Lois des exposants et des radicaux

Mathématiques appliquées à la construction - Cours 2
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PROPRIÉTÉS DES EXPOSANTS ET DES RADICAUX
1
Propriétés des exposants entiers
Soit a et b deux nombres réels quelconques et m et n deux entiers positifs. On définit
la nième puissance de a comme suit:
an =
Exemple 1 : 24 =
Propriété 1
am × an =
Illustration : (a
. . × a × a}) × (a
. . × a × a}) = |a × a × .{z
. . × a × a}.
| × a × .{z
| × a × .{z
m fois
n fois
m+n fois
Exemple 2 : 62 × 63 =
Propriété 2
am
=
an
si a 6= 0
m fois
z
}|
{
a × a × ... × a × a
Illustration :
= a × a × .{z
. . × a × a}.
a
. . × a × a} |
| × a × .{z
m−n fois
n fois
Exemple 3 :
45
=
42
Propriété 3
a0 =
si a 6= 0
Illustration : Lorsque m = n, on obtient :
am
an
=
= an−n = a0
n
an
a
|{z}
=1
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2
Propriété 4
a−n =
Illustration : a−n = a0−n =
si a 6= 0
a0
1
= n
n
a
a
Exemple 4 : 5 × 3−4 =
Exemple 5 :
32
=
35
Propriété 5
(am )n =
n fois
z
}|
{
m
m
m
m + m + . . . + m = am×n .
Illustration : (am )n = a
×
a
×
.
.
.
×
a
=
a
|
{z
}
n fois
Exemple 6 : (42 )3 =
Propriété 6
(a × b)m =
Illustration : (a × b)m = (a × b) . . . (a × b) = a
× . . . × a × b × . . . × b = am × b m .
{z
} | {z } | {z }
|
m fois
m fois
m fois
Exemple 7: 43 × 53 =
Propriété 7
a m
b
=
si b 6= 0
m fois
Illustration :
a m
b
z
}|
{
a a
a a
a × a × ... × a × a
am
= × × ... × × =
= m.
b {z b
b}
. . × b × }b
b
|b
|b × b × .{z
m fois
4
4
Exemple 8 :
=
3
m fois
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2
3
Propriétés des exposants fractionnaires
Définition : Une racine nième d’un nombre réel a est un nombre réel b tel que bn = a
où n est un entier supérieur ou égal à 2.
n
√
b = n a = a1/n car bn = a1/n = an/n = a1 = a
Dans la mesure où les expressions à exposants fractionnaires sont définies, les
propriétés 1 à 7 énoncées précédemment sont toujours applicables.
Propriété 8
m
an =
lorsque
√
n
a est définie
1 m
√
√ m
1
1
m
1
m
Illustration : a n = a n ×m = a n
= n a ou encore a n = am× n = (am ) n = n am .
Exemple 9 : 64/3 =
Exemple 10 : (−3)3/4 =
Exemple 11 : (−3)3/5 =
Note :
√
√ m
- Lorsque a est un nombre positif, les deux expressions ( n a) et n am sont
équivalentes.
√
√
m
n
n
- Lorsque a est un nombre négatif, les deux expressions
(
a)
et
am ne sont
√
n
pas toujours équivalentes puisque l’expression a n’est pas définie lorsque n est
pair.
- Certains modèles de calculatrice (TI30X) ne sont pas programmées pour
effectuer des opérations du type ”nombre négatif affecté d’un exposant
fractionnaire”. Pour déterminer la valeur numérique de l’exemple 11, il est alors
nécessaire de procéder en deux étapes (exposant et racine).
Propriété 9
r
n
a
=
b
si b 6= 0,
√
1
n
a a n1
an
a
= 1 = √
Illustration :
=
.
n
b
b
b
bn
r
3 27
Exemple 11 :
=
64
r
n
√
n
a et
√
n
b sont définies
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Propriété 10
√
n
√
n
a×b=
si
1
1
1
√
n
a × b = (a × b) n = a n × b n =
√
Exemple 12 : 225 =
Illustration :
3
a et
√
n
a×
√
n
b sont définies
√
n
b.
Exercices et solutions (sans calculatrice)
Question 1 : Évaluer les expressions suivantes (utiliser les propriétés des exposants).
3
a) 23
f) − 24
k) −2
2
−2
−3
2
5
2 ×3 ×4
3
b) 2−3
g) 8
l)
−1
−3
3 ×2 ×9
2
3
c) (−2)3
d) − 23
e) (−2)4
(2−5 ) × 3−8 × 27
(22 × 36 )−2
1 4
1 −2
×
i) 2 −3 2 5
1
× 12
2
23 × 32 × 22
j) 6
2 × 3 × 2−1
h)
m) (2 + 3)2
n) 22 + 32
o) (21+3 )2
Question 2 : Évaluer les expressions suivantes (utiliser les propriétés des radicaux).
√
5
3
√
√
8
a) 25
d) −25
g) √
2
3
8
√ √ √
√
√
3
3
e) 15 21 35
h) 3375
b) 27
r
√
√
√
√
3
3
3
4 81
3
c) −27
f) 12 12 12
i)
16
Réponses
1a) 8
1
1b)
8
1c) − 8
1d) − 8
1e) 16
1f) − 16
1g) 256
81
1h)
16
1i) 1
2b) 3
1j) 3
2c) − 3
1k) 12
4
1l)
9
1m) 25
1n) 13
1o) 256
2d) n’existe pas
2a) 5
2e) 105
2f) 12
2g) 8
2h) 15
3
2i)
2