1 Rappels d`arithmétique 2 Définition de Z/nZ 3 Elments inversibles
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Z/nZ 1 Rappels d’arithmétique Division euclidienne et formule de Bezout. Il existe une infinit de nombres premiers. 2 Définition de Z/nZ La classe de congruence k̄ modulon d’un entier k : ensemble des entiers ℓ tels que k − ℓ soit divisible par n. Addition • Associativité. • Elément neutre 0̄. • Opposé d’un élément. • Commutativité. +. Multiplication • Associativité. • Elément neutre 1̄. • Inverse d’un élément. • Commutativité. ×. 3 Elments inversibles Un élément k̄ de Z/nZ est inversible si et seulement si k et n sont premiers entre eux. (Z/nZ)∗ Indicatrice ϕ d’Euler, c’est le cardinal de (Z/nZ)∗ . ϕ(pn ) = p − pn−1 si p est premier. ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n) si m et n sont premiers entre eux. Formule X n= ϕ(d) d|n 4 Ordre d’un lment de Z/nZ Définition. ord(k̄), c’est le plus petit entier strictement positif u tel que uk̄ = 0. n . C’est pgcd(n,k) 1 5 Lemme chinois Si m et n sont premiers entre eux alors Z/mnZ est en bijection avec le produit Z/mZ × Z/nZ, la bijection tant bl’application qui à une classe de congruence modulo mn associe les classes modulo m et modulo n. Sous les mêmes hypothèses (Z/mnZ)∗ est en bijection avec le produit (Z/mZ)∗ ×(Z/nZ)∗ . La formule ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n) en résulte. 6 Théorèmes de Fermat et de’Euler Si p est premier et x ∈ (Z/pZ)∗ alors xp−1 = 1. Soit n > 1, si x ∈ (Z/nZ)∗ alors xϕ(n) = 1 2
