Distances et tangente I) Distance d’un point à une droite : a) Définition : Définition : Soit (d) une droite et A un point n’appartenant pas à (d). La distance du point A à la droite (d) est la longueur AH où H désigne le point d’intersection de la droite (d) avec la perpendiculaire à la droite (d) passant par A. Remarque : La distance AH est la plus courte distance entre le point A et tous les points de la droite (d). Exemple : Soit (d) une droite et A un point n’appartenant pas à (d). Voici la méthode pour déterminer la distance du point A à cette droite. Première étape : On trace la perpendiculaire à la droite (d) passant par A. Elle coupe (d) en H. Deuxième étape : On mesure la longueur AH qui correspond à la distance entre le point A et la droite (d). On trouve ici AH = …… b) Propriété : Propriété : L’ensemble des points situés à une même distance d’une droite (d) est défini par deux droites parallèles à (d) situées de part et d’autre de (d). Exemple : Soit (d) une droite. Construire en rouge l’ensemble des points situés à 3 cm de la droite (d). Voici la méthode : Première étape : On trace une droite (d’) perpendiculaire à la droite (d) qu’elle coupe en H. Sur cette droite (d’) on place deux points M et M’ situés de part et d’autre de la droite (d) à 3 cm du point H. Deuxième étape : On trace les parallèles à la droite (d) passant par M et M’. L’ensemble recherché est constitué par ces deux droites. II) Tangente à un cercle en un point : Définition : La tangente à un cercle (C) de centre O en un point A est la droite passant par A et perpendiculaire au rayon [OA]. Exemple : Construire la tangente au point A au cercle (C) de centre O. Voici la méthode : Première étape : On trace le cercle de centre O, on place le point A et on trace le rayon [OA]. Deuxième étape : On trace la droite (d) passant par A et perpendiculaire à la droite (OA). La droite (d) est la tangente en A au cercle (C). III) Bissectrice d’un angle et cercle inscrit : Propriété : • Si un point est situé à la même distance des côtés d’un angle alors il appartient à la bissectrice de cet angle. • Réciproquement, si un point appartient à la bissectrice d’un angle alors il est situé à la même distance des côtés de cet angle. Exemple n°1 : On sait que le point M est situé à égales distantes des côtés de l’angle BÂC. On en déduit que le point M appartient à la bissectrice de l’angle BÂC. Exemple n°2 : On sait que le point M appartient à la bissectrice de l’angle BÂC. On en déduit que le point M est situé à égales distances des côtés de l’angle BÂC. Propriété : Les trois bissectrices des angles d’un triangle sont concourantes en un point appelé centre du cercle inscrit dans le triangle. Exemple : On remarque que les trois côtés du triangle sont tangents au cercle inscrit dans le triangle ABC.