Correction du devoir sur les situations de conjectures 1

Correction du devoir sur les situations de conjectures 1
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no 1. Un nombre naturel étant un nombre entier positif...
a. premier multiple de 4 : 4n
2e multiple :
4n + 4
e
3 multiple :
4n + 8
b. nombre naturel à 4 chiffres (il faut tenir compte de la position de chaque
chiffre, milliers, centaines, dizaines, etc.) :
1000a + 100b + 10c + d
La raison pour laquelle a ne peut pas être égal à 0 est que si a=0, le nombre n’a plus
que 3 chiffres...
c. Deux nombres pairs consécutifs
premier nombre pair :
2n (n peut être négatif)
2e nombre :
2n + 2
somme : 2n + 2n + 2 = 4n + 2
d. Le produit de 2 nombres entiers consécutifs
premier nombre entier (il peut être négatif, donc on utilise n) : n
2e nombre : n + 1
produit de ces 2 nombres : n(n + 1) = n2 + n
no 2.On essaie avec des exemples en tentant de trouver un contre-exemple; si on n’en
trouve pas et que l’affirmation semble vraie, on exprime les nombres avec des
expressions algébriques, et on teste l’affirmation...
a. Exemples :
3 + 4 + 5 = 12
entiers positifs : oui, c’est un multiple de 3
-8 + -7 + -6 = -21 entiers négatifs : oui, c’est un multiple de 3
-1 + 0 + 1 = 0
entiers positifs et négatifs : oui, c’est un multiple de 3
Cela semble vrai. Allons-y algébriquement!
premier nombre entier (il peut être négatif, donc on utilise n) : n
2e nombre : n + 1
3e nombre : n + 2
Somme des 3 : n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3 = 3(n + 1)
Conclusion : oui, quelle que soit la valeur de n, le fait que l’expression algébrique soit
multipliée par 3 nous garantit un multiple de 3.
Affirmation vraie!
b. Exemples :
5 + 6 + 7 + 8 = 26 du premier coup, j’ai trouvé un contre-exemple!
Voilà! C’est terminé : Affirmation fausse!
c. Exemples :
(4)2 = 16
entier positif pair : oui, c’est divisible par 4
(-6)2 = 36
entier négatif pair : oui, c’est divisible par 4
2
(0) = 0
oui, c’est divisible par 4 aussi...
Cela semble vrai. Allons-y algébriquement!
Nombre pair : 2n
carré de ce nombre : (2n)2
NB : Vous avez pensé aux parenthèses, n’estce pas?
Réduisons : (2n)2 = 2n C 2n = 4n2
Conclusion : oui, quoi que soit la valeur de n, le fait que l’expression algébrique
soit multipliée par 4 nous garantit un multiple de 4 (un multiple de 4 est par définition
divisible par 4).
Affirmation vraie!
d. Exemples :
25, 35, 55... c’est facile de trouver un contre-exemple : tous ces multiples de 5
finissent par 5 au lieu de 0...
Voilà! C’est terminé : Affirmation fausse!
e. Exemples :
5 + 6 = 11
-25 + -24= -49
Affirmation fausse!
entiers positifs : oui, ça finit par 1
entiers négatifs : non, ça finit par 9
C’est dommage : l’auteur du manuel aurait dû préciser qu’il s’agissait de
nombres entiers positifs... Regardez :
25 + 26 = 51
oui, ça finit par 1
45 + 46 = 91
oui, ça finit par 1
105 + 106 = 211
oui, ça finit par 1
Cela semble vrai. Allons-y algébriquement!
Multiple de 5 positif : 5n
Nombre qui le suit : 5n + 1
Somme des deux : 5n + (5n + 1) = 10n + 1
L’expression algébrique nous indique que quelle que soit la valeur de n, 10n sera
un multiple de 10 donc un nombre qui finit par 0 (10, 20, 30, 40, 50, etc.); si l’on ajoute
1 à la dizaine, il en résulte un nombre qui finit... par 1!