Relations trigonométriques dans les triangles rectangles On ne

Relations trigonométriques dans les triangles rectangles
On ne considère dans ce chapitre que des triangles rectangles.
Côté adjacent à 
ABC
Hypoténuse
Côté opposé à 
ABC
La notion de côté opposé et de côté adjacent dépend de l'angle considéré, contrairement à l'hypoténuse
d'un triangle rectangle.
1- Cosinus d'un angle aigu
Adjacent
Définition :
cos 
ABC =
AB
BC
Hypoténuse
Remarque :
cos 
ACB=
AC
BC
Exemple 1
Le triangle EFG est rectangle en G.
cos 
GEF =
EG
EF
cos 
GEF =
7
9
A la calculatrice, on en déduit une valeur approchée
de la mesure de l'angle : 
EFG≈38,9 °
2- Sinus d'un angle aigu
Opposé
Définition :
sin 
ABC =
AC
BC
Hypoténuse
Remarques :
Exemple 2
AB
BC

sin ACB=cos 
ABC
sin 
ACB=
Le triangle MAD est rectangle en A.
sin 
MDA=
MA
MD
sin 
MDA=
5
13
A la calculatrice, on en déduit une valeur approchée
de la mesure de l'angle : 
MDA≈22,6 °
3- Tangente d'un angle aigu
Opposé
Définition :
tan 
ABC =
AC
AB
Adjacent

sin ABC
ABC=
Remarques : ● tan 
cos 
ABC
AC

sin ABC BC AC BC AC
=
=
×
=
=tan 
ABC
Démonstration :
cos 
ABC AB BC AB AB
BC
● tan 90° n'existe pas !
Exemple 3
Le triangle HNB est rectangle en N.
tan
HBN=
NH
NB
tan 
HBN =
2
9
A la calculatrice, on en déduit une valeur approchée
de la mesure de l'angle : 
HBN ≈12,5 °
Moyen mnémotechnique pour se souvenir de ces formules :
Sinus
Opposé
Hypoténuse
Cosinus
Adjacent
Hypoténuse
Tangente
Opposé
Adjacent
Exemple 4 : calcul de la longueur du côté d'un triangle
C
7 cm
32°
A
B
Je sais que le triangle ABC est rectangle en A.
tan 
ABC =
AC
AB
AB mesure environ 11,2 cm.
tan 32 ° 7
=
1
AB
AB=
7×1
tan 32 °
AB≈11,2
4- Propriété fondamentale
2
2
Quel que soit l'angle x, on a :
 cos x   sin x  = 1
Ce qui s'écrit aussi :
cos 2 x  sin 2 x = 1
Démonstration :
Je sais que le triangle ABC est rectangle en A.
cos 
ABC=
BA
BC
sin 
ABC=
C
AC
BC
2
2
  
2
2
BA
AC
BA 2 AC 2 BA2 AC 2
7cm
ABC  sin 
ABC  =
=

=
 cos 
BC
BC
BC 2 BC 2
BC 2
Or, d'après le théorème de Pythagore, on a :
2
2
BA32°
AC =BC
2
2
BC2
ABC  sin 
ABC  =
=1
On en déduit que :  cos 
BC2
2
A
B
D'où la formule.
Remarques : ● Dans un triangle rectangle (angle x aigu), on a toujours :
0 ≤ cos x ≤ 1
0 ≤ sin x ≤ 1
0 ≤ tan x
● Le cosinus, le sinus et la tangente d'un angle sont des nombres sans unité.
● Ces formules permettent soit de calculer la mesure d'un angle, soit de calculer la
longueur d'un segment.
● A chaque valeur d'angle aigu correspond une seule valeur du cosinus, du sinus et de la
tangente et réciproquement.