corrigé séance n°7

CORRECTION DES EXERCICES DE LA SEANCE 7
Exercice 1
nombre
0
3,5
–7
7
3
3,14
4,0
12
3
2
1
2
entier naturel
entier relatif
décimal
rationnel
réel
π
22
7
100
230
−
5
0,333…
Exercice 2
Pour chacun des nombres suivants, précisez s’il est décimal ou non et justifiez votre réponse.
17
8
;
8
17
;
2 794
55
;
1 096
152
;
689
13
Correction :
Il y a deux méthodes de résolution :
- soit on effectue la division, le nombre est un décimal si et seulement si elle s’arrête.
17
17
= 2,125
donc
est un nombre décimal.
8
8
8
Attention ! pour
la machine ne permet pas de conclure ! L’écran est plein.
17
-
soit on essaye d’écrire la fraction avec une puissance de 10 au dénominateur.
10n = (2×5)n = 2n × 5n
17 17 17 × 53 2 125
=
=
=
, même conclusion.
8 23 23 × 53 1000
Le nombre est un décimal si et seulement s’il peut s’écrire à l’aide d’une fraction irréductible
dont le dénominateur est un produit d’une puissance de 2 par une puissance de 5.
•
8
est une fraction irréductible dont le dénominateur n’est pas
17
de la forme 2 p × 5q , en effet 17 n’est divisible ni par 2, ni par5 donc
8
n’est pas un
17
décimal.
•
2 794 11× 254 254 × 2 508
=
=
=
55
11× 5
5× 2
10
donc
2 794
est un décimal.
55
1 096 8 × 137 137
et pour la même raison que pour
=
=
152
8 × 18
19
137
n’est pas un décimal.
19
689
689
est un entier et donc un décimal.
•
= 53 ,
13
13
8
,
17
•
Exercice 3
1. Déterminer une écriture fractionnaire du nombre 3,18 .
2. Déterminer une écriture fractionnaire du nombre 2, 063.
3. On considère le nombre : x = 0,9 (la période a un seul chiffre : le 9 qui se répète donc à
l’infini)
a) Comparer 10x et 9 + x.
b) Démontrer que 0,9 = 1. (On pourra, par exemple, utiliser le a).)
Correction
1.
x = 3,18
donc
100x = 318, 18 et 100x – x = 315
2. x = 2, 063 donc 100x = 206, 363
204,3 2043 227
donc x =
=
=
99
990 110
3.
a) 10 x = 10 × 0, 9 = 9, 9
et
donc x =
315
99
et 100x – x = 204,3
9 + x = 9 + 0, 9 = 9,9
b) 10x = 9 + x donc 9x + x = 9 + x d’où 9x = 9
donc 10x = 9 + x
soit
x = 1 on a bien 0, 9 = 1
Exercice 4
Réponses exactes aux questions du test :
1. Donne le nombre entier qui suit immédiatement 54 : 55
Donne le nombre entier qui suit immédiatement 23,5 : 24
Donne le nombre décimal qui suit immédiatement 32,13: un nombre décimal n’a pas de
suivant car entre deux nombres décimaux on peut placer une infinité de nombres décimaux
2. 2,3401 < 17,15671 < 23,036 < 23,127 < 23,37 < 23,4
3. Entre 12,7 et 12,9 il y a : plusieurs décimaux (une infinité)
Entre 14,6 et 14,7 il y a : plusieurs décimaux (une infinité).
4. 3,7 + 5,8 = 9,5 et 3,7 x 5,8 = 21,46
5. 13,56 × 10 = 135,6
23
6.23 est un nombre entier donc c’est un nombre décimal car il peut s’écrire 23,0 ou 0
10
7. 1,2345678 et 17,35353535… sont-ils des décimaux ?
12345678
1,2345678 =
donc c’est un nombre décimal.
10 7
100x 17,353535…= 1735,353535…. Et 100x 17,353535…- 17,353535…= 1718
1718
or 1718 n’est divisible ni par 9 ni par 11 et 99 ne peut être mis
Donc 17,35353535…=
99
sous la forme 2m x 5p donc 17,35353535… n’est pas un nombre décimal.
Analyse des réponses des élèves :
Question1 :
1) Nicolas fait une erreur pour le nombre décimal car il considère 32,13 comme deux
entiers séparés par la virgule donc il applique ce qu’il connaît des entiers : après 13, il
y a 14
2) Rudy fait lui aussi une erreur pour le nombre décimal mais il considère que le
successeur s’obtient en ajoutant la décimale suivante 1
3) Florent a fait des erreurs pour chacun des nombres car il confond suivre avec précéder.
Question2 :
La logique de Marie : elle range les nombres en fonction de la longueur de leur partie
décimale.
Celle de Christophe : il a rangé les nombres dans l’ordre décroissant
Celle de Morgane : elle ne fait pas d’erreur
Celle de Sébastien il range d’abord les nombres avec leurs parties entières puis il range les
nombres ayant même partie entière en fonction de la longueur de leur partie décimale.
Celle de Julie : elle commence comme Sébastien puis range les nombres ayant même
partie entière puis range leurs parties décimales en utilisant l’ordre sur les entiers.
Thomas n’a pas vraiment de logique, il démarre en range selon les parties entières puis
mélange l’ordre sur les entiers : 4<37<127 et celui des décimales :0<4.
L’enseignante cherche la logique interne afin d’évaluer les erreurs et de voir d’où elles
viennent .Suivant ce qu’elle trouvera ou ne trouvera pas, elle pourra envisager une
remédiation collective ou individuelle.
Question 3 :
C’est Quentin qui se trompe et c’est sa conception erronée d’un nombre décimal qui en
est la cause : il considère les parties entières comme des entiers et donc entre 7 et 9, il y a
8 et entre 6 et 7 il n’y a pas d’entier d’où ses réponses.
Question 4 :
En effet c’est encore le fait de considérer un nombre décimal comme deux entiers séparés
par une virgule qui fait qu’il additionne ou qu’il multiplie entre elles les parties entières et
les parties décimales
Question 5:
Vincent applique la règle de multiplication par 10 des entiers en ajoutant un 0 à la partie
décimale avec toujours la même conception erronée du nombre décimale évoquée plus haut.
Jérôme applique cette règle à la partie entière.
Question 6 :
on propose le décimal 23,0 et on leur demande d’utiliser la calculatrice pour effectuer 23,0 –
23
Question 7 :
X=17,35353535….
1718
99
0,9999999 est en fait égal à 1 de même que 1,000000 .Ce sont simplement des écritures
différentes d’un même nombre.
573,21
A=5,78999999… ; 100A –A=573,21 donc A=
donc A=5,79 A est donc un nombre
99
décimal.
Question 8 :
Dans une classe de CM2.dans le but de faire une évaluation sommative . Les résultats du test
montre que les élèves ont perdu le sens des nombres décimaux et en ont une conception
erronée .Il lui faudra proposer des exercices qui utilisent les nombres décimaux avec des
écritures différentes en particulier en faisant apparaître le plus possible les fractions
décimales.
100X –X = 1718 et c’est aussi 99X donc X=
Exercice 5
1)
- énoncé 1 : Vrai
La multiplication est une opération interne dans l'ensemble des nombres entiers.
- énoncé 2 : Faux
x
2 n'est pas un nombre entier si x est un nombre entier impair.
- énoncé 3 : Faux
x + 1 n'est pas un nombre entier naturel si x + 1 = 0 car 0 n'a pas de
prédécesseur.
2) Soient a, b et c les trois nombres, ayant pour sommes deux à deux :78, 59 et 43,.
a + b = 78
b = 78 − a
b = 78 − a
a = 31
b + c = 59 ⇔ c = 59 − b
⇔ c = a − 19 , c'est à dire b = 47
a + c = 43
a + (a + 19) = 43
a = 31
c = 12
Les trois nombres, ayant pour sommes deux à deux :78, 59 et 43, sont : 31, 47 et
12.
Exercice 6
1) Un nombre rationnel est décimal si son écriture sous la forme d’une fraction
irréductible a un dénominateur n’ayant pas d’autres diviseurs premiers que 2 ou 5.
1
7 est irréductible et 7 est un nombre premier (autre que 2 ou 5) ; il n’est pas
décimal.
27
3
8 est irréductible et 8 = 2 a pour seul diviseur premier 2 ; il est décimal.
91 13 × 7
7 = 7 = 13 ; c’est un nombre entier donc décimal.
42
17 est irréductible et 17 est un nombre premier autre que 2 ou 5 ; il n’est pas
décimal.
2) a) Le reste partiel 1 réapparaissant, la suite des
quotients partiels, depuis l’occurrence précédente du
1
reste 1, va se répéter à l’identique : 7 = 0, 142857
1, 0
7
30
0,1 4 2 8 5 7
20
60
40
50
1
b) La période est composée de 6 chiffres, après 5
périodes, à partir de la 31ème décimale commence
une nouvelle période.
La 32ème décimale du
1
développement périodique de 7 est donc 4
42
3) a) La 20ème décimale de l’écriture décimale de 17 est 5, donnée dans la cellule
B22.
42
b) 17 = 2, 4705882352941176
c) Dans la division les restes partiels sont strictement inférieurs au diviseur. Dans
le cas de 42 ÷ 17, il y donc 17 restes possibles (de 0 à 16) or les 16 premiers
restes (de A2 à A17) sont, dans le désordre, tous les entiers de 1 à 16, le
42
suivant ne peut être 0 (17 n’est pas un nombre décimal) c’est donc l’un des
nombres de 1 à 16 déjà apparus.
4) a = 1, 23
100 a = 123, 23
100 a − a = 123, 23 − 1, 23
122
.99 a = 122 donc a = 99
Exercice 6 – Question complémentaire
1) Dans l’exercice 13, il s’agit de trouver l’écriture fractionnaire associée à l’écriture
décimale donnée.
Dans l’exercice 15, il s’agit de trouver l’écriture décimale associée à l’écriture
fractionnaire donnée sous la forme d’un nombre entier et d’une fraction inférieure
à 1.
Dans l’exercice 26, il s’agit de trouver l’écriture décimale associée à l’écriture
fractionnaire donnée.
Ce qui correspond aux éléments suivants des programmes :
Connaissances
Capacités
1.1 Fractions
− écrire une fraction sous forme de somme d'un entier et
d'une fraction inférieure à 1.
3.2 Désignations orales et
écrites des nombres décimaux
− savoir passer, dans des cas simples, pour un nombre
décimal, d'une écriture à virgule à une écriture fractionnaire
(fractions décimales) et réciproquement.
80
804
2) L’élève associe 4 au lieu de 10 à 80,4 dans l’exercice 13.
2
98,100 au lieu de 96,02 à 96 + 100 dans l’exercice 15.
724
724,100 au lieu de 7,24 à 100 dans l’exercice 26.
1
1
Il associe 4 et 1,4 au lieu de 4 et 0,25 dans l’exercice 35.
Dans les exercices 13, 26 et 35, l’erreur correspond à une représentation de
l’écriture décimale et de l’écriture fractionnaire comme un couple de nombres
entiers :
724
1
80
4 → (80, 4) ; 100 → (724, 100) ; 4 → (1, 4) et 1,4 → (1, 4)
L’écriture correspond le plus à cette représentation erronée est peut-être 962,100
2
mais la donnée de 96 + 100 peut être interprétée, selon le même principe,
comme :
2
2
96 → (96, 0) et 100 → (2, 100) d’où 96 + 100 → (96 + 2, 100).
2
L’élève peut avoir interprété 96 + 100, à partir de son oralisation, comme quatrevingt-seize et deux centièmes (au lieu de quatre-vingt-seize unités et deux
96
2
centièmes) c’est à dire comme 100 + 100.
3) Le recours à un tableau de numération pour aider les élèves a les avantages et
les inconvénients de tous les algorithmes. Plus son utilisation est fréquente,
meilleure est son automatisation mais plus le sens s’éloigne.
10
1
dizaines
unités
1
1
10
100
dixièmes centièmes
8
9
0
6
7
4
2
2
4
le trou doit être comblé
par un 0
Sa proximité fonctionnelle avec le tableau de conversion (la virgule y est
« flottante » et peut même disparaître…) n’arrange rien à l’affaire.
4) a)
− utiliser, dans des cas simples, des fractions ou des
sommes d'entiers et de fractions pour coder des mesures de
− nommer les fractions en utilisant le
vocabulaire : demi, …, quart, dixième,... longueurs …, une unité étant choisie, ou pour construire un
segment de longueur donnée ;
3.2 Désignations orales et écrites
− utiliser les nombres décimaux pour exprimer la mesure de
des nombres décimaux
la longueur d'un segment, … (une unité étant donnée), ou
pour repérer un point sur une droite graduée régulièrement
− connaître la valeur de chacun des
de 1 en 1 ;
chiffres composant une écriture à
virgule, en fonction de sa position.
3.4 Relations entre certains nombres − connaître et savoir utiliser dans des situations concrètes
décimaux
1
1
les relations entre 4 (ou 0,25) et 2 (ou 0,5)…
− connaître et savoir utiliser dans des
situations concrètes (… longueur, …) − connaître et savoir utiliser dans des situations concrètes
les écritures fractionnaires et décimales
1
1
1
1 ou non les relations entre 4 (ou 0,25) et 2 (ou 0,5), …
1
de : 0,1 et 10 ; … ; 0,5 et 2 ; 0,25 et 4 ;
…
1.1 Fractions
L’élève doit être capable de partager un segment en quatre parties identiques. Chaque
1
partie étant codée , il doit associer à ce codage un trait de la graduation puis d’en
4
déterminer le codage décimal associé : 0,25.
b) Le partage du segment pourra être effectué à l’aide d’une bande de papier sur laquelle
A
B
est reportée, depuis l’une des extrémités, la longueur AB.
La bande est pliée une première fois en deux en superposant le bord de la bande et la marque, puis elle est pliée une seconde fois. Les
marques de pliage délimitent quatre parties identiques.
A l’aide de la bande de papier sont marqués sur la graduation les points
partageant le segment en quatre parties de même longueur.
Il reste alors à exprimer la longueur de la première partie en lisant sa longueur sur la graduation : 25 mm, c’est à dire 0,25 dm.
1
4