SESSION 2003 CONCOURS NATIONAL DEUG _______________ Epreuve spécifique concours Physique MATHEMATIQUES PARTIE II Durée : 2 heures Les calculatrices sont autorisées. NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre. Nombres et polynômes de Bernoulli, applications au calcul de ζ (2k ) et n ∑k p . k =1 Notations +∞ 1 . x n =1 n ! [ X ] est la ! -algèbre des polynômes à coefficients réels. ! n [ X ] est le ! -espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à n. On pose pour tout réel x > 1 , ζ ( x) = ∑ Objectifs Le but du problème est de calculer les valeurs de ζ (2k ) où k est un entier non nul (paragraphe II) n ainsi que les sommes ∑k p où p et n sont des entiers naturels non nuls (paragraphe III). k =1 Pour cela, on utilisera les polynômes et nombres de Bernoulli étudiés dans le paragraphe I. Les formules à établir au paragraphe I peuvent être utilisées sans démonstration aux paragraphes II et III. Les paragraphes II et III sont indépendants. Tournez la page S.V.P. 2 I – Polynômes et nombres de Bernoulli On dit qu’une suite ( Bn ) de ! [ X ] est une suite de polynômes de Bernoulli si elle vérifie les propriétés suivantes notées ( P1 ) : {B0 = 1 , ∀n ∈ " : B' n+1 = Bn et ∀n ≥ 2 : Bn (1) = Bn (0)} ( P1 ) 1. Soit ( Bn ) une suite de polynômes de Bernoulli. a. Montrer que nécessairement B1 ( X ) = X − X2 X 1 1 et B2 ( X ) = − + . 2 2 2 12 b. Déterminer B3 et B4 . 2. Le but de cette question est de montrer qu’il existe une et une seule suite de polynômes qui vérifie les propriétés ( P1 ) . a. Si P est un polynôme de ! [ X ] , montrer qu’il existe un et un seul polynôme Q de ! [ X ] tel que : Q' = P et ∫ 1 0 Q(t ) dt = 0 . On note alors L l’application de ! [ X ] vers ! [ X ] qui à P associe Q. b. Montrer qu’une suite de polynômes ( Bn ) vérifie ( P1 ) si et seulement si elle vérifie la propriété suivante notée ( P2 ) : {B0 = 1 et ∀n ∈ " , Bn +1 = L( Bn )} ( P2 ) c. En déduire qu’il existe une unique suite de polynômes vérifiant les propriétés ( P1 ) . On notera cette suite ( Bn ) et on l’appellera la suite de polynômes de Bernoulli. 3. Déduire de la question 2., que pour tout entier naturel n, Bn ( X ) = (−1) n Bn (1 − X ) . 4. On pose, pour tout n, bn = Bn (0) ; bn est le (n + 1) -ième nombre de Bernoulli. a. Calculer b0 , b1 , b2 , b3 , b4 . b. Montrer que pour tout entier impair n ≥ 3 , bn = 0 . II – Application au calcul de ζ (2k ) Soit k un entier naturel non nul. On définit l’application g k de ! vers ! par : x g k ( x) = B2 k ( ) pour x ∈ [0, 2π[ et g k est périodique de période 2π . 2π 1 5. Si on pose α 0 (k ) = ∫ 0 B2 k (t ) dt 1 1 0 0 et pour n ≥ 1 , α n (k ) = 2∫ B2 k (t ) cos(2π n t ) dt et β n (k ) = 2∫ B2 k (t ) sin(2π n t ) dt 3 +∞ montrer que pour tout réel x on a : g k ( x) = α 0 (k ) + ∑ (α n (k ) cos(n x) + β n (k ) sin( n x) ) . n =1 6. Calculer α 0 (k ) . 7. a. Montrer que pour tout n ≥ 1 , α n (1) = 2 (2π n )2 . b. Montrer que pour tout n ≥ 1 et tout k ≥ 2 , α n (k ) = −1 (2π n )2 α n (k − 1) . c. En déduire pour tout n ≥ 1 et tout k ≥ 2 , la valeur de α n (k ) . 8. Montrer sans calcul que pour tout n ≥ 1 et tout k ≥ 1 , β n (k ) = 0 . 9. a. Déterminer, pour k ≥ 1 , une relation entre ζ (2k ) et b2 k . +∞ b. Calculer 1 et ∑ 2 n =1 n +∞ 1 ∑n n =1 4 . n III – Application au calcul de ∑k p k =1 10. Soit p un entier naturel, on définit l’application ∆ de ! ∆( P) = P( X + 1) − P( X ) . a. Montrer que ∆ est un endomorphisme de ! [ X ] vers ! p +1 [ X ] par : p +1 [ X ]. p +1 b. Déterminer Ker ∆ . c. Montrer que Im ∆ = ! p[ X ] . 11. En déduire que pour tout entier naturel p, il existe un et un seul polynôme Q de ! que : ∆(Q) = Xp et p! ∫ 1 0 [ X ] tel p +1 Q(t ) dt = 0 . 12. Montrer que ce polynôme Q est en fait B p +1 . 13. En déduire que pour tout entier p ≥ 1 et tout entier n ≥ 1 , n ∑k k =1 n 14. Calculer ∑ k 2 et k =1 p = p ! (B p +1 (n + 1) − b p +1 ) . n ∑k 3 . k =1 Fin de l’énoncé.