u0−1 ).u−1 = u.1A .u−1 = u.u−1 = 1A .
Le produit u.u0 est donc inversible et son inverse est (u.u0 )−1 = u0−1 .u−1 .
- A× 6= ∅. En effet, 1A est toujours un inversible.
- La loi · est associative sur A donc a fortiori sur A× .
- L’élément 1A est neutre pour la loi · sur A donc a fortiori sur A× .
- Tout élément u de A× posséde un symétrique pour la loi ·.
(A× , ·) est donc un groupe.
Notons que si A est un anneau commutatif le groupe des inversibles de A est
un groupe commutatif.
Propriété 15 (formule du binôme de Newton) :
Soit (A, +, ·) un anneau commutatif.
Soient a, b deux éléments de A alors
pour tout entier n supérieur ou égal à 2, on a
n
(a + b)n = an + n1 an−1 · b + n2 an−2 · b2 + · · · + n−1
a1 · bn−1 + bn
Pn
n
n−k
=
· bk .
k=0 k a
n!
pour k différent de 0 et de n
où on a posé
=
(n − k)!k!
n nk
et
=
= 1.
0
n
n
50
CHAPITRE 3. ANNEAUX
Démonstration :
On se donne a et b dans un anneau commutatif A. Pour un entier naturel
n ≤ 2 on pose (P )n : ” la formule proposée est vraie.”
- Montrons que (P )2 est vraie :
2
2
(a + b)2 = (a
+
b).(a+b) = a.a
+
a.b + b.a + b.b = a + 2a.b + b
= 20 a2 + 21 ab + 22 b2 .
- Soit n ≤ 2 un entier naturel donné. Supposons que (P )n soit vraie.
n X
n n−k k
Alors (a + b)n =
a
·b
k
k=0
On a
n X
n n−k k
n+1
n
(a + b)
= (a + b) .(a + b) =
a
· b (a + b)
k
k=0
n n X
X
n n−k k
n n−k k
a
·b ·b
=
a
·b ·a+
k
k
k=0
k=0
n n
X
n n−k+1 k X n n−k k+1
=
a
·b +
a
·b
k
k
k=0
k=0
n
n X
n (n+1)−k k X n (n+1)−(k+1) k+1
a
·b
a
·b +
=
k
k
k=0
k=0
n n−1
X
n (n+1)−k k X n (n+1)−(k+1) k+1
=
a
·b +
a
·b
k
k
k=0 k=0
n (n+1)−(n+1) n+1
+
a
b
n
Dans la seconde somme posons ` = k + 1 (donc k = ` − 1 et quand k parcourt
0, 1, ..., n − 1, ` parcourt 1, 2, ..., n). Il vient
n n
X
n (n+1)−k k X n (n+1)−` `
n+1
(a + b)
=
a
·b +
a
·b
k
`
−
1
k=0 `=1
n (n+1)−(n+1) n+1
+
a
b
n
n n
X
n (n+1)−k k
(n+1)−0
0
=
a
·b +
a
·b
0
k
k=1
n X
n (n+1)−` l n (n+1)−(n+1) n+1
+
a
·b +
a
b
`−1
n
`=1
On réunit les deux sommes,
utilise les relations
n on
n + 1 n n + 1
=
et
=
0
0
n
n+1
3.2. L’ANNEAU Z
51
pour obtenir :
n n + 1
n X
n
n+1
(n+1)−0
0
(a + b)
=
a
·b +
+
a(n+1)−k · bk
0
k
k
−
1
k=1
n + 1
+
a(n+1)−(n+1) bn+1
n + 1 n
n n + 1
Enfin on a la relation
+
=
k
k−1
k
Donc finalement,
n n + 1 (n+1)−0 0 X
n + 1 (n+1)−k k n + 1 (n+1)−(n+1) n+1
n+1
(a+b) =
a
·b +
a
·b +
a
b
0
k
n+1
k=1
Donc (P )n+1 est vraie.
Exercice 4.
a) On pose
Z[i] = {a + ib, a, b ∈ Z}
montrer que muni de l’addition et de la multiplication des entiers c’est un
anneau commutatif (anneau des entiers de Gauss). Calculer son groupe des
inversibles.
b) Pour n un entier naturel non nul, on pose
√
√
Q[ n] = {a + b n, a, b ∈ Q}
montrer que muni de l’addition et de la multiplication des réel c’est un anneau. Calculer son groupe des inversibles, est-ce un corps ?
Exercice 5.P a) Calculer nk=0 nk
b) Soit E un ensemble de cardinal égal à n. Quel est le nombre de parties de
E de cardinal k ( 0 ≤ k ≤ n)) ?
c) En déduire le nombre de parties de E.
3.2
L’anneau Z
(Z, +, ·) est un anneau commutatif, son élément neutre pour + est 0 ; son
élément neutre pour · est 1. Tous les éléments différents de 0 sont simplifiables
pour la multiplication. Les inversibles sont 1 et -1. Z× = {1, −1}.
Division Euclidienne de Z
Propriété 16 Soit a ∈ Z et b ∈ N\{0}, il existe un unique couple d’entier
(q, r) tel que
a = bq + r et 0 ≤ r < b.
52
CHAPITRE 3. ANNEAUX
Démonstration
- Unicité du couple (q, r) :
Soit a ∈ Z et b ∈ N \ {0}. Supposons que (q, r) et (q 0 , r0 ) soient deux couples
d’entier satisfaisant
a = bq + r, a = bq 0 + r0 et 0 ≤ r, r0 < b.
Alors on a
b(q 0 − q) = r0 − r
et si q 0 6= q on a |q 0 − q| ≥ 1 donc |r0 − r| ≥ b.
Comme r, r0 ∈ {0, 1, ...b − 1} on a r0 − r ∈ {−(b − 1), ..., −1, 0, 1, ..., (b − 1)} ce
qui est en contradiction avec la condition précédente, donc l’hypothèse q 6= q 0
doit être rejetée, par conséquent q = q 0 et r = r0 .
- Existence du couple (q, r) :
Soit a ∈ Z et b ∈ N \ {0}. - Si a = 0 le couple (0, 0) convient.
- Si a > 0 la suite un = b · n est strictement croissante et tend vers +∞
donc il existe un entier q tel que
uq = b · q ≤ a < uq+1 = b · (q + 1).
On a alors a = b · q + (a − b · q) et le couple (q, a − b · q) convient.
- Si a < 0 alors −a > 0 on trouve un couple (q, r) tel que a = b · q + r
et 0 ≤ r < b. On constate que a = b(−q − 1) + (b − r) :
Le couple (−q − 1, b − r) convient.
L’existence de cette division euclidienne est une des propriétés de Z les
plus importantes, nous verrons dans le chapitre suivant certaines de ses
conséquences.
3.3. L’ANNEAU DES POLYNÔMES
3.3
53
L’anneau des polynômes
Construction de l’anneau des polynômes
Soit (an )n∈N une suite réelle ou complexe, on dit qu’elle est nulle à partir
d’un certain rang s’il existe N ∈ N tel que si n > N , alors an = 0.
La suite dont les premiers termes sont a0 , a1 , . . . , aN et dont les termes suivants valent tous 0 sera notée (a0 , a1 , . . . , aN , 0 →).
On note R[X] l’ensemble des suites réelles nulles à partir d’un certain rang
et C[X] l’ensemble des suites complexes nulles à partir d’un certain rang.
Dans toute la suite de ce chapitre K désignera R ou C
Remarque : On a vu que le corps des réels R est inclus dans celui des
complexes C, donc on a
R[X] ⊂ C[X].
Définition 32 Si P = (a0 , ..., an , 0 →) ∈ K[X], ak est appelé le k-ième
coefficient de P . La suite (an )n∈N est aussi appelée la suite
des coefficients de P , le coefficient a0 est aussi appelé
coefficient constantde P .
- Structures algébriques sur l’ensemble des polynômes :
On muni maintenant K[X] de deux lois de compositions internes :
1) Soit P et Q ∈ K[X]. Si P = (an )n∈N et Q = (bn )n∈N , on pose
P + Q = (sn )n∈N où n ∈ N, sn = an + bn .
Comme les deux suites (an )n∈N et (bn )n∈N sont nulles à partir d’un certain
rang la suite (sn )n∈N également, plus précisément, si (an )n∈N est nulle à partir
du rang N et (bn )n∈N à partir du rang M , la suite (sn )n∈N est nulle au moins
à partir du rang M ax(N, M ) (car il peut y avoir des annulations de la somme
ak + bk avant le rang M ax(N, M )). La loi + est donc une loi de composition
interne sur K[X].
On déduit des propriétés de l’addition des réels et des complexes que + est
associative, commutative, que la suite constante égale à 0 est élément neutre
(on notera ce polynôme 0), que tout polynôme P admet un symétrique,
la suite des coefficients du symétrique de P est la suite des opposés des
coefficients de P , il est noté −P .
Finalement,
(K[X], +) est un groupe commutatif .
54
CHAPITRE 3. ANNEAUX
2) Soit P et Q ∈ K[X] . Si P = (an )n∈N et Q = (bn )n∈N , on pose
P × Q = (pn )n∈N
où ∀n ∈ N , pn = an · b0 + an−1 · b1 + an−2 · b2 + ... + a0 · bn
P
P
= nk=0 an−k · bk = nk=0 ak · bn−k .
Soit P = (an )n∈N et Q = (bn )n∈N . Supposons que la suite des coefficients
de P , (an )n∈N soit nulle à partir du rang N et que la suite des coefficients
de Q, (bn )n∈N soit nulle à partir du rang M . Autrement dit, ak = 0 dès que
k > N et b` = 0 dès que ` > M .
Alors pour n ≥ N + M + 1 on a
pn =
n
X
an−k · bk =
k=0
M
X
an−k · bk +
k=0
n
X
an−k · bk .
k=M +1
- Dans la deuxième somme l’indice k court de M + 1 à n, donc reste toujours
plus grand que M donc bk = 0. Cette somme est donc nulle.
- Dans la première somme l’indice k court de 0 à M , donc n − k court de n à
n − M comme n > N + M on a n − M + > N ,donc n − k donc en permanence
plus grand que N donc an−k = 0. Cette somme est nulle.
Finalement, pn = 0. La suite (pn ) est nulle à partir du rang N + M donc
P × Q est un polynôme. Donc,
i) La loi × est une loi de composition interne sur K[X].
ii) Le polynôme 1 = (1, 0, ..., 0 →) est élément neutre de (K[X]∗ , ×) :
En effet,
Soit Q = (bn )n∈N un polynôme, 1 × Q = (pn )n∈N
avec pn = 1 · bn + 0 · bn−1 + ... + 0 · b0 = bn
donc les suites (pn )n∈N et (bn )n∈N sont les mêmes.
Donc 1 × Q = Q, de même Q × 1 = Q.
iii) La loi × est associative : Nous avons P
besoin d’un résultat de technique
de calcul sur l’échange de deux signes ” ”.
Soit uk,` une quantité réelle ou complexe dépendant de deux indices entiers
k et `. Soit n un entier naturel fixé.
On a
n X
n−`
X
`=0 k=0
uk,` =
n X
n−`
X
uk,` .
k=0 k=0
On peut visualiser ce résultat en imaginant que les réels uk,` sont posés aux
points de coordonnées (k, `), les deux doubles-sommes correspondent à la
somme des réels déposés dans un triangle : elle peut être obtenue en sommant
3.3. L’ANNEAU DES POLYNÔMES
55
d’abord selon les ”verticales” puis en sommant ces résultats, ou en sommant
d’abord selon les ”horizontales” et en sommant ensuite ces résultats.
Soit P = (an )n∈N , Q = (bn )n∈N et P
R = (cn )n∈N trois polynômes.
On a P × Q = (pn )n∈N avec pn = nk=0 ak · bn−k .
Donc (P × Q) × R = (sn )n∈N avec
sn =
n
X
pn−l · cl =
l=0
n X
n−l
X
l=0 k=0
Par ailleurs, Q × R = (qn )n∈N avec qn =
et P × (Q × R) = (tn )n∈N avec
tn =
n
X
k=0
(ak · bn−l−k ) · cl .
ak · qn−k =
Pn
l=0 bn−l
n X
n−k
X
· cl .
ak · (bn−l−k · cl ).
k=0 l=0
Donc ∀n, sn = tn , d’où (P × Q) × R = P × (Q × R).
- La distributivité ne présente aucune difficulté particulière.
- On peut aussi remarquer que la multiplication est commutative.
Finalement :
(K[X], +, ×) est un anneau commutatif.
3) On considère également la loi à opérateur externe :
Soit λ ∈ K et P ∈ K[X], si P = (an )n∈N on pose λ · P = (λ · an )n∈N .
On vérifie facilement que
- ∀P ∈ K[X], 1.P = P .
-∀λ, µ ∈ K, ∀P, Q ∈ K[X], (λ + µ).P = λ.P + µ.P
(λ.µ).P = λ.(µ.P )
λ.(P + Q) = λ.P + λ.Q
En résumé : on dit que
(K[X], +, .) est un espace vectoriel sur le corps K.
Les polynômes sont un exemple important d’espace vectoriel, la notion d’espace vectoriel sera étudiée dans d’autres modules.
On a de plus, ∀λ ∈ K, ∀P, Q ∈ K[X], λ.(P · Q) = (λ.P ) · Q. On dit que
(K[X], +, ·, .) est une algèbre réelle ou complexe
56
CHAPITRE 3. ANNEAUX
- Qui est X ?
Soit P = (an )n∈N = (a0 , a1 , ..., aN , 0 →) un polynôme.
On a P = (a0 , 0, 0 →) + (0, a1 , 0, 0 →) + ... + (0, ..., aN , 0, 0 →)
= a0 .(1, 0, 0 →) + a1 .(0, 1, 0, 0 →) + ... + aN .(0, ..., 1, 0, 0 →).
Notons
X = (0, 1, 0, 0 →).
Montrons que pour n entier on a
Xn = X
· ... · X} =
| · X{z
n-fois
(0, 0, ...0, 1, 0, 0 →)
le ”1 ↑” est en position correspondant à l’indice n
Pour n = 1 ceci est vrai par définition de X.
Supposons avoir montré cela pour un n donné.
Alors,
X n+1 = X · X n = (0 , 1 , 0, 0 →) · (0 , . . . , 0 , 1 , 0 , 0 →)
a0 ↑, a1 ↑, a2 ↑
b0 ↑, ..., bn−1 ↑, bn ↑, bn+1 ↑, ...
n+1
On a donc X
= (c0 , ..., ck , ...) avec
ck = a0 .bk + a1 .bk−1 + a2 .bk−2 + ... + ak .b0
- Tous les ai sont nuls sauf a1 qui vaut 1 donc dans cette somme ne subsiste
que le terme a1 .bk−1 = bk−1 ,
- bk−1 vaut toujours 0 sauf lorsque k − 1 = n.
Finalement, ck vaut toujours 0 sauf lorsque k = n + 1.
Donc X n+1 = (0, ..., 0, 1, 0, ...) avec le ”1” à la position qui correspond à
l’indice n + 1.
Par conséquent, avec cette nouvelle notation on a
P
= (a0 , 0, ...) + (0, a1 , 0...) + ... + (0, ..., aN , 0, ...)
= a0 .(1, 0, ...) + a1 .(0, 1, 0...) + ... + aN .(0, ..., 1, 0, ...)
= a0 .1 + a1 .X + ... + aN .X N .
Très souvent on omet d’écrire 1, et on écrit plutôt P = a0 +a1 .X +...+aN .X N .
Mais en aucun cas la lettre X ne représente une ”variable”, nous allons
maintenant voir comment les polynômes peuvent s’”interpreter” comme des
fonctions.
3.3. L’ANNEAU DES POLYNÔMES
57
Fonctions polynomiales
Dans le secondaire les polynômes sont seulement abordés du point de vue
des fonctions polynômiales, la construction que nous vennons d’étudier en
fait des objets algébriques, les polynômes sont un type d’objet en eux-même
et non un type particulier de fonction. Il n’y a plus de confusions possibles
entre x qui désigne dans le secondaire la variable réelle et X qui désigne
un polynôme. Ce point de vue abstrait sera fondamental dans toutes sorte
de problème : problèmes arithmétiques, géométriques, algébriques, mais bien
sur aussi en analyse. Le fait qu’à un polynôme est associée une fonction se
généralise à d’autre type de fonction que les fonctions réelles de la variable
réelle.
- Soit (A, +, ·, .) une algèbre réelle ou complexe.
c’est-à-dire que
(A, +, ·) est un anneau commutatif,
(A, +, .) est un K-espace vectoriel (avec K = R ou C) et
∀λ ∈ K, ∀a, b ∈ A, λ.(a · b) = (λ.a) · b).
- Soit P ∈ K[X], P = c0 + c1 X + ... + cn X n .
On pose
fP,A : A → A; a 7→ c0 .1A + c1 .a + ... + cn .an
où ak = a · a · ... · a (k-fois).
L’application fP,A est appelée
Application polynômiale de A vers A associée au polynôme P .
Exemples :
- L’exemple le plus connu est celui des fonctions polynômiales réelles ou
complexes :
†(R, +, ·, .) est une algèbre réelle. Soit P = c0 + c1 X + ... + cn X n ∈ R[X].
On a
fP,R : R → R; x 7→ c0 + c1 x + ... + cn xn
†(C, +, ·, .) est aussi une algèbre réelle, on peut donc associer à un
polynôme réel une fonction complexe de la variable complexe :
fP,C : C → C; z 7→ c0 + c1 z + ... + cn z n
- (C, +, ·, .) est aussi une algèbre complexe, on peut donc associer à un polynôme complexe une fonction complexe de la variable complexe.
58
CHAPITRE 3. ANNEAUX
- Fonctions polynômiales de fonctions :
Soit C(R, R)) l’ensemble des fonctions réelles de la variable réelle, on pose
- ”+” l’addition des fonctions définie comme suit :
Si f et g sont deux fonctions réelles de la variables réelles on pose f + g
le fonction qui associe f (x) + g(x) au réel x.
- ”×” la multiplication des fonctions définie comme suit :
Si f et g sont deux fonctions réelles de la variables réelles on pose f × g
la fonction qui associe f (x).g(x) au réel x.
- ”·” la multiplication des fonctions par un scalaire réel :
Si f est une fonction réelle de la variable réelle et λ un réel,
on pose λ · f la fonction qui associe λ.f (x) au réel x.
Il est facile de vérifier que (C(R, R), +, ×, ·) est une algèbre réelle.
Soit P = c0 + c1 X + ... + cn X n un polynôme à coefficient réel, on a
fP,C(R,R) : C(R, R) → C(R, R); f 7→ c0 + c1 .f + ...cn .f n .
Propriété 17 Soit P et Q deux polynômes à coefficients réels . Alors
P = Q ⇐⇒ fP,R = fQ,R .
Démonstration :
L’implication directe est évidente.
Réciproquement,
soit
P = a0 + ... + an X n avec an 6= 0,
Q = b0 + ... + bp X p avec bp 6= 0
deux polynômes.
Supposons que fP,R = fQ,R , alors
∀x ∈ R si x est non nul on a x1n fP,R (x) = x1n fQ,R (x).
Donc
1
1
limx→+∞ n fP,R (x) = limx→+∞ n fQ,R (x).
x
x
1
1
Or limx→+∞ xn fP,R (x) = an donc limx→+∞ xn fQ,R (x) = an ce qui impose que
n = p et an = bp .
On applique le même raisonement aux polynômes P1 = a0 + ... + an−1 X n−1
et Q1 = b0 + ... + bn−1 X n−1 , jusqu’à épuisement.
Remarque : Contrairement à ce qu’on peut penser ce résultat n’est nullement une évidence, on utilise très fortement des propriétés de R.
Il existe des cas où l’égalité des fonctions polynômiales n’entraine pas l’égalité
des polynômes. Nous verrons un exemple en exercice.
3.3. L’ANNEAU DES POLYNÔMES
59
Propriété 18 Soit P et Q deux polynômes à coefficients complexes . Alors
P = Q ⇐⇒ fP,C = fQ,C .
Exercice 5. Démontrer cette propriété.
Définition 33 Soit P, Q ∈ K[X], on pose P ◦ Q = fP,K[X] (Q), autrement
dit
si P = a0 + a1 X + · · · + an X n , on a
P ◦ Q = a0 + a1 Q + · · · + an Qn .
Degré et valuation
Définition 34 Soit P un polynôme non nul à coefficients réels
(ou complexes).
- On appelle degré de P et on note d◦ P le plus grand indice
correspondant à un coefficient non nul dans la suite des coefficients de P .
Pour un polynôme non nul, le coefficient du terme de plus
haut degré est appelé coefficient dominant.
Lorsque le coefficient dominant du polynôme P vaut 1, on dit
que P est un polynôme unitaire.
- On appelle 0-valuation de P et on note V al0 P le plus petit
indice correspondant à un coefficient non nul dans la suite
des coefficients de P .
Par convention d◦ 0 = −∞ et V al0 0 = +∞.
Exemples
- Soient P = 3X + 5X 4 + 6X 7 et Q = 1 + X + X 2 .
On a d◦ P = 7 et d◦ Q = 2.
Le coefficient dominant de P est 6 celui de Q est 1,donc Q est unitaire.
Enfin V al0 P = 1 et V al0 Q = 0.
Exercice 6 . Calculer le degré et la 0-valuation des polynômes P ◦ Q, P × Q
et P + Q.
60
CHAPITRE 3. ANNEAUX
Propriété 19 (Comportement du degré relativement aux lois de composition)
a) Soient P et Q deux polynômes réels ou complexes,
on a
d◦ (P + Q) ≤ M ax(d◦ P, d◦ Q).
- Lorsque d◦ P 6= d◦ Q on a une égalité.
- Lorsque d circP = d◦ Q il peut arriver qu’on ait une égalité
mais aussi que l’inégalité soit stricte.
b) Soient P et Q deux polynômes réels ou complexes, on a
d◦ (P · Q) = d◦ P + d◦ Q.
(avec la convention −∞ + n = −∞)
c) Soit P un polynôme réel ou complexe et λ un réel ou un
complexe. On a
si λ 6= 0 alors d◦ (λ.P ) = d◦ P
si λ = 0 alors d◦ (λ.P ) = −∞.
d) Soient P et Q deux polynômes réels ou complexes.
On a
d◦ (P ◦ Q) = d◦ P.d◦ Q.
Démonstration :
Soit
P = a0 + ... + an X n avec an 6= 0
Q = b0 + ... + bp X p avec bp 6= 0
deux polynômes réels ou complexes.
a) Alors
- Si n < p (le cas p < n se traite de la même manière,
on a
P + Q = (a0 + b0 ) + ... + (an + bn )X n + bn+1 xn+1 + ... + bp X p
est de degré p(= M ax(n, p)) ;
- Si on a n = p alors
P + Q = (a0 + b0 ) + ... + (an + bn )X n
alors il est possible que an +bn = 0 donc que d◦ (P +Q) ≤ n(= M ax(n, p)).
b) On a P · Q = a0 b0 + (a0 b1 + a1 b0 )X + ... + an bp X n+p ,
comme ni an ni bp ne sont nuls an bp est non nul donc P · Q est de degré n + p.
c) est une évidence.
3.3. L’ANNEAU DES POLYNÔMES
61
d) On a P ◦ Q = a0 + a1 Q + · · · + an Qn .
Par application de b) on a d◦ Qk = kd◦ Q,
par application de c) on a d◦ ak Qk = 0 ou d◦ q k selon que ak est nul ou non.
Donc finalement, une application de a) donne d◦ P ◦ Q = nd◦ Q.
Le cas non traité P = 0 est trivial.
Exemples
- Si P = X + X 2 , Q = 1 + X − X 2 ,
on a
P + Q = 1 + 2X et P · Q = X + 2X 2 − X 4
donc
d◦ (P + Q) = 1 < M ax(d◦ P, d◦ Q) = M ax(2, 2) = 2
et
d◦ (P · Q) = 4 = d◦ P + d◦ Q = 2 + 2.
On a aussi
P ◦Q = Q+Q2 = (1+X −X 2 )+(1+X −X 2 )2 = 2+3X −2X 2 −2X 3 +X 4
donc d◦ (P ◦ Q) = 4 = d◦ P.d◦ Q.
- Si P = X + X2, Q = X2,
on a P + Q = X + 2X 2 et P · Q = X 3 + X 4 donc
d◦ (P + Q) = 2 = M ax(d◦ P, d◦ Q) = M ax(2, 2) = 2
et
d◦ (P · Q) = 4 = d◦ P + d ◦ Q = 2 + 2.
Corollaire 20 Les inversibles de K[X] sont les polynômes constants non
nuls. Autrement dit
K[X]× = { polynômes de degré 0}.
Démonstration :
Soit P un polynôme, si P est inversible on trouve un polynôme Q tel que
P · Q = 1. On a donc d◦ P + d◦ Q = d◦ 1 = 0 donc d◦ P = d◦ Q = 0.
Exercice 7. Soit P et Q deux polynômes réels.
a) Montrer que parmi les deux inégalités
d◦ (P + Q) ≤ M ax(d◦ P, d◦ Q)
d◦ (P − Q) ≤ M ax(d◦ P, d◦ Q)
l’une au moins est une égalité.
b) Montrer que si P + Q et P − Q sont des polynômes constants non nuls
alors P et Q sont des polynômes constants non nuls.
62
CHAPITRE 3. ANNEAUX
Propriété 21 (Comportement de la 0-valuation relativement aux lois de
composition)
a) Soient P et Q deux polynômes réels ou complexes, on a
V al0 (P + Q) ≥ M in(V al0 P, V al0 Q).
- Lorsque V al0 P 6= V al0 Q On a une égalité.
- Lorsque V al0 P = V al0 Q il peut arriver qu’on ait une
égalité mais aussi que l’inégalité soit stricte.
b) Soient P et Q deux polynômes réels ou complexes, on a
V al0 (P · Q) = V al0 P + V al0 Q.
(avec la convention +∞ + n = +∞)
c) Soit P un polynôme réel ou complexe et λ un réel ou un
complexe. On a
si λ 6= 0 alors V al0 (λ.P ) = V al0 P
si λ = 0 alors V al0 (λ.P ) = +∞
Exercice 8. Démontrer de ces trois propriétés.
Exercice 9. Trouver et démontrer une formule donnant la valuation en 0
de la composée de deux polynômes.
Exemples
- P = X + X 2, Q = 1 + X − X 2
on a
P + Q = 1 + 2X et P · Q = X + 2X 2 − X 4
Donc
V al0 (P + Q) = 0 = M in(V al0 P, V al0 Q) = M in(1, 0) = 0
et
V al0 (P · Q) = 1 = V al0 P + V al0 Q = 1 + 0.
- P = X + X2, Q = X,
on a
P + Q = 2X + X 2 et P · Q = X 2 + X 3
donc
V al0 (P + Q) = 1 = M in(V al0 P, V al0 Q) = M in(1, 1) = 1
et
V al0 (P · Q) = 2 = V al0 P + V al0 Q = 1 + 1.
3.3. L’ANNEAU DES POLYNÔMES
63
Exercice 10.
Soit P = a0 + a1 X + · · · + an xn un polynôme réel. Soit r un réel.
a) Montrer qu’il existe un unique n + 1-uplet (c0 , c1 , . . . , cn ) de réels
tels que P = c0 + c1 (X − r) + · · · + cn (X − r)n .
b) Montrer que le degré du polynôme Q = c0 + c1 X + · · · + cn X n est le
même que celui de P .
c) Peut-on lier la valuation en zero de Q et celle de P ?
La valuation en 0 de Q s’appelle la valuation en r de P .
Division Euclidienne des polynômes
Propriété 22 Soient A et B ∈ K[X], on suppose que B n’est pas le
polynôme nul.
Alors, il existe un unique couple (Q, R) de polynômes dans
K[X] tels que
(1) A = BQ + R
(2) d◦ R < d ◦ B
Le polynôme Q est appelé quotient euclidien de A par B.
Le polynôme R est le reste de la division Euclidienne.
La relation (1) est la division euclidienne de A par B.
Démonstration
Soient A et B deux polynômes avec B 6= 0.
Unicité :
Supposons que (Q1 , R1 ) et (Q2 , R2 ) soient deux couples de polynômes satisfaisant
A = BQ1 + R1 ,
d◦ R1 < d◦ B
et A = BQ2 + R2 ,
d◦ R2 < d◦ B
Alors on a BQ1 + R1 = BQ2 + R2 , donc
B(Q1 − Q2 ) = R2 − R1 .
Si on avait Q1 6= Q2 alors Q1 − Q2 6= 0 donc
d◦ (Q1 − Q2 ) ≥ 0 et d◦ (B(Q1 − Q2 )) ≥ d◦ B.
D’autre part d◦ (B(Q1 − Q2 )) = d◦ (R2 − R1 ) donc d◦ (R2 − R1 ) ≥ d◦ B.
Or, d◦ R1 < d◦ B et d◦ R2 < d◦ B, donc d◦ (R2 − R1 ) < d◦ B.
On obtient donc une contradiction : l’hypothèse Q1 6= Q2 doit être rejettée :
On a Q1 = Q2 et par suite R1 = R2 .
64
CHAPITRE 3. ANNEAUX
Existence :
- Si A = 0 le couple (Q, R) = (0, 0) convient.
- Si A 6= 0 alors d◦ A = n ∈ N.
On va procéder par récurrence sur le degré de A :
- Soit Pn la propriété :
Soit A un polynôme de degré au plus n et B un polynôme non
nul, alors il existe un couple de polynômes (Q, R) tel que
(1) A = BQ + R
(2) d◦ R < d◦ B
Montrons P0 : Si d◦ A = 0 , alors A = a0 6= 0.
- Si B = b0 6= 0 :
Alors B est aussi de degré 0 alors on a A = a0 = b0 . ab00 + 0 donc
le couple (Q, R) = ( ab00 , 0) convient.
- Si B est de degré au moins égal à 1 :
Alors A = a0 = B.0 + a0 donc le couple (Q, R) = (0, a0 ) convient.
Supposons que pour une valeur donnée de l’entier n on ait montré Pn−1 .
Soit A un polynôme de degré n. Soit B un polynôme non nul. Soit p le
degré de B.
- Si p > n :
Alors A = B.0 + A et le couple (Q, R) = (0, A) convient.
- Si p ≤ n :
Soit an X n et bp X p les termes de plus haut degré de A et de B (on a bp 6= 0
et an 6= 0).
On a
A = an X n + A0
avec A0 de degré au plus n − 1.
Et,
B = bp X p + B 0
avec B 0 de degré au plus p − 1.
On a
an
an
an
an X n = (bp X p ).( X n−p ) = (bp X p + B 0 )( X n−p ) − B 0 .( X n−p )
bp
bp
bp
an n−p
0 an
n−p
= B.( X ) − B .( X ).
bp
bp
0 an
n−p
Le degré de B .( bp X ) vaut au plus n − 1, on peut donc appliquer à ce
polynôme l’hypothèse de récurrence.
3.3. L’ANNEAU DES POLYNÔMES
65
Il existe un couple (Q1 , R1 ) tel que
B 0 .( abpn X n−p ) = BQ1 + R1 et d◦ R1 < d◦ B.
On obtient finalement :
an
an
an X n = B.( X n−p ) − (BQ1 + R1 ) = B.( X n−p − Q1 ) − R1 .
bp
bp
A0 est aussi de degré au plus n − 1 donc l’hypothèse de récurrence s’applique
aussi à A0 :
Il existe un couple (Q2 , R2 ) tel que A0 = BQ2 + R2 et d◦ R2 < d◦ B.
Donc
an
A = an X n + A0 = B.( X n−p − Q1 ) − R1 + (BQ2 + R2 )
bp
an n−p
− Q1 + Q2 ) + (R2 − R1 ).
= B.( X
bp
On a d◦ (R2 − R1 ) ≤ M ax(d◦ R2 , d◦ R1 ) < d◦ B.
Donc le couple (Q, R) = ( abpn X n−p − Q1 + Q2 , R2 − R1 ) convient.
Donc Pn est vraie.
Une application du principe de récurrence montre que Pn est vraie pour toute
valeur de l’entier n.
Exercice 11. Effectuer les divisions euclidiennes de A par B pour
1) A = X 5 + X + 1, B = X 2 + X + 1.
2) A = X 4 + 4X 3 + X 2 − 16, B = X 3 + 3X 2 − 3X + 4.
Une application de la notion de division euclidienne : Racines d’un
polynôme
Soit P = a0 + a1 X + ... + an X n ∈ K[X].
Que K vaille R ou C il est toujours possible de considérer la fonction polynômiale complexe associée :
fP,C : C → C; z 7→ a0 + a1 z + ... + an z n .
Soit z0 un complexe, on dit que z0 est une racine de P lorsque fP,C (z0 ) = 0.
Lorsque z0 est un complexe non réel on dit que z0 est une racine imaginaire,
s’il se trouve que z0 est réel on dit que c’est une racine réelle.
Propriété 23 Soit r ∈ K et P ∈ K[X]. Les deux propriétés suivantes sont
équivalentes
(a) r est une racine dans K de P .
(b) Il existe un polyôme Q à coefficients dans K tel que
P = (X − r)Q.
66
CHAPITRE 3. ANNEAUX
Démonstration
(a) =⇒ (b) :
Supposons que r soit une racine dans K du polynôme P à coefficients dans
K.
Ecrivons la division euclidienne de P par (X − r) :
P = (X − r)Q + R avec d◦ R < d◦ (X − r) = 1.
Donc R est un polynôme constant (nul ou non).
- Si R était une constante non nulle on aurait
fP,C (r) = (r − r)fQ,C (r) + fR,C (r) = fR,C (r) 6= 0
ce qui contredirait r racine de P .
- Donc R est nul et P = (X − r)Q.
(b) =⇒ (a) :
Supposons qu’il existe un polynôme Q tel que P = (X − r)Q alors
fP,C (r) = (r − r)fQ,C (r) = 0
donc r est une racine de P .
Racines multiples d’un polynôme.
Définition 35 Soit P = a0 + a1 X + ... + ak X k + ... + an X n ∈ K[X].
On pose P 0 = a1 + 2a2 X + ... + kak X k−1 + ... + nan X n−1 .
Le polynôme P 0 est appelé polynôme dérivé de P .
Remarquons que la fonction polynômiale réelle associée au polynôme dérivé
d’un polynôme réel coı̈ncide avec la fonction dérivée de la fonction polyômiale
réelle associée au polynôme. Autrement dit
fP 0 ,R = (fP,R )0 .
Propriété 24 Soit P, Q deux polynômes à coefficients dans K et λ ∈ K.
Alors
(a) (P + Q)0 = P 0 + Q0
(b) (P.Q)0 = P 0 .Q + P.Q0
(c) (λP )0 = λP 0
Démonstration
Les propriétés (a) et (c) sont quasiment immédiates.
(b) Commençons par traiter le cas d’un produit de deux ”monômes” :
Soit P = an X n et Q = bp X p alors on a
(P.Q)0 = (an bp X n+p )0 = an bp (n + p)X n+p−1
3.3. L’ANNEAU DES POLYNÔMES
67
P 0 = nan X n−1 et Q0 = pbp X p−1 .
Donc P 0 .Q + P.Q0 = nan X n−1 bp X p + pbp X p−1 .an X n
= (nan bp + pbp an )X n+p−1 = (n + p)an bp xn+p−1
= (P.Q)0
Passons maintenant
au cas général
:
P
P
Soit P = Pnk=1 ak X k et Q =P p`=1 b` X ` . Notons PkP= akP
X k et Q` = b` X ` .
n
n
n
On a P = k=0 Pk et Q = `=0 Q` , donc P.Q = k=0 p`=0 Pk .Q` .
On a donc
0
Pn Pp
(P.Q)0 =
P
Q
k l
Pn k=0
Pp `=0
P P
= Pk=0 P`=0 (Pk Q` )0 =P nk=0P p`=0 Pk0 .Q` + Pk .Q0` )
= nk=0 p`=0 Pk0 .Q` + nk=0 p`=0 Pk .Q0` = P 0 .Q + P.Q0 .
Propriété 25 (Formule de Leibniz)
Soient P et Q deux polynômes à coefficients dans K. Alors
(P.Q)(n) =
n
X
n (i) (n−i)
P .Q
.
i
i=0
Ici P (k) désigne la dérivée k-ième de P et
n
i
=
n!
.
i!(n−i)!
Démonstration
On montre cela par récurrence sur l’ordre de dérivation :
Soit Pn :
n
X
n (i) (n−i)
(n)
∀P, Q ∈ K[X], (P.Q) =
P .Q
.
i
i=0
P1
0
- La propriété P1 est satisfaite : (P.Q) = i=0 1i P (i) Q(1−i) = P.Q0 + P 0 .Q.
- Supposons que Pn soit vraie pour un n entier donné. Alors
(P.Q)(n+1) = ((P.Q)0 )(n) = (P 0 .Q + P.Q0 )(n) = (P 0 .Q)(n) + (P.Q0 )(n) .
On applique Pn , il vient :
n
n
X
n (i+1) (n−i) X n (i) (n−i+1)
(P.Q)(n+1) =
P
.Q
+
P .Q
i
i
i=0
i=0
Dans la première
somme
on
fait
le
changement
i + 1 il vient
(i) ` =
Pn+1 n (`) (n+1−`) Pn d’indice
n
(n+1)
(n−i+1)
(P.Q)
= `=1 `−1 P .Q
+ i=0 i P .Q
Pn
n
(`)
(n+1−`)
= `=1 `−1 P .Q
+ nn P (n+1) Q(0) + n0 P (0) Q(n+1)
P
+ ni=1 ni P (i) .Q(n−i+1)
P
n+1
= n+1
P (i) .Q(n+1−i) .
i=0
i
Donc Pn+1 ) est satisfaite.
Une application du principe de récurrence donne la conclusion.
68
CHAPITRE 3. ANNEAUX
Propriété 26 Soit P un polynôme. Alors
- Si P n’est pas une constante d◦ P 0 = d◦ P − 1.
- Si P est une constante (nulle ou non) alors P 0 = 0 est de
degré −∞.
Définition 36 Soit P ∈ K[X], on dit que le complexe z0 est une racine
d’ordre exactement k de P lorsque on a
fP,C (z0 ) = fP 0 ,C (z0 ) = ... = fP (k−1) ,C (z0 ) = 0
et
fP (k) ,C (z0 ) 6= 0.
Propriété 27 Soit r ∈ K, P ∈ K[X] et k ∈ N avec k ≤ d◦ P .
Alors les deux propositions suivantes sont équivalentes.
(a) r est une racine d’ordre exactement k de P .
(b) Il existe un polynôme Q ∈ K[X] tel que P = (X − r)k .Q
et r n’est pas racine de Q.
Démonstration
Soit r ∈ C, P ∈ K[X] et k ∈ N avec k ≤ d◦ P .
(a) =⇒ (b) : On montre par récurrence sur k que Pk :
- Si r est racine d’ordre au moins k d’un polynôme P alors
le polynôme P se factorise sous la forme P = (X − r)k .H.
- Si r est d’ordre exatement k alors P se factorise sous la forme
P = (X − r)k .Q avec Q un polynôme dont r n’est pas racine P1 est satisfaite :
On a déjà vu que si r est racine de P alors P se factorise sous la forme
P = (X − r).Q reste à vérifier que si r est d’ordre exactement 1 alors r n’est
pas racine de Q.
On a P 0 = Q + (X − r)Q0 donc fP (r) = fQ (r).
Par conséquent si r n’est pas racine de P 0 alors r n’est pas non plus racine
de Q.
- Supposons pour un entier k donné que Pk soit vraie. Supposons que r soit
racine d’ordre exactement k + 1 d’un polynôme P . Alors r est une racine
d’ordre au moins k donc P se factorise sous la forme P = (X − r)k .H.
Appliquons la formule de Leibniz pour le calcul de la dérivée k-ième :
P
On a [(X − r)k ](i) =
(k)
k
X
k
=
[(X − r)k ](i) H (k−i) .
i
i=0
k!
(X
(k−i)!
− r)k−i .
3.3. L’ANNEAU DES POLYNÔMES
Donc
P
(k)
69
k
X
k k!
(X − r)k−i H (k−i) .
=
(k
−
i)!
i
i=0
Pour i = 0, ..., k − 1 on a f(X−r)k−i ,K (r) = 0 et f(X−r)k−k ,K (r) = 1.
Donc 0 = fP (k) ,K (r) = fH,K (r). Par conséquent r est une racine de H .
Le polynôme H se factorise donc H = (X − r)Q.
Donc P = (X − r)k+1 .Q.
Comme plus haut on a
P (k+1) =
k+1
X
k + 1 (k + 1)!
(X − r)k+1−i Q(k+1−i) .
(k
+
1
−
i)!
i
i=0
Donc 0 = fP k+1 ,K (r) = fQ,K (r), r n’est donc pas racine de Q.
La propriété k+1 est donc vraie.
On conclut par une application du principe de récurrence.
(b) =⇒ (a) : Supposons qu’il existe un polynôme Q ∈ R[X] tel que r ne soit
pas racine de Q et P = (X − r)k .Q.
k!
P`
`
k−i
.Q(`−i) .
Soit ` ∈ {0, 1, ..., k − 1}, on a P (`) =
i=0 i (k−i)! (X − r)
Lorsque i parcourt {0, 1, ..., l}, k − i parcourt {k, k − 1, ...k − `} donc reste
supérieur
de (X − r)k−i et donc de P (`) . On a
k! r est unek−iracine
Pkà 1 kdonc
(k−i)
(k)
.
P = i=0 i (k−i)! (X − r) Q
Donc fP (k) ,K (r) = fQ,K (r) = 0.
Donc r est racine d’ordre exactement k de P .
Exercice 12. Soit P et Q deux polynômes. On suppose que r est une racine
commune de P et Q. Montrer qu’alors r est une racine du reste de la Division
Euclidienne de P par Q. Que pensez vous de la réciproque ?
Exercice 13. Soit a et b deux entiers relatifs non nuls. On suppose que le
reste de la division euclidienne de a par b vaut 1. Soit k un entier naturel
différent de 1 on suppose que k est un diviseur de a c’est-à-dire que a = k.`
pour un certain entier relatif `, k peut-il être un diviseur de b ?
Exercice 14. Quelles sont les racines réelles et les racines complexes du
polynôme P = X 4 + X 2 + 1 ?