Distance d`un point à une droite Tangente à un cercle

II. Tangente à un cercle
Soit un cercle (C) de centre O et A un point appartenant à ce cercle.
! Définition :
La tangente en A à ce cercle (C), est la droite perpendiculaire au
rayon [AO] passant par A.
III. Bissectrice et cercle inscrit à un triangle
! Définition :
La bissectrice d’un angle est la demi-droite, d’origine le sommet de
l’angle, qui le coupe en deux angles égaux.
A
Sur la figure ci-contre, la bissectrice
(C)
M
de l’angle
est la demi-droite
dessinée en vert.
B
A
On a
.
O
! Propriété :
(d1)
O
Un point de la bissectrice d’un angle est équidistant des côtés de
l’angle et, inversement, un point équidistant des côtés d’un angle est
sur la bissectrice de cet angle.
! Méthode de tracé :
La tangente en A au cercle (C) est la droite (d1)
! Propriétés
• Si une droite passe par A et est perpendiculaire au rayon [OA], alors
cette droite est la tangente en A au cercle (C).
• Si une droite est tangente au cercle (C) en un point A, alors cette
droite est perpendiculaire au segment [OA].
! Méthode pour tracer la tangente :
• On trace le segment [OA].
• On trace la perpendiculaire au segment [OA] passant par A en
utilisant l’équerre.
• Cette droite est la tangente au cercle (C) en A.
- A l’aide d’un rapporteur.
- A l’aide d’un compas :
Dans la figure ci-dessus, on suppose que OA = OB.
En prenant le même écartement du compas, on dessine un arc de
cercle de centre A et un autre de centre B.
Le point d’intersection de ces arcs de cercle est sur la bissectrice et on
peut la dessiner en reliant ce point d’intersection au point O.
C
! Propriété :
Les 3 bissectrices d’un triangle
sont concourantes en un point
qui est le centre du cercle inscrit
dans ce triangle.
A
I
B
( I centre du cercle inscrit dans le triangle ABC, ci-dessus en bleu)
Figures réalisées avec GDmath (http://gdmath.free.fr/)
Editeur : MemoPage.com SA © / Auteur : Pierre Larivière / 2009
La distance du point A à la droite (d1) sera la distance AH.
! Propriété :
• On va utiliser une équerre et les deux côtés de celle-ci, qui touchent
l’angle droit.
• On place le premier côté de l’équerre le long de la droite (d1).
• On fait coulisser l’équerre le long de la droite (d1), jusqu’à ce que le
deuxième côté de l’équerre soit sur le point A.
• On peut alors tracer la perpendiculaire à la droite (d1) passant par le
point A et le point H qui est à l’intersection de cette droite et de la
droite (d1).
• H est le point de (d1) le plus proche de A.
! Méthode :
En prenant un autre point M sur la droite (d1) et
en observant le triangle HAM, rectangle en H,
on voit que la distance AH est plus petite que la
distance AM (hypothénuse) et même que toutes
les distances AM possibles.
(d1)
M
A
Dans l’exemple ci-contre, le point le plus
près du point A sur la droite (d1) est
le point H : on peut le construire
à l’aide d’une équerre.
H
Le point d’une droite le plus proche d’un point donné
est le pied de la perpendiculaire menée du point à la droite.
Propriété :
I. Distance d’un point à une droite
Distance d’un point à
une droite Tangente à
un cercle Bissectrice et
cercle inscrit