Devoir maison Partie A : Etude d`une fonction à rendre le

Devoir maison
Partie A : Etude d’une fonction
à rendre le …/…/…
[AD] est un segment de longueur 10 cm. La demi-droite [Ay) est telle que DAy = 60°. Le point B appartient
à la demi-droite [Ay). On note AB = x, exprimée en cm. Le point C est sur la demi-droite [By) à 6 cm de B.
La parallèle à (CD) passant par B coupe le segment [AD] en un point appelé E.
1. Etude d’un cas particulier : dans toute la question 1, on suppose que x = 4 cm.
a. Construire une figure en vraie grandeur.
b. Grâce aux propriétés des angles justifier que le triangle ADC est équilatéral.
c. Grâce aux angles correspondants, démontrer que le triangle ABE est aussi équilatéral.
2. Cas général : dans cette question on suppose inconnue la distance x.
10x
Faire un schéma de la situation puis démontrer que, en cm, AE =
.
6+x
10x
3. On va étudier dans cette question la fonction f définie par la formule f (x) =
.
6+x
a. A l’aide de la calculatrice, établir le tableau des images de f pour les nombres compris entre 0 et
6 avec un pas de 0,5.
b. Construire la courbe de f entre 0 et 6, dans un repère orthonormé d’unité graphique 2 cm.
c. Par lecture graphique, déterminer l’antécédent de 1.
d. En se ramenant à une équation du premier degré, déterminer la valeur exacte de cet antécédent.
Partie B : Démonstration de quelques formules de trigonométrie
à rendre le …/…/…
Exercice 1 : Formule principale entre le cosinus et le sinus.
1. A l’aide de la calculatrice, calculer la somme (cos 53°)2 + (sin 53°)2.
2. Refaire le même type de calcul avec une autre mesure d’angle aigu. Que peut-on conjecturer ?
3. Démonstration : ABC est un triangle rectangle en A tel que BC = 1 ; on note x la mesure de l’angle
aigu ABC. En justifiant chaque étape, simplifier la somme (cos x)2 + (sin x)2.
Exercice 2 : Formule de la tangente.
sin 53°
avec tan 53°.
cos 53°
2. Refaire une comparaison avec une autre mesure d’angle aigu. Que peut-on conjecturer ?
1. Démonstration : ABC est un triangle rectangle en A. On note x = ABC.
sin x
A l’aide des lettres de la figure, simplifier la différence
– tan x. Conclure.
cos x
1. A l’aide de la calculatrice, comparer
Exercice 3 : Quelques valeurs exactes.
1. EFG est un triangle rectangle et isocèle en E.
a. A l’aide des lettres de la figure, justifier que cos (45°) = sin (45°) (calculer la différence).
2
b. Utiliser la formule de l’exercice 1 pour en déduire que cos (45°) =
.
2
2. JKL est un triangle équilatéral. H est le milieu de [JK].
a. Déterminer la mesure de chaque angle du triangle HKL (justifier).
b. En déduire la valeur exacte en fraction de cos (60°) et de sin (30°).
3
c. Utiliser la formule de l’exercice 1 pour en déduire que cos (30°) = sin (60°) =
.
2
Exercice 4 : Quelques applications des exercices précédents.
Toutes les questions sont indépendantes. On pourra utiliser les résultats des 3 exercices précédents.
1. Démontrer que, pour toute mesure x d’angle aigu, on a (cos x + sin x)2 + (cos x – sin x)2 = 2.
2. On suppose que x est la mesure d’un angle aigu telle que cos (x) = 3/5. Sans calculer la mesure de x,
déterminer la valeur exacte de sin (x).
3. Calculer, en détaillant les étapes, les valeurs exactes de tan (30°), tan (45°) et tan (60°).