nombres n sont -"qui est" -facilement

SESSION 2003
CONCOURS NATIONAL DEUG
_______________
Epreuve spécifique concours Physique
MATHEMATIQUES
PARTIE II
Durée : 2 heures
Les calculatrices sont autorisées.
NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la
rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa
copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à
prendre.
Nombres et polynômes de Bernoulli, applications au calcul de ζ (2k ) et
n
∑k
p
.
k =1
Notations
+∞
1
.
x
n =1 n
! [ X ] est la ! -algèbre des polynômes à coefficients réels.
! n [ X ] est le ! -espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à
n.
On pose pour tout réel x > 1 , ζ ( x) = ∑
Objectifs
Le but du problème est de calculer les valeurs de ζ (2k ) où k est un entier non nul (paragraphe II)
n
ainsi que les sommes
∑k
p
où p et n sont des entiers naturels non nuls (paragraphe III).
k =1
Pour cela, on utilisera les polynômes et nombres de Bernoulli étudiés dans le paragraphe I.
Les formules à établir au paragraphe I peuvent être utilisées sans démonstration aux
paragraphes II et III.
Les paragraphes II et III sont indépendants.
Tournez la page S.V.P.
2
I – Polynômes et nombres de Bernoulli
On dit qu’une suite ( Bn ) de ! [ X ] est une suite de polynômes de Bernoulli si elle vérifie les
propriétés suivantes notées ( P1 ) :
{B0 = 1 , ∀n ∈ " : B' n+1 = Bn et ∀n ≥ 2 : Bn (1) = Bn (0)}
( P1 )
1. Soit ( Bn ) une suite de polynômes de Bernoulli.
a. Montrer que nécessairement B1 ( X ) = X −
X2 X 1
1
et B2 ( X ) =
− + .
2
2
2 12
b. Déterminer B3 et B4 .
2. Le but de cette question est de montrer qu’il existe une et une seule suite de polynômes qui
vérifie les propriétés ( P1 ) .
a. Si P est un polynôme de ! [ X ] , montrer qu’il existe un et un seul polynôme Q de ! [ X ]
tel que :
Q' = P et
∫
1
0
Q(t ) dt = 0 .
On note alors L l’application de ! [ X ] vers ! [ X ] qui à P associe Q.
b. Montrer qu’une suite de polynômes ( Bn ) vérifie ( P1 ) si et seulement si elle vérifie la
propriété suivante notée ( P2 ) :
{B0 = 1 et ∀n ∈ " , Bn +1 = L( Bn )}
( P2 )
c. En déduire qu’il existe une unique suite de polynômes vérifiant les propriétés ( P1 ) .
On notera cette suite ( Bn ) et on l’appellera la suite de polynômes de Bernoulli.
3. Déduire de la question 2., que pour tout entier naturel n, Bn ( X ) = (−1) n Bn (1 − X ) .
4. On pose, pour tout n, bn = Bn (0) ; bn est le (n + 1) -ième nombre de Bernoulli.
a. Calculer b0 , b1 , b2 , b3 , b4 .
b. Montrer que pour tout entier impair n ≥ 3 , bn = 0 .
II – Application au calcul de ζ (2k )
Soit k un entier naturel non nul. On définit l’application g k de ! vers ! par :
x
g k ( x) = B2 k ( ) pour x ∈ [0, 2π[ et g k est périodique de période 2π .
2π
1
5. Si on pose α 0 (k ) = ∫ 0 B2 k (t ) dt
1
1
0
0
et pour n ≥ 1 , α n (k ) = 2∫ B2 k (t ) cos(2π n t ) dt et β n (k ) = 2∫ B2 k (t ) sin(2π n t ) dt
3
+∞
montrer que pour tout réel x on a : g k ( x) = α 0 (k ) + ∑ (α n (k ) cos(n x) + β n (k ) sin( n x) ) .
n =1
6. Calculer α 0 (k ) .
7. a. Montrer que pour tout n ≥ 1 , α n (1) =
2
(2π n )2
.
b. Montrer que pour tout n ≥ 1 et tout k ≥ 2 , α n (k ) =
−1
(2π n )2
α n (k − 1) .
c. En déduire pour tout n ≥ 1 et tout k ≥ 2 , la valeur de α n (k ) .
8. Montrer sans calcul que pour tout n ≥ 1 et tout k ≥ 1 , β n (k ) = 0 .
9. a. Déterminer, pour k ≥ 1 , une relation entre ζ (2k ) et b2 k .
+∞
b. Calculer
1
et
∑
2
n =1 n
+∞
1
∑n
n =1
4
.
n
III – Application au calcul de
∑k
p
k =1
10. Soit p un entier naturel, on définit l’application ∆ de !
∆( P) = P( X + 1) − P( X ) .
a. Montrer que ∆ est un endomorphisme de !
[ X ] vers !
p +1
[ X ] par :
p +1
[ X ].
p +1
b. Déterminer Ker ∆ .
c. Montrer que Im ∆ = ! p[ X ] .
11. En déduire que pour tout entier naturel p, il existe un et un seul polynôme Q de !
que : ∆(Q) =
Xp
et
p!
∫
1
0
[ X ] tel
p +1
Q(t ) dt = 0 .
12. Montrer que ce polynôme Q est en fait B p +1 .
13. En déduire que pour tout entier p ≥ 1 et tout entier n ≥ 1 ,
n
∑k
k =1
n
14. Calculer
∑ k 2 et
k =1
p
= p ! (B p +1 (n + 1) − b p +1 ) .
n
∑k
3
.
k =1
Fin de l’énoncé.