Terminale S1 Année scolaire 2012-2013 Devoir maison numéro 3

Terminale S1
Année scolaire 2012-2013
Devoir maison numéro 3
Partie A — Une démonstration
1. Soit un nombre complexe z, dont la forme algébrique est : z = x + iy.
Justifier que : 0 ≤ x2 ≤| z |2 et 0 ≤ y 2 ≤| z |2 .
2. Soit une suite de nombres complexes dont le terme général est : zn = xn + iyn .
Démontrer la propriété suivante :
Si le module de zn converge vers 0, alors la suite (zn ) converge vers 0.
Partie B — Une suite récurrente
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O, ~u, ~v ). L’unité graphique est 4 cm.
Soit λ un nombre complexe non nul et différent de 1.
On définit, pour tout entier naturel n, la suite (zn ) de nombres complexes par :
z0
= 0
zn+1 = λ · zn + i
On note Mn le point d’affixe zn .
1. Algorithme de tracé
a) Concevoir un algorithme qui :
• demande les parties réelle et imaginaire d’un nombre λ ;
• calcule les 20 premiers termes de la suite (zn ), et place les points Mn correspondants.
b) Tester l’algorithme avec différents λ (λ réel, imaginaire pur, de module 1, de module inférieur à 1. . . ), et préciser
s’il se passe quelque chose de remarquable dans chaque cas.
2. Calcul de zn en fonction de n et de λ.
Un outil peut-être utile : si q 6= 1, alors 1 + q + q 2 + · · · + q n = . . .
a) Exprimer z1 , z2 et z3 en fonction de λ.
b) Conjecturer l’expression de zn en fonction de n et de λ. Démontrer cette conjecture par récurrence.
Partie C — Deux cas particuliers
1. Explorer le cas où λ = i : calculs, représentation graphique, propriétés. . .
2. Explorer le cas où | λ |< 1 : conjecturer une propriété et la démontrer.
Si nous désirons vaquer sérieusement à l’étude de la philosophie et à la recherche de toutes les vérités que
nous sommes capables de connaı̂tre, nous nous délivrerons, en premier lieu, de nos préjugés, et ferons
état de rejeter toutes les opinions que nous avons autrefois reçues en notre créance, jusqu’à ce que nous
les ayons derechef examinées.
René Descartes, Les principes de la philosophie.