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Formulaire de trigonométrie irulaire
cotanθ
Dans
le ˘plan orienté muni d'un repère orthonormal
` Ñ
Ý Ñ
Ý
0, i , j , on onsidère le erle C de entre O et de
rayon 1. C est le erle trigonométrique, ou le erle
unité.
Soit M ´un point¯de C et soit θ une mesure de l'angle
Ñ
Ý ÝÝÑ
orienté i , OM .
On note cos θ et sin θ respetivement l'absisse et l'ordonnée du point M .
O
tan θ
sin θ
M
θ
1
cos θ
)
!π
sin θ
` kπ, k P Z
On note tan θ “
pour tout réel θ de Dtan “ Rz
cos θ
2
cos θ
On note cotanθ “
pour tout réel θ de Dcotan “ Rz tkπ, k P Zu
sin θ
On a les propriétés suivantes :
La fontion dénie sur R par x ÞÑ cos x est paire et 2π -périodique.
La fontion dénie sur R par x ÞÑ sin x est impaire et 2π -périodique.
La fontion dénie sur Dtan par x ÞÑ tan x est impaire et π -périodique.
Les fontions sinus et osinus sont dérivables sur R et pour tout réel x : sin1 x “ cos x et
Propriétés 1.
1.
2.
3.
4.
cos1 x “ ´ sin x
ı π
”
π
5. La fontion tangente est dérivable sur les intervalles ´ ` kπ; ` kπ , où k est un entier
2
2
1
1
2
relatif, et sur es intervalles tan x “ 1 ` tan x “
cos2 x
´π
¯
6. Pour tout réel x : sin
` x “ cos x. La ourbe représentative de la fontion sinus se
2
déduit don de la ourbe représentative de la fontion osinus par la translation de veteur
πÑ
Ý
i
2
7. Pour tout réel x : cos2 x ` sin2 x “ 1
3
2
1
Ñ
Ý
j
´3π
2
´π
´π
2
´1
Ñ
Ý
i
π
2
π
3π
2
´2
´3
Lyée Jean Perrin 2013/2014
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Formulaire de trigonométrie irulaire
.
Valeurs usuelles
θ en radians 0
sin pθq
0
cos pθq
1
tan pθq
0
Formules de linéarisation
π
6
1
2
?
3
2
?
3
3
π
4
?
2
2
?
2
2
1
π
3
?
3
2
1
2
?
3
cos2 a “
π
2
sin2 a “
1
cos a cos b “
0
sin a cos b “
Indénie
sin a sin b “
1 ` cosp2aq
2
1 ´ cosp2aq
2
1
pcos pa ` bq ` cos pa ´ bqq
2
1
psin pa ` bq ` sin pa ´ bqq
2
1
pcos pa ´ bq ´ cos pa ` bqq
2
Angles assoiés
cos p´xq
sin p´xq
cos pπ ` xq
sin pπ ` xq
cos pπ ´ xq
sin pπ ´ xq
´π
¯
cos
`x
2
¯
´π
`x
sin
2
´π
¯
cos
´x
2
´π
¯
sin
´x
2
“
“
“
“
“
“
cos x
´ sin x
´ cos x
´ sin x
´ cos x
sin x
Formules de fatorisation
sin p ` sin q “ 2 sin
sin p ´ sin q “ 2 cos
Formules de transformation
“ cos x
“
“
“
“
cos a cos b ´ sin a sin b
cos a cos b ` sin a sin b
sin a cos b ` cos a sin b
sin a cos b ´ cos a sin b
tan a ` tan b
tanpa ` bq “
1 ´ tan a tan b
tan a ´ tan b
tanpa ´ bq “
1 ` tan a tan b
2 ¯
´p ´
q
θ
1 ´ t2
1 ` t2
2t
sin θ “
1 ` t2
2t
tan θ “
1 ´ t2
cos θ “
Résolution d'équations trigonométriques
Pour tout réel x, on résout les équations trigonométriques à l'aide des relations suivantes :
$
& a “ b ` 2kπ
ou
cos a “ cos b ô
,k P Z
%
a “ ´b ` 2kπ
Formules de dupliation
cos2 a ´ sin2 a
2 cos2 a ´ 1
1 ´ 2 sin2 a
2 sin a cos a
2 tan a
tanp2aq “
1 ´ tan2 a
cosp2aq “
“
“
sinp2aq “
Lyée Jean Perrin 2013/2014
cos
Pour tout réel θ on pose t “ tan
2
Alors :
“ sin x
Formules d'addition
cospa ` bq
cospa ´ bq
sinpa ` bq
sinpa ´ bq
2 ¯
´p `
q
´p ´ q¯
sin
2
2 ¯
´p ` q ¯
´p ´
q
cos p ` cos q “ 2 cos
cos
´ p2 ` q ¯
´ p2´ q ¯
cos p ´ cos q “ ´2 sin
sin
2
2
“ ´ sin x
“ cos x
´p ` q ¯
$
& a “ b ` 2kπ
ou
sin a “ sin b ô
,k P Z
%
a “ π ´ b ` 2kπ
tan a “ tan b ô a “ b ` kπ, k P Z
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