Les racines carrées : N 11 I. Définition : Définition : Soit a désigne un nombre positif La racine carrée du nombre a est le nombre positif noté dont le carré est égal à a. On note : La racine carrée du nombre a : Ainsi : a 0 Attention ! ! ! et a ( a )² a LA RACINE CARREE D’UN NOMBRE NEGATIF N’EXISTE PAS ! Exemples : a) 16= 4 car 4² = 16 d) -4 n’existe pas ! b) 144 = 12 c) 0=0 car 0² = 0 car – 4 est un nombre négatif ! ! ! Propriété : Soit a désigne un nombre positif , on a : Exemples : a) 3² = 3 car 12² = 144 b) ( 2,4)² = 2,4 a² = a 5 5 )² = 2 2 c) ( d) 1 ( )² = 2 1/2 Définition : On appelle carré parfait un entier positif dont la racine carrée est un entier. Ils sont à connaître : 1 x 0 0 x 1 Autre Exemple : 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 196 225 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 40 000 est un carré parfait car 11 13 14 15 40 000 = 200 Exercices rédigés : 2 3 1°) Donner l’écriture la plus simple possible du nombre : ( )² 3 2 3 2² ( 3)² ( )² = * on applique les propriétés de calcul sur les puissances. 3 3² 43 = * on effectue les calculs : 2² = 4 ( 3)² = 3 et 3² = 9 9 4 = * on simplifie 3 2°) Développer l’expression : 2 (3 2 – 4) 2(3 2–4)=3 2 2–4 2 * on applique k(a – b) = ka – kb =32–4 =6–4 2 II. 2 * car : 2 2 = ( 2)² = 2 Propriétés: Propriétés : Soient a et b désignent des nombres positifs, et b 0 , a a On a a b= ab et = b b Attention !!! : Il n’y a aucune propriété générale pour la somme et la différence ! Exercices rédigés : 1°) Ecrire 72 sous la forme a b, avec a et b entiers et b le plus petit possible. 72 = 2 36 = 4 28 = 8 9 = 3 24 → on repère les carrés parfaits parmi ces produits : il y a 36, 4, et 9. 72 = 2 36 = 2 36 = 2 6 = 6 2 → On choisit le plus grand : 36 Remarque : si on avait choisi 9, on aurait : 72 = 89= 8 9= 83=3 8. Cette écriture est bien de la forme a b mais ici b n’est pas le plus petit possible ! 2°) simplifier l’écriture de l’expression 5 18 – 7 8 – 3 2. 5 18 – 7 8 – 3 2 tout d’abord : 18 = 9 2 = 9 2 = 3 2 = 53 2 – 72 2 – 3 2 et 8 = 4 2 = 4 2 = 2 2 = 15 2 – 7 2 – 3 2 = (15 – 7 – 3 ) 2 =-2 2 3°) Développer l’expression 3(5 2 - 3). Ecrire le résultat sous la forme la plus simple possible. 3(5 2- 3)=5 3 2- 3 3 car 2 3 = 2 3 = 6 et 3 3= ( 3)² = 3 =5 6–3 4°) B= B= B= B= B= B= B= Développer puis réduire : ( 2 + 3)(1 - 2) + 5 2 E = (2 3 + 1)² ( 2 + 3)(1 - 2) + 5 2 E = (2 3)² + 22 3 1 + 1² [ 21 + 2(- 2) + 31 + 3(- 2)] + 5 2 E = 4( 3)² + 4 3 + 1 [ 2 – 2 + 3 - 3 2] + 5 2 E = 43 + 4 3 + 1 [ -2 + 3 + 2 - 3 2] + 5 2 E = 12 + 4 3 + 1 1–2 2+5 2 E = 13 + 4 3 1+3 2 7 5°) Ecrire le quotient sans radical au dénominateur. 5 7 7 5 7 5 = = = 1,4 5 5 5 5 5 III. Equations du type x² = a : Propriété : a étant un nombre positif donné. L’équation x² = a admet exactement 2 solutions : racine carrée de a. a , la racine carrée de a, et - Remarques : 0 est l’unique solution de l’équation x² = 0. Si a est négatif, l’équation x² = a n’admet aucune solution !!! Exemples : L’équation x² = 9 a pour solutions : 3 et - 3 L’équation t² = L’équation x² = 5 a pour solutions : 5 et - 5 L’équation x² = - 1 n’admet AUCUNE solution ! 3 a pour solutions : 4 3 3 = et 4 2 3 3 = 4 2 a , l’opposé de la