Nombre dérivé - Perpendiculaires

Nom :
Jeudi 16 janvier 2014 – 2h00
Devoir surveillé n°5
Angles orientés – Trigonométrie – Nombre dérivé
L’énoncé est à rendre avec sa copie.
Penser à écrire son nom en entête sur cet énoncé ainsi que sur l’annexe.
La qualité de la rédaction et de la présentation entrera pour une part importante dans la notation
de la copie.
Le barème n’est qu’indicatif (le devoir est noté sur 30 points).
L’usage de la calculatrice n’est pas autorisé.
E XERCICE 1 (3 points).
³−−→ −→´
³−→ −−→´
.
ABC D est un parallélogrammme tel que AB ; AD = π6 et E est un point tel que D A ; AE = − 2π
3
³−→ −−→´
1. Par le calcul à l’aide des angles orientés, déterminer AE ; C D .
Aucune lecture graphique d’angle géométrique ne sera recevable.
2. Que peut-on en déduire pour les droites (AE ) et (C D) ?
E XERCICE 2 (8 points).
Les parties et les questions de chaque partie sont indépendantes.
Partie A
Donner la mesure principale des angles suivants et placer les points correspondants sur le cercle
trigonométrique fourni en annexe sur la figure 5.1 :
1. α = 41π
2. β = 181π
6 .
4 .
Partie B
Déterminer, dans l’intervalle
indiqué, l’ensemble S des solutions des équations suivantes :
p
2
4. Question bonus (hors barème)
1. Dans R : sin x = − 2 .
Dans [0 ; 2π] : 2 sin2 x + sin x − 1 = 0.
2. Dans R : cos x = − 21 .
On pourra penser à effectuer le changement
¡π¢
de variable X = sin x.
3. Dans ] − π ; π] : sin x = cos 8 .
Partie C
Simplifier au maximum les expressions suivantes :
¡
¢
¡ π¢
¡ 7π ¢
¡ 8π ¢
1. A (x) = cos (6π) + sin − 3π
4 + cos − 2 + sin (11π) + cos 6 + sin 3
¡ ¡
¢¢2
¡
¢
2. B(x) = sin π2 − x + sin(π − x) cos π2 − x
E XERCICE 3 (6 points).
Soit f une fonction définie et dérivable sur R et C sa courbe représentative donnée en annexe sur
la figure 5.2.
Les droites T A , TB et TC sont les tangentes à la courbe C respectivement aux points A, B et C .
1.
(a) Expliquer comment déterminer graphiquement vers quel nombre tend la quantité
f (1+h)−f (1)
lorsque h tend vers 0.
h
(b) Donner ce nombre.
2. Par lecture graphique, déterminer :
(a) f (−2) et f ′ (−2) ;
(b) f (3) et f ′ (3).
3. On sait que f (5) = 0 et que f ′ (5) = 52 .
(a) Tracer la tangente TD à la courbe C au point D d’abscisse 5.
(b) Déterminer par le calcul l’équation réduite de TD .
Jeudi 16 janvier 2014 – 2h00
E XERCICE 4 (9 points).
Soit f la fonction définie sur R par f (x) = x 2 + 2x − 3. On appelle C sa courbe représentative.
1.
(a) Déterminer par le calcul les coordonnées de A, point d’intersection de C avec l’axe des
ordonnées.
(b) Déterminer par le calcul, à l’aide du taux d’accroissement, le coefficient directeur de la
tangente à C en A.
2. Déterminer par le calcul les coordonnées des points d’intersection de C avec l’axe des abscisses.
3. Déterminer par le calcul, à l’aide du taux d’accroissement, f ′ (−1) puis une équation réduite
de la tangente à C au point d’abscisse −1.
4. Dans le repère de la figure 5.3 donnée en annexe :
(a) Placer en rouge tous les points qu’on peut déduire des questions précédentes ;
(b) Tracer en vert toutes les tangentes qu’on peut déduire des questions précédentes ;
(c) Tracer C .
E XERCICE 5 (4 points).
Une entreprise E est en construction sur un terrain à une certaine distance d’une route R.
L’objectif de l’architecte responsable de cette
construction est de déterminer le point de la
route le plus proche de l’entreprise afin de
construire l’allée la plus courte possible pour
joindre l’entreprise à cette route.
Après étude, il constate que, dans un repère bien
choisi, l’entreprise peut être considérée comme
située au point E de coordonnées (1 ; 0) et que
la route peut être modélisée, sur cette portion,
comme la représentation graphique R de la
p
fonction qui à x associe x sur [0 ; 1], comme indiqué sur le repère ci-contre.
y
R
b
O
x
E
Soit M un point de R d’abscisse x.
On note E M = f (x).
p
1. Montrer que f (x) = x 2 − x + 1.
2. Soit g la fonction définie sur R par g (x) = x 2 − x + 1.
(a) Déterminer les variations de g sur R et en déduire celles de f sur [0 ; 1].
(b) En déduire les coordonnées du point M qui minimise la longueur de l’allée et donner
cette longueur (dans l’unité du repère).
(c) Placer ce point sur la figure et tracer cette allée.
Nom :
Jeudi 16 janvier 2014 – 2h00
F IGURE 5.1: Cercle trigonométrique de l’exercice 2
y
1
x
O
−1
1
−1
F IGURE 5.2: Courbe de l’exercice 3
y
TA
A
b
TB
b
1
B
1
x
O
b
C
TC
F IGURE 5.3: Repère de l’exercice 4
y
5
4
3
2
1
x
−5
−4
−3
−2
−1
O
−1
−2
−3
−4
−5
1
2
3