Distance, tangente, bissectrice A (d) H I) Distance d`un point à une

Distance, tangente, bissectrice
I) Distance d’un point à une droite
A
Voir activité : Distance d’un point à une droite à l’aide de géoplan
1) Définition
(d)
Soit A un point et (d) une droite
H
On appelle distance du point A à la droite (d), la plus petite distance entre le point A et un point M se trouvant
sur la droite (d).
2) Propriété - définition
Si H le pied de la perpendiculaire à (d) passant par A alors:
H est le point de (d) le plus proche de A
AH est appelé la distance du point A à la droite (d).
Démonstration :
Pour n'importe quel point M sur (d) on a d'après le théorème de Pythagore appliqué au triangle AHM rectangle
en H :
AM2 = AH2 + HM2
Donc AM2  AH2
Donc AM  AH donc AH est la distance de A à (d)
II) Tangente à un cercle
1) Définition
La tangente (T) en H à un cercle de centre O est la droite passant par le point H et qui est perpendiculaire au
rayon [OH].
(T)
O
H
INSTRUMENPOCHE/ConstructionsdeBases/Divers1
2) Propriété - définition
Si (T) est la tangente au cercle en H alors (T) et le cercle ont un seul point commun : le point H, autrement dit si
(T) est la tangente au cercle en H alors H est le point de contact du cercle et de la tangente en H au cercle.
Démonstration :
Soit M un point du cercle, soit T la tangente en H au cercle alors on a OM = OH or si M était un point de la
droite on aurait que OM > OH (distance de O à la droite (T) ) donc la tangente en H au cercle n' a qu'un seul
point commun avec le cercle et ce point est H.
III) Bissectrices des angles d’un triangle
y
1) Définition
La bissectrice d’un angle est la demi-droite qui
partage l’angle en deux angles adjacents de même
mesure.
O
x
2) Propriétés et définition
Si un point appartient à la bissectrice d’un angle alors il est équidistant de deux côtés de cet angle.
Si un point est équidistant de deux côtés d’un angle alors il appartient à la bissectrice de cet angle.
T
Dans un triangle, les bissectrices des trois angles sont
concourantes. Leur point de concours est équidistant
des trois côtés du triangle.
I
Ce point de concours est le centre du cercle inscrit
dans le triangle.
A
R