CH9 - Applications du produit scalaire. Chapitre 9 : Applications du produit scalaire. I. Equations de droites et de cercles. 1. Droites et produit scalaire a) Rappels Introduire par vecteurs colinéaires, condition pour qu’un point appartienne à une droite Théorème 1 Dans un repère quelconque, → • Toute droite a une équation de la forme ax + by + c = 0. Le vecteur − u (−b; a) est un vecteur directeur de cette droite. • Réciproquement, l’ensemble des points M(x; y) tels que ax + by + c = 0 est une droite dirigée par le → vecteur − u (−b; a). Exemple 1 → Déterminer l’équation de la droite d passant par A(1; 3) et de vecteur directeur − u (−1; 2). b) Vecteur normal et équations de droites Définition 1 → → Dire qu’un vecteur − n , non nul, est normal à une droite d signifie que la direction de − n est orthogonale à celle de d. Proposition 1 → A est un point du plan et − n est un vecteur non nul. −−→ → • L’ensemble des points M du plan vérifiant AM .− n = 0 est la droite passant par A et de vecteur normal − → n. → • Dans un repère orthnormé, une droite de vecteur normal − n (a; b) a une équation de la forme ax + by + c = 0, avec c ∈ R. Démonstration : • Oral + correction du devoir maison 7 → → • On considère la droite d de vectur normal − n et passant par A avec − n (a; b) et A(xA ; yA ). −−→ −−→ Soit M (x; y) alors le vecteur AM a pour coordonnées AM (x − xA ; y − yA ). D’où −−→ → M ∈ D ⇔ AM .− n =0 ⇔ (x − xA ) × a + (y − yA ) × b = 0 ⇔ ax + by + (−axA − byA ) = 0 | {z } =c Exemple 2 Dans un repère orthonormal, on considère les points A(3; −1) et B(2 ;4). Déterminer une équation de la médiatrice du segment [AB]. 2. Cercles et produit scalaire a) Caractérisation du cercle de diamètre [AB]. Proposition 2 Le cercle C de diamètre [AB] est l’ensemble des points M tels que −−→ −−→ M A.M B = 0 Démonstration : On note C le cercle de diamètre [AB]. −−→ −−→ −−→ −−→ M A.M B = 0 ⇔ M = A, M = B ou M A⊥M B ⇔ M = A, M = B, M AB rectangle en M ⇔ M ∈C 1ere S2 1 2008-2009 CH9 - Applications du produit scalaire. Exemple 3 Dans un repère orthonormé, on considère les points A(2; 5) et B(6; −1). Déterminez une équation du cercle de diamètre [AB]. b) Equation de cercle. Proposition 3 Dans un repère orthonormé, C est le cercle de centre A(xA ; yA ) et de rayon r. Une équation du cercle C est : (x − xA )2 + (y − yA )2 = r2 Démonstration : utilisation de la formule des normes. Exemple 4 − → − → Dans un repère orthonormé O, ı , , déterminer l’équation du cercle de centre Ω(3; 2) et de rayon 4. II. 1. Calculs de longueurs et d’angles Théorème de la médiane Proposition 4 A et B sont deux points et I est le milieu de [AB]. Pour tout point M, 1 M A2 + M B 2 = 2M I 2 + AB 2 2 M b A I B Démonstration : −−→ −−→ M A2 + M B 2 = M A 2 + M B 2 −−→ − → −−→ −→ = (M I + IA)2 + (M I + IB)2 −−→ −→ −→ −−→ → → − −−→ − −−→ = M I 2 + 2M I.IA + IA2 + M I 2 + 2M I.IB + IB 2 −−→ − → −→ = 2M I 2 + IA2 + IB 2 + 2M I.(IA + IB) Or, comme I est le mileiu de [AB], IA = IB = AB − → −→ − → et IA + IB = 0 . D’où 2 AB 2 AB 2 + +0 4 4 1 = 2M I 2 + AB 2 2 M A2 + M B 2 = 2M I 2 + M A2 + M B 2 Exemple 5 ABCD est un parallélogramme de centre I. On sait que AB=7, AD=5, et BD=8. Calculer la longueur de la diagonale [AC]. 2. Relations métriques dans un triangle Activité d’hyperbole pour intrduire cette partie C Théorème 2 (AL-Kashi) Soit ABC un triangle avec AB=c, BC=a et CA=b. On a les relations ci-dessous : b 1. a2 = b2 + c2 − 2bc cos(A). b 2. b2 = a2 + c2 − 2ac cos(B). b 3. c2 = a2 + b2 − 2ab cos(C). 1ere S2 b A 2 b A b C a c b B B 2008-2009 CH9 - Applications du produit scalaire. Démonstration : −−→ −→ −−→ −→ a2 = BC 2 = (BA + AC)2 = BA2 + 2BA.AC + AC 2 . −−→ −→ b = −BA × AC × cos(A) b + simple avec Or, BA.AC = BA × AC × cos(π − A) −−→ −→ −−→ −→ BA.AC = −AB.AC. D’où b a2 = c2 + b2 − 2bc cos(A) Même principe pour les autres. Proposition 5 (Aire d’un triangle) Dans un traingle ABC avec les mêmes notations que précédemment. On note S son aire : S= 1 1 1 b = ac sin(B) b = ab sin(C) b bc sin(A) 2 2 2 Démonstration : Distinguer les cas de l’angle obtu ou aigü et utiliser le projeté orthogonal. Propriété 1 (Propriété des sinus) Dans un triangle ABC, a b sin(A) = b b sin(B) = Exemple 6 ABC est un triangle tel que AB=5, BC=11, et CA=7. c b sin(C) 1. Déterminer les angles de ABC. 2. Calculer la valeur excte de l’aire S du triangle ABC. III. Trigonométrie : formules d’addition et de duplication. 1. Formules d’addition Propriété 2 Pour tous réels a et b, cos(a − b) = cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b) (1) cos(a + b) = cos(a) cos(b) − sin(a) sin(b) (2) sin(a − b) = sin(a) cos(b) − sin(b) cos(a) (3) sin(a + b) = sin(a) cos(b) + sin(b) cos(a) (4) (5) Démonstration : − → − → 1. Dans un repère orthonormé O, ı , , A et B sont des points du cercle trigonométrique de centre O tels que − → −→ − → −−→ ( i , OA) = a et ( i , OB) = b faire un cercle trigo −−→ −→ −−→ −→ OB.OA = OB × OA × cos(OB, OA). Or OB=OA=1 car A et B sont deux points du cercle trigonométriques. De plus, −−→ − −−→ −→ → − → −→ (OB, OA) = (OB, i ) + ( i , OA) = a − b −−→ −→ On a alors : OB.OA = cos(a − b). Les coordonnées de A sont (cos(a); sin(a)) et celles de B (cos(b); sin(b)). On a alors : −−→ −→ OB.OA = cos(b) cos(a) + sin(b) sin(a) Donc cos(a − b) = cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b) 1ere S2 3 2008-2009 CH9 - Applications du produit scalaire. 2. On remplace b par −b dans la formule précédente. ! ! ! π π 3. sin(a − b) = cos − (a − b) = cos − a + b) . D’où : 2 2 sin(a − b) = cos = cos ! ! π − a + b) 2 ! ! π π − a cos(b) − sin( − a sin(b) 2 2 = sin(a) cos(b) − cos(a) sin(b) 4. On remplace b par −b dans l’égalité précédente. Exemple 7 π π π = + , déterminer la valeur exacte de cos En remarquant que 12 6 4 2. ! π et de sin 12 ! π . 12 Formules de duplications Propriété 3 Pour tout réel a, cos(2a) = cos2 (a) − sin2 (a) = 2 cos2 (a) − 1 = 1 − 2 sin2 (a) (6) sin(2a) = 2 cos(a) sin(a) (7) Exemple 8 Calculer la valeur exacte de cos 1ere S2 π 8 ! 4 2008-2009