Correction du devoir sur les situations de conjectures no
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Correction du devoir sur les situations de conjectures no 1. n étant un nombre entier... a. n + 1 b. n - 1 c. 2n d. 2n + 1 e. 2(n + 1) f. 5n + (5n + 5) g. 4 possibilités : i. 2n + 1 et 2n + 11 ii. 2n - 1 et 2n + 9 iii. 2n + 1 et 2n - 9 iv. 2n - 1 et 2n - 11 h. n2 - 1 i. 2n • 3 = 6n (c’est donc un multiple de 6!) j. 5(2n + 1) = 10n + 5 (c’est donc un nombre qui finit par 5) no 2. Si la variable n représente un nombre entier et que les variables a, b, c et d représentent des chiffres entiers positifs... a. 6n, 6n + 6, 6n + 12 b. 100a + 10b + c (c’est important de choisir des variables qui ne représentent que des chiffres de 0 à 9) c. 2n + (2n + 2) = 4n + 2 d. n(n + 1) = n2 + n No 3. Prouvez que ces affirmations sont vraies ou fausses. a. Affirmation 1) Contre-exem ples Si on relie trois sommets non consécutifs d’un hexagone régulier, on obtient un triangle équilatéral. on trace des hexagones réguliers et on en cherche un dont les som m ets non consécutifs définissent un triangle non équilatéral 2) dém onstration (si nécessaire) : on cherche les propriétés des polygones réguliers 1) les angles intérieurs de tout polygone régulier sont isom étriques 2) les côtés de tout polygone régulier sont isom étriques 3) m anipulation (si nécessaire) : on traduit la phrase jusqu’au verbe conjugué, pas au-delà il faut prouver que les trois diagonales en pointillé sont isom étriques... 1) les 3 triangles form és des côtés de l’hexagone et des diagonales en pointillé sont isocèles parce que form és de côtés de l’hexagone 2) ils sont égalem ent isom étriques parce qu’ils ont des côtés de m êm e longueur et des angles au som m et isom étriques (angles intérieurs de l’hexagone) 3) leurs bases (en pointillé) sont donc isom étriques 4) conclusion le triangle est équilatéral : Affirmation vraie! b. Affirmation La somme de 3 nombres entiers consécutifs est un multiple de 3. 1) Contre-exem ples 3 + 4 + 5 = 12 entiers positifs : oui, c’est un m ultiple de 3 -8 + -7 + -6 = -21 entiers négatifs : oui, c’est un m ultiple de 3 -1 + 0 + 1 = 0 entiers positifs et négatifs : oui, c’est un m ultiple de 3 2) expressions algébriques (si nécessaire) : on cherche les inconnues qui représentent les nom bres prem ier nom bre entier (il peut être négatif, donc on utilise n) : n 2 e nom bre : n + 1 3 e nom bre : n + 2 3) m anipulation (si nécessaire) : on traduit la phrase jusqu’au verbe conjugué, pas au-delà 4) conclusion Som m e des 3 : n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3 = 3(n + 1) Conclusion : oui, quelle que soit la valeur de n, le fait que l’expression algébrique soit m ultipliée par 3 nous garantit un m ultiple de 3. Affirmation vraie! c. Affirmation La somme de 4 nombres entiers consécutifs est un multiple de 4. 1) Contre-exem ples 5 + 6 + 7 + 8 = 26 2) expressions algébriques (si nécessaire) : on cherche les inconnues qui représentent les nom bres pas nécessaire... du prem ier coup, j’ai trouvé un contreexem ple! 3) m anipulation (si nécessaire) : on traduit la phrase jusqu’au verbe conjugué, pas au-delà 4) conclusion Voilà! C’est term iné : Affirmation fausse! d) Affirmation 1) Contre-exem ples 2) expressions algébriques (si nécessaire) : on cherche les inconnues qui représentent les nom bres 3) m anipulation (si nécessaire) : on traduit la phrase jusqu’au verbe conjugué, pas au-delà 4) conclusion Le carré d’un nombre pair est toujours divisible par 4. (4)2 = 16 (-6)2 = 36 (0)2 = 0 entier positif pair : oui, c’est divisible par 4 entier négatif pair : oui, c’est divisible par 4 oui, c’est divisible par 4 aussi... Nom bre pair : 2n carré de ce nom bre : (2n) 2 NB : Vous avez pensé aux parenthèses, n’est-ce pas? Réduisons : (2n)2 = 2n C 2n = 4n 2 Conclusion : oui, quelle que soit la valeur de n, le fait que l’expression algébrique soit m ultipliée par 4 nous garantit un m ultiple de 4 (un m ultiple de 4 est par définition divisible par 4). Affirmation vraie! e) Affirmation 1) Contre-exem ples Si un nombre est un multiple de 5, alors il se termine par 0. 25 est un m ultiple de 5 et il ne term ine pas par 0 2) expressions algébriques (si nécessaire) : on cherche les inconnues qui représentent les nom bres 3) m anipulation (si nécessaire) : on traduit la phrase jusqu’au verbe conjugué, pas au-delà 4) conclusion Affirmation fausse! f) Affirmation Si l’on additionne un multiple de 5 et le nombre entier qui le suit, alors le résultat donne un nombre qui finit par 1. 1) Contre-exem ples C’est dom m age : j’aurais dû préciser qu’il s’agissait de nom bres entiers positifs... -55 + -54 = - 109 2) expressions algébriques (si nécessaire) : on cherche les inconnues qui représentent les nom bres 3) m anipulation (si nécessaire) : on traduit la phrase jusqu’au verbe conjugué, pas au-delà 4) conclusion affirmation fausse! g) Affirmation 1) Contre-exem ples La somme d’un multiple de 3 et d’un multiple de 2 est un multiple de 5. 9 + 2 = 11 2) expressions algébriques (si nécessaire) : on cherche les inconnues qui représentent les nom bres 3) m anipulation (si nécessaire) : on traduit la phrase jusqu’au verbe conjugué, pas au-delà 4) conclusion affirmation fausse! h) Affirmation 1) Contre-exem ples 2) expressions algébriques (si nécessaire) : on cherche les inconnues qui représentent les nom bres 3) m anipulation (si nécessaire) : on traduit la phrase jusqu’au verbe conjugué, pas au-delà 4) conclusion La différence entre un multiple de 6 et un multiple de 3 est un multiple de 3. 18 - 3 = 15 m ultiple de 3 6 - 12 = -6 m ultiple de 3 54 - -9 = 63 m ultiple de 3 m ultiple de 6 : 6n Multiple de 3 : 3x (je prends 2 variables différentes pour m ’assurer de la plus grande variété de m ultiples possible) 6n - 3x = 3(2n - x) Quelle que soit la valeur obtenue dans la parenthèse, le fait qu’elle soit m ultipliée par 3 nous garantit un... m ultiple de 3! affirmation vraie! i) Affirmation 1) Contre-exem ples La différence entre un multiple de 6 et un multiple de 2 est un multiple de 4. 6-2=4 18 - 16 = 2 oui, c’est un m ultiple de 4 non, ce n’est pas un m ultiple de 4! 2) expressions algébriques (si nécessaire) : on cherche les inconnues qui représentent les nom bres 3) m anipulation (si nécessaire) : on traduit la phrase jusqu’au verbe conjugué, pas au-delà 4) conclusion Affirmation fausse! j) Affirmation 1) Contre-exem ples 2) expressions algébriques (si nécessaire) : on cherche les inconnues qui représentent les nom bres 3) m anipulation (si nécessaire) : on traduit la phrase jusqu’au verbe conjugué, pas au-delà 4) conclusion Le produit d’un multiple de 3 et d’un multiple de 4 est un multiple de 12. 3 C 8 = 24 6 C 12 = 72 -9 C 8 = -72 oui, c’est un m ultiple de 12 oui, c’est un m ultiple de 12 oui, c’est un m ultiple de 12 3a C 4b = 12ab Quelles que soient les valeurs de a et b, le fait que le m onôm e soit m ultiplié par 12 nous garantit un m ultiple de 12. Affirmation vraie! Défi. Affirmation 1) Contre-exem ples 2) expressions algébriques (si nécessaire) : on cherche les inconnues qui représentent les nom bres 3) m anipulation (si nécessaire) : on traduit la phrase jusqu’au verbe conjugué, pas au-delà 4) conclusion Lorsque j’additionne deux nombres entiers qui ont une différence de 2, j’obtiens le double du nombre qui se situe entre ces deux nombres. 3+5=8=2•4 32 + 34 = 66 = 2 • 33 11 + 13 = 24 = 2 • 12 -7 + -5 = -12 = 2 • -6 1 er nom bre entier : n 2e nom bre entier : n + 2 (une différence de 2 signifie qu’on fait des bonds de 2) le nom bre entre les deux : n + 1 n + (n + 2) = 2n + 2 = 2(n + 1) Or, 2(n + 1) se traduit par «le double du nom bre après n (celui entre n et n + 2), donc affirmation vraie!
