MATHÉMATIQUES I Filière PC Partie I - Nombres de Bernoulli Les polynômes que l’on considère sont à coefficients réels. On identifiera un polynôme et la fonction polynomiale associée. I.A - Suite des polynômes de Bernoulli I.A.1) Montrer qu’il existe une et une seule suite ( B n ) n ∈ IN de polynômes vérifiant B 0 = 1 puis pour tout entier n ≥ 1 , B' n = nB n – 1 et 1 ∫0 Bn(t) dt = 0. I.A.2) Montrer que chaque B n est un polynôme unitaire de degré n . Déterminer B 1 , B 2 , B 3 . I.A.3) On définit pour tout n ∈ IN et pour tout t ∈ IR , C n ( t ) = ( – 1 ) n B n ( 1 – t ) . Montrer que, pour tout entier naturel n , C n = B n . I.B - Nombres de Bernoulli On pose, pour tout n ∈ IN , b n = B n ( 0 ) . I.B.1) Montrer que 1 B 0 ( 1 ) = B 0 ( 0 ) = 1 , B 1 ( 1 ) = – B 1 ( 0 ) = -- , 2 et pour tout n ≥ 2 , B n ( 1 ) = B n ( 0 ) . I.B.2) Montrer que, pour tout entier p ≥ 1 , b 2 p + 1 = 0 . Partie II - Fonction génératrice des polynômes de Bernoulli II.A - Montrer que la fonction u définie sur IR∗ par : x x a u ( x ) = -------------ex – 1 admet un prolongement de classe C ∞ sur IR . (On pourra considérer la fonction 2 1 ⁄ u ). En déduire que la fonction φ définie sur IR par : xe tx φ ( x, t ) = -------------- si x ≠ 0 ex – 1 et φ ( 0, t ) = 1 k est de classe C sur IR2 pour tout entier k ≥ 0 . II.B II.B.1) Déterminer, pour t réel fixé, le développement limité à l’ordre 3 en 0 de : x a φ ( x, t ) . Concours Centrale-Supélec 1999 MATHÉMATIQUES I II.B.2) Filière PC Expliciter ∂ φ( x, t) ∂t en fonction de φ ( x, t ) , puis montrer pour n ≥ 1 que n n n–1 ∂ ∂ ∂ ∂ φ( x, t) = x φ( x, t) + n n – 1 φ( x, t) . ∂t ∂ xn ∂ xn ∂x II.B.3) La fonction a n est définie pour tout réel t par : n n ∂ φ ∂ a n(t) = --------n-(0, t) c’est-à-dire a n(t) = φ( x, t) ∂x ∂ xn . x=0 Vérifier que a 0 = 1 , puis pour tout entier n ≥ 1 , que a n′ = na n – 1 et 1 ∫0 an ( t ) dt = 0. 1 1 (Pour le calcul de ∫ a n ( t ) dt on pourra déterminer ∫ φ ( x, t ) dt ). 0 0 En déduire que la fonction a n est polynomiale et que, pour tout n ∈ IN , a n = B n . II.B.4) Déterminer de deux manières, pour n entier supérieur à 1 et t réel fixé, le développement limité à l’ordre n en 0 de : ex – 1 x a -------------- φ ( x, t ) . x En déduire : 1 B n ( t ) = t n – ------------n+1 n–1 ∑ Cn + 1 Bk ( t ) . k k=0 II.C - Donner une relation permettant de calculer les nombres de Bernoulli b n . Écrire un algorithme permettant d’obtenir la valeur de b 2n ( n ≥ 1 ) , puis donner la valeur (exacte ou approchée) de b 10 . Partie III - Formule d’Euler Mac-Laurin III.A - Dans cette question, f est une fonction de [ 0, 1 ] dans IR de classe C 2 p où p est un entier supérieur à 1 . On pose pour tout k entier compris entre 0 et p : Rk = 1 f ( 2k )(t)B 2k(t) - dt ∫0 ---------------------------------( 2k )! ( 2k ) où f désigne la dérivée 2k -ième de f . III.A.1) Exprimer R 0 en fonction de R 1 , puis pour tout entier k ≥ 1 , R k en fonction de R k + 1 . Concours Centrale-Supélec 1999 MATHÉMATIQUES I Filière PC III.A.2) En déduire : f (0) + f (1) -– ∫0 f (t) dt = ---------------------------2 1 p b2 j -[ f ∑ -----------( 2 j )! (2 j – 1) (1) – f (2 j – 1) (0)] + R p . j=1 III.B - Dans cette question, a et b sont deux réels tels que a < b , g est une fonction de [ a, b ] dans IR de classe C 2 p où p est un entier supérieur à 1 , n est un entier naturel supérieur où égal à 1 . On pose b–a h = -----------n et l’on considère la subdivision ( a k ) 0 ≤ k ≤ n de l’intervalle [ a, b ] définie par : a k = a + kh , 0 ≤ k ≤ n . Pour tout réel x on considère 〈 x〉 = x – E( x) où E( x) désigne la partie entière du réel x . III.B.1) Montrer que b u–a -〉 du = ∫a g ( 2 p )(u)B2 p 〈 -----------h n–1 ak + 1 ∑ ∫a k=0 k u – ak g ( 2 p )(u)B 2 p --------------- du . h III.B.2) Montrer que b ∫a g(t) dt est égale à l’expression suivante : g(a) h ------------ + 2 n–1 ∑ k=1 g(b) g ( a + kh ) + ------------ – 2 p b2 j -h ∑ -----------( 2 j )! 2j [g (2 j – 1) (b) – g (2 j – 1) ( a ) ] + r p ,n , j=1 où r p ,n est défini par : h2 p b u–a r p, n = -------------- ∫ g ( 2 p )(u)B 2 p 〈 -------------〉 du . h ( 2 p )! a C’est la formule sommatoire d’Euler Mac-Laurin. Partie IV - Application α est un réel donné, α ∈ ] 0,1 [ . On se propose dans cette partie de déterminer un équivalent de : n Sn = ∑ e ik α . k=1 ( i nombre complexe de carré – 1 ). IV.A - À l’aide de la fonction g : t a e it α , exprimer S n en fonction de n+1 ∫1 g(t) dt Concours Centrale-Supélec 1999 MATHÉMATIQUES I Filière PC et de dérivées successives de la fonction g . IV.B IV.B.1) Montrer que, lorsque n → ∞ , l’intégrale In = n ∫1 α --1- – 1 ix α e x dx est équivalente à – ie in α n ( 1 – α ) . On pourra utiliser la technique d’intégration par parties. IV.B.2) En déduire un équivalent de n ∫ e it α dt . 1 IV.C - Montrer que, pour tout entier naturel j ≥ 1 , g ( j) (n) = O(n j(α – 1) ) ( O désigne la relation de domination lorsque n → ∞ ). IV.D IV.D.1) Déterminer un entier naturel p tel que la suite n+1 ∫ 1 g ( 2 p )(t)B 2 p( 〈 t – 1〉 ) dt n ∈ IN soit bornée ; on pourra poser M 2 p = sup ( B 2 p ( t ) , 0 ≤ t ≤ 1 ) . IV.D.2) En déduire un équivalent de S n quand n tend vers l’infini. ••• FIN ••• Concours Centrale-Supélec 1999