Polynômes de Bernouilli et intégration

IUFM du Limousin
PLC1 Mathématiques
S. Vinatier
2009-10
Exercice à rédiger
Polynômes de Bernouilli et intégration
Problème
Le but de cet exercice est l’étude de propriétés liées aux polynômes
de Bernouilli.
n
Pour tout nombre entier naturel k tel que 0 ≤ k ≤ n, on note k le nombre de combi n!
naisons de k éléments pris parmi n. On rappelle que nk = k!(n−k)!
.
On admet, dans tout cet exercice, qu’il existe une unique suite (bn )n∈N définie par la
condition initiale b0 = 1 et la relation de récurrence
n−1
P k=0
n
k
bk = 0, valable pour tout n entier
supérieur ou égal à 2.
On appelle nombres de Bernouilli les nombres réels notés bk ainsi définis.
On appelle polynômes de Bernouilli les polynômes Bn (X) définis par : B0 (X) = 1 et
pour tout nombre entier naturel non nul n, Bn (X) =
n P
n
k=0
k
bk X n−k .
1
1. Déterminer b1 , b2 , b3 et b4 . Montrer en particulier que b4 = − 30
.
2. Déterminer les polynômes B1 (X), B2 (X) et B3 (X).
3. Vérifier que, pour tout nombre entier n supérieur ou égal à 2, Bn (0) = Bn (1) = bn .
4. Démontrer que, pour tout nombre entier n supérieur ou égal à 1, Bn0 (X) = nBn−1 (X).
5. En déduire que, pour tout nombre entier n supérieur ou égal à 1,
R1
0
Bn (t) dt = 0.
6. Établir par récurrence que, pour tout nombre entier n supérieur ou égal à 1,
Bn (X + 1) − Bn (X) = nX n−1 .
7. En déduire que pour tout nombre entier naturel m, et pour tout nombre entier n ≥ 2, on
a:
m
X
1 kn =
Bn+1 (m + 1) − Bn+1 (0) .
n+1
k=0
Retrouver alors la formule donnant
m
P
k2.
k=0
8. On admet dans les questions suivantes que la suite (Bn ) est l’unique suite de polynômes
vérifiant les propriétés démontrées aux questions 4 et 5 et telle que B0 (X) = 1.
Pour tout nombre entier naturel n, on pose : An (X) = (−1)n Bn (1 − X).
a) Démontrer que la suite (An ) est confondue avec la suite (Bn ).
b) En déduire que pour tout nombre entier p supérieur ou égal à 1, b2p+1 = 0.
9. Soient n et p deux nombres entiers supérieurs ou égaux à 1. Soit f une fonction de classe
C 2p+1 sur l’intervalle [0 ; 1]. Pour tout nombre entier naturel non nul n, on désigne par
f (n) la dérivée d’ordre n de f et on pose par convention f (0) = f .
1
a) Montrer que, pour tout nombre entier n de l’intervalle [2 ; 2p + 1], on a :
Z 1
0
f
(n)
(t) × Bn (t) dt = bn × f
(n−1)
(1) − f
(n−1)
(0) − n ×
Z 1
0
f (n−1) (t) × Bn−1 (t) dt .
b) En déduire que, pour tout nombre entier naturel k de l’intervalle [1 ; p], on a :
Z 1
1
f (2k+1) (t) × B2k+1 (t) dt =
(2k + 1)! 0
Z 1
b2k
1
(2k−1)
(2k−1)
=−
× f
(1) − f
(0) +
f (2k−1) (t)B2k−1 (t) dt .
(2k)!
(2k − 1)! 0
c) Montrer alors la première formule d’Euler-Mac Laurin :
Pour tout nombre entier naturel p non nul,
Z 1
f (x) dx =
0
Z 1
p
f (2k−1) (1) − f (2k−1) (0)
1
f (0) + f (1) X
f (2p+1) (t)B2p+1 (t) dt .
−
b2k
−
2
(2k)!
(2p + 1)! 0
k=1
Questions subsidiaires
1. Établir l’existence et l’unicité d’une suite de nombres rationnels (un )n∈N satisfaisant les
conditions :
!
n−1
X n
u0 = 1 et ∀ n ≥ 2 ,
uk = 0 .
k=0 k
2. Établir l’existence et l’unicité d’une suite de polynômes à cœfficients rationnels (Un )n∈N
satisfaisant les conditions :
U0 (X) = 1
et
∀n ≥ 1,
Un0 (X)
2
= nUn−1 (X) ,
Z 1
0
Un (t) dt = 0 .