Cahier de texte Semaine 6 (du 4 au 8 novembre)

PTSI − 2013-2014
Mathématiques
Lycée Benjamin Franklin
D. Blottière
Cahier de texte
Semaine 6 (du 4 au 8 novembre)
Lundi 4 novembre : cours (2h)
Suite du chapitre 2 ≪ Logique, ensembles et applications ≫
• Distributivité de ou par rapport à et (resp. de et par rapport à ou).
• Définition d’une implication.
• Définition d’une condition nécessaire (resp. suffisante).
• Négation d’une implication.
• Définition de la réciproque d’une implication.
• Définition de la contraposée d’une implication.
• Une implication et sa contraposée ont même valeur de vérité.
• Définition d’une équivalence.
Lundi 4 novembre : TD (2h)
Devoir libre n˚2
• Correction des exercices 1 et 2.
Mardi 5 novembre : cours (2h)
Suite du chapitre 2 ≪ Logique, ensembles et applications ≫
• Exemple de démonstration d’une propriété commençant par ∀ :
∀ x ∈ [−1, 3],
0 ≤ x2 ≤ 9.
• Exemple de démonstration d’une implication : la fonction carrée est strictement croissante sur R+ , i.e. :
∀ x ∈ R+ ,
∀ y ∈ R+ ,
x < y ⇒ x2 < y 2 .
• Exemple de démonstration d’une équivalence :
∀ x ∈ R,
0 ≤ x ≤ 2 ⇔ 2 ≤ x2 − 2x + 3 ≤ 3.
• Axiome de récurrence.
• Démonstration de la propriété : pour tout n ∈ N∗ ,
Devoirs
• Démontrer que pour tout n ∈ N∗ ,
n
X
k=1
k2 =
n
X
k=1
k=
n(n + 1)
.
2
n(n + 1)(2n + 1)
.
6
Jeudi 7 novembre : cours (3h)
Suite du chapitre 2 ≪ Logique, ensembles et applications
• Principe du raisonnement par contraposition.
1
≫
• Démonstration de la propriété :
∀ x ∈ R \ {1},
∀ y ∈ R \ {1},
x 6= y ⇒
y+2
x+2
6=
.
x−1
y−1
• Démonstration de la propriété :
∀ n ∈ N,
n2 est pair ⇒ n est pair.
•
•
•
•
Principe du raisonnement par l’absurde.
√
Démonstration de l’irrationnalité de 2.
Principe du raisonnement par analyse-synthèse.
Démonstration de la propriété : toute fonction f : R → R s’écrit de manière unique comme somme d’une
fonction paire et d’une fonction impaire.
• Notions d’ensemble et d’appartenance.
• Exemples d’ensembles construits en sélectionnant certains éléments d’un ensemble donné.
Jeudi 7 novembre : TD (1h)
Devoir maison n˚2
• Correction de l’exercice 3.
Feuille de TD n˚5 ≪ Nombres complexes et trigonométrie (partie 2) ≫
• Résolution de la question 1 de l’exercice 31.
Raisonnement par récurrence
• Correction de la démonstration de la propriété : pour tout n ∈ N∗ ,
n
X
k=1
k2 =
n(n + 1)(2n + 1)
.
6
Vendredi 8 novembre : cours (2h)
Suite du chapitre 2 ≪ Logique, ensembles et applications ≫
• Exemples d’ensembles décrits par un paramétrage.
• Définition de l’ensemble vide.
• Définition de l’inclusion d’un ensemble dans un autre.
• Définition de l’égalité de deux ensembles.
• Définition d’une partie d’un ensemble.
• Tout ensemble possède deux parties naturelles : lui-même et ∅.
• Définition de l’ensemble des parties d’un ensemble.
• Définition du complémentaire d’une partie d’un ensemble.
Vendredi 8 novembre : DS n˚2 (2h30)
Thèmes
• Calcul d’une ≪ grande ≫ puissance de nombre complexe.
• Équation trigonométrique ≪ du type ≫ a cos(x) + b sin(x) = x, où (a, b, c) ∈ R3 .
• Linéarisation d’une expression trigonométrique.
• Sommes trigonométriques.
• Racines carrées d’un nombre complexe non nul.
• Solution(s) d’une équation du second degré à coefficients complexes.
• Racines n-ièmes de l’unité, où n ∈ N≥2 .
• Racines n-ièmes d’un nombre complexe non nul, où n ∈ N≥2 .
• Exponentielle complexe.
• Calcul d’une somme avec Python, puis par récurrence et enfin en remarquant un télescopage.
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