Correction du devoir maison n°5

A
Correction du devoir maison n°5
Ex 56 p 242
1) On sait que dans le triangle AOC rectangle en C,
D’après le théorème de Pythagore, on a
AO² = AC² +CO²
AC² = AO² - OC²
AC² = 6² -3²
AC² = 36 – 9
AC² = 27 or AC > 0
AC =√27
AC = √9 × 3
AC = 3√ cm
2)
C
On sait que le triangle ENO est rectangle en E et le triangle CAO est rectangle en C
donc (NE) ⊥ (EO) et (AC) ⊥ (OC)
De plus les points E, O et C sont alignés donc les droites (EO), (EC) et (OC) sont confondues
Le point S appartient à la droite (NE) donc les droites (NS ) et (NE) sont confondues
Propriété : Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite
alors ces deux droites sont parallèles
Donc (NS) // (AC).
b) Calculer les valeurs exactes de ES et de OS
On sait que dans les triangles OES et OCA,
Les droites (AS) et (EC) sont sécantes en O.
(ES) // (AC)
D’après le théorème de Thalès, on a :
OE OS ES
=
=
OC OA AC
donc :
5 OS
ES
=
=
3
6
3 3
OS 5
5× 6
donc OS =
=
= 10cm
6
3
3
ES
5
5×3 3
Calcul de ES :
=
donc ES =
= 5 3 cm
3
3 3 3
Calcul de OS :
3) Calculer la EN
On sait que le triangle NOE est rectangle en E
=
Donc on a tan tan 30° =
NE = 5 x tan 30°
4) a) Calculer la mesure de l’angle On sait que le triangle COA est rectangle en C
=
Donc on a cos NE ≈ 2,9 cm (arrondi au mm)
b) Démontrer que le triangle est rectangle
et sont opposés par le sommet
Les angles Donc ils ont la même mesure
=60°
= + = 30 + 60
= 90° donc le triangle NOS est rectangle en O
=
cos = 60°
donc Ex 77p 80
B = 180 − 3 5
A = 3 20 + 45
2°) Démontrer que A×B et
sont des nombre entiers
B = 9× 2× 2×5 − 3 5
A = 3 4×5 + 9×5
A = 31°)
× 4× 5 + 9× 5 B = 9× 4× 5 −3 5
A× B =9 5 ×3 5
A = 3× 2 5 + 3 5
B = 3× 2 5 − 3 5
A=6 5 +3 5
B = 6 5 −3 5
A × B = 9 × 3 × ( 5)²
A × B = 27 × 5
A=9 5
B=3 5
A × B = 135
donc A × B est un nombre entier
A 9 5
=
B 3 5
A 9
=
B 3
A
A
= 3 donc est un nombre entier
B
B
Ex 69 p 244
A
2°) Dans un triangle équilatéral, les trois angles sont égaux et valent 60°
= 60°
Donc !
30°
On sait que (AH) est la hauteur issue de A dans le triangle ABC
Donc le triangle ABH est rectangle en H
Dans un triangle rectangle, les angles aigus sont complémentaires
= 90 – 60
Donc "#
= 30°
!$
60°
B
3°) a) On sait que dans le triangle ABH rectangle en H
%
=
Donc on a cos "
%
cos 60° =
on sait que le triangle ABC est équilatéral donc la hauteur (AH) est aussi la médiatrice de [BC]
"
donc H est le milieu de [BC] et BH=
= "
2
2
%
En particulier
=
(
)
et
cos *+° =
,
-
(cos 60)² + (sin 60)² = 1
(sin 60)² = 1 − (cos 60)²
1
(sin 60)² = 1 − ( )²
2
4 1
(sin 60)² = −
4 4
3
(sin 60)² =
4
3
sin 60 =
4
sin 60 =
3°) a) On sait que dans le triangle ABH rectangle en H
%
=
Donc on a sin "
,
sin +° =
-
b)
3
2
(cos 30)² + (sin 30)² = 1
(cos 30)² = 1 − (sin 30)²
1
(cos 30)² = 1 − ( )²
2
4 1
(cos 30)² = −
4 4
3
(cos 30)² =
4
3
cos 30 =
4
3
cos 30 =
2
C
sin 60
cos 60
3
tan 60 = 2
1
2
3 2
tan 60 =
×
2 1
tan 60 = 3
tan 60 =
sin 30
cos 30
1
tan 30 = 2
3
2
1 2
tan 30 = ×
2
3
1
tan 30 =
3
tan 30 =
tan 30 =
3
3