Nombres entiers et décimaux

Nombres entiers, nombres décimaux
Pour parler on utilise des mots et pour écrire ces mots on utilise des lettres, dans certains pays
on n’utilise pas des lettres mais des idéogrammes.
Pour compter on utilise des nombres et pour écrire ces nombres on utilise des chiffres.
Dans notre système dix chiffres permettent d’écrire tous les nombres :
0 ;1 ;2 ;3 ;4 ;5 ;6 ;7 ;8 ;9
I - Nombres entiers
1. Définition :
Un nombre entier naturel est un nombre qui permet de compter tous les « objets »
qu’on observe dans la nature. Pour obtenir tous les entiers naturels il suffit de faire des
additions à partir des nombres zéro et un.
2. Numération décimale de position :
Il existe d’autres systèmes : numération égyptienne, romaine, chinoise, maya…
•
« Décimal » : on effectue des groupements par dix.
Dix unités = 1 dizaine ; dix dizaines = 1 centaine ; dix centaines = 1 millier …
1 dizaine = 10 unités; 1 centaine = dix dizaines ; 1 dizaine = 10 unités
1 millier = dix centaines = 100 dizaines = 1000 unités
•
« de position » : chaque chiffre a une signification différente selon son rang
dans l’écriture du nombre.
634 = (6 × 100) + ( 3 × 10) + (4×1)
434 = (4×100)+(3×10)+(4×1) les deux chiffres 4 n’ont pas la même valeur
4 centaines 3 dizaines 4 unités
Pour pouvoir lire les grands nombres entiers facilement, on regroupe les chiffres
par groupes de 3 à partir du chiffre des unités (en partant de la droite) ; on peut s’aider
d’un tableau.
Exemple : 1049658763 s’écrit 1 049 658 763
Ce nombre se lit : Un milliard quarante-neuf millions six cent cinquante-huit mille
sept cent soixante-trois.
1 milliard 49 millions 658 mille 763.
Milliards
Millions
Centaines
Unités
c
d
u
c
d
u
c
d
u
c
d
u
1
0
4
9
6
5
8
7
6
3
Il peut s’écrire de la façon suivante :
1 049 658 763
ou bien
1×1 000 000 000 + 4×10 000 000 + 9×1 000 000+6×100 000+5×10 000 + 8×1 000 + 7 ×100+6×10+3×1
1
3. Écriture en lettres
Règle 1 :
vingt et cent sont invariables sauf si ils ne sont suivis de rien.
Ex : trois cent quatre-vingts élèves. Quatre-vingt-quatre grammes.
Règle 2 :
Mille est invariable
Ex : cinq mille quatre cents mètres
Règle 3 :
On place un trait d’union à chaque fois que l’on relie moins de cent.
Ex : soixante-douze heures. Trente-trois mille six cent vingt-deux euros. Trois cent
quatre-vingt-dix-sept personnes
Exception : le trait d’union est parfois remplacé par le mot « et ».
Ex : quarante et un voleurs. Trente-trois-mille soixante et onze visiteurs
II – Les nombres décimaux
1. Définitions :
Première définition :
Un nombre décimal est un nombre qui peut s’écrire avec un nombre fini de chiffres
après la virgule.
Exemple : 32,58 est un nombre décimal, 0,126 est un nombre décimal
1
1
= 0,2 est un nombre décimal mais = 0,3333 … n! est pas un nombre décimal. 5
3
Deuxième définition :
Un nombre décimal est un nombre qui peut être écrit sous forme d’une fraction
décimale c’est à dire du quotient d’un nombre entier par 10 ; 100 ; 1000…..
Exemples :
121
142
15
1,21 =
14,2 =
0,15 =
100
10
100
1
1
0,1 =
on lit un dixième, 0,01 =
on lit un centième, 0,001
10
100
1
=
on lit un millième 1000
2. Vocabulaire :
Un nombre décimal est formé par un nombre entier, et une partie décimale (située
après la virgule), qui est un nombre inférieur à 1.
Exemple : 32,58 = 32 + 0,58
0,58 = 0 + 0,58
2
3. Propriétés
Propriété 1 :
Un nombre décimal dont la partie décimale est zéro est un nombre entier.
Exemples : 43,0 = 43
5 123, 000 = 5 123
Propriété 2 :
Tout nombre entier est un nombre décimal
Attention tout nombre décimal n’est pas un nombre entier !!!!
Propriété 3 :
Tout nombre décimal peut s’écrire sous la forme d’une somme d’un nombre entier et
de fractions décimales dont les numérateurs sont des entiers inférieur à 10.
Exemple : 23,51
23,51 = 23 + 5×0,1 + 1×0,01 5
1
= 23 + + 10
100
III – Comparaison de nombres décimaux
1. Définitions :
Définition 1
Comparer des nombres c’est dire s’ils sont égaux ou si l’un est plus petit que l’autre.
Définition 2
Ranger les nombres par ordre croissant, c’est les ranger du plus petit au plus grand.
Définition 3
Ranger les nombres par ordre décroissant, c’est les ranger du plus grand au plus petit.
2. Écriture mathématique :
« est strictement inférieur à » s’écrit en langage mathématique "<".
« est strictement supérieur à » s’écrit en langage mathématique ">".
« est inférieur ou égal à » s’écrit en langage mathématique "≤".
« est supérieur ou égal à » s’écrit en langage mathématique "≥".
Exemples :
2 < 4 𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑎𝑢𝑠𝑠𝑖 2 ≤ 4 3 > 1 𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑎𝑢𝑠𝑠𝑖 3 ≥ 1 3 = 3 𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑎𝑢𝑠𝑠𝑖 3 ≥ 3 𝑜𝑢 3 ≤ 3 Toute ces écritures sont justes, la première est à chaque fois plus précise.
3
3. « Méthode » de comparaison ou « algorithme » de comparaison
Pour comparer deux nombres décimaux :
1. On compare leurs parties entières, si elles sont différentes on sait les comparer.
2. Si elles sont égales ; on compare le premier chiffre (celui des dixièmes) de leurs
parties décimales si ils sont différents on sait les comparer.
3. S’ils sont égaux ; on compare le deuxième chiffre (celui des centièmes) de leurs
parties décimales si ils sont différents on sait les comparer.
4. S’ils sont égaux ; on continue jusqu’à ce que les chiffres soient différents et on
conclue.
Vocabulaire : un algorithme est une succession d’étapes qui permet de réaliser quelque
chose de façon « automatique »
IV – Encadrements et valeurs approchées d’un nombre
1. Encadrement :
Encadrer un nombre c’est donner un nombre plus petit et un nombre plus grand avec
la précision demandée.
Exemples
Encadrer 4,25 au dixième près : 4,2 < 4,25 < 4,3.
Encadrer 34,25 à l’unité près : 34 < 34,25 < 35.
Encadrer 14,2561 au millième près : 14,256 < 14,2561 < 14,257
2. Arrondi :
Arrondir un nombre c’est donner sa valeur approchée avec la précision donner.
Exemples :
L’arrondi de 4,23 au dixième près est 4,2 car 3 < 5.
On note 4,23 ≈ 4,2 au dixième près.
L’arrondi de 4,27 au dixième près est 4,3 car 7 ≥ 5.
On note 4,27 ≈ 4,3 au dixième près.
L’arrondi de 4,25 au dixième près est 4,3 car 5 ≥ 5.
On note 4,25 ≈ 4,3 au dixième près.
L’arrondi de 4,24 au dixième près par excès est 4,3.
On note 4,23 ≈ 4,3 au dixième près par excès.
L’arrondi de 4,24 au dixième près par défaut est 4,2.
On note 4,24 ≈ 4,2 au dixième près par défaut.
4
3. Troncature :
Donner la troncature d’un nombre à un rang donné, c’est donner la valeur approchée
de ce nombre en supprimant les chiffres qui suivent celui du rang donné.
Exemples :
La troncature au centième de 12,9562 est 12,95.
La troncature à l’unité de 8,925 est 8.
La troncature au dixième de 8,925 est 8.
V – Multiplication et division d’un nombre décimal par 10, 100, 1000…
1. Multiplication par 10, 100 1000….
Pour multiplier un nombre décimal par 10, 100, 1000… on déplace la virgule vers la
droite d’autant de rang qu’il y a de zéros dans le nombre 10, 100, 1000…..
Exemples :
42,1684×100 = 4216,84 16,367×1000 = 16367
2. Division par 10, 100, 1000…
Pour diviser un nombre décimal par 10, 100, 1000… on déplace la virgule vers la
gauche d’autant de rang qu’il y a de zéros dans le nombre 10, 100, 1000…
Exemples :
42,1684 ∶ 100 = 0,421684
36525,14 : 1000 = 36,52514
VI – Repérage sur une demi-droite munie d’un repère
1. Demi-droite munie d’un repère :
Munir une demi-droite d’un repère c’est associer le nombre 0 à son origine et choisir
une unité de longueur que l’on reporte régulièrement à partir de l’origine.
2. Abscisse d’un point sur une demi-droite graduée :
L’abscisse d’un point sur une demi-droite graduée est le nombre qui mesure la
distance entre l’origine et ce point.
Plus l’abscisse est petite plus le point est proche de l’origine
5