DM2 corrigé 3eme 2016 - Collège FRANCOIS MITTERRAND
publicité
3ème Corrigé du Devoir n°2 5 points Exercice 1 : Des petites roues… Cet engrenage est composé de trois roues. a. Indiquer au-dessus des roues le sens de rotation de chacune des roues B et C. b. Au bout de combien de tours (pour chacune des roues) cet engrenage sera-t-il de nouveau, et pour la première fois, dans la même position ? a. Indiquer au-dessus des roues le sens de rotation de chacune des roues B et C. A tourne dans le sens horaire, B anti-horaire, C horaire. b. Au bout de combien de tours (pour chacune des roues) cet engrenage sera-t-il de nouveau, et pour la première fois, dans la même position ? Pour que l’engrenage soit dans la même position, il faut que chaque roue ait fait un nombre entiers de tours, donc A a tourné d’un nombre de dents multiple de 24 B a tourné d’un nombre de dents multiple de 16 C a tourné d’un nombre de dents multiple de 36 On cherche un multiple commun à 24, 16 et 36. Une méthode est de décomposer ces nombres en produit de facteurs premiers 24 = 3 × 8 24 = 3 × 24 = × 3 16 = 4 ×4 16 = Le plus petit multiple commun de 24, 16 et 36 est donc : 144 = 24 × 6 144 = 16 × 9 36 = 4 × 9 36 = 2²×3² ×3² = 16 × 9 = 144 144 = 36 × 4 Pour revenir dans la même position pour la première fois A aura fait 6 tours, B 9 tours et C 4 tours. On pouvait aussi chercher les multiples de 24, 16 et 36 « à la main » …..(cf copie d’élèves) Exercice 2 :Vrai ou faux ? 5 points 1. Si n désigne un nombre premier, répondre aux questions suivantes, en justifiant la réponse : a. 2n est-il un nombre premier ? b. n + 1 est-il un nombre premier ? c. n² est –il un nombre premier ? 2. La somme de deux nombres impairs est-elle paire ? Méthode : Pour vérifier une affirmation, on commence par la tester avec un ou plusieurs exemples. Si pour l’exemple pris, l’affirmation est fausse, on a trouvé un contre-exemple : on peut affirmer que l’affirmation n’est pas toujours vraie ! Si on veut affirmer qu’elle est toujours fausse, il faut le prouver. Si pour l’exemple pris, l’affirmation est vraie, on fait à nouveau un ou plusieurs tests. Si pour tous les tests, l’affirmation est vraie, on émet une conjecture : Il semble que ……. Puis on le prouve, on le démontre dans le cas général, en passant notamment par le calcul littéral. 1. Si n désigne un nombre premier, répondre aux questions suivantes, en justifiant la réponse : a. 2n est-il un nombre premier ? On commence par faire un essai : Si n= 5, alors 2n = 10 : 10 n’est pas un nombre premier ! Quelque soit n entier différent de 1(premier ou pas) , 2n n’est pas un nombre premier. 2n s’écrit de la forme 2×entier donc c’est un multiple de 2 donc il n’est pas premier. b. n + 1 est-il un nombre premier ? On commence par faire un essai : Si n = 2 alors n+1 = 3 : 3 est un nombre premier. On fait un autre essai : Si n = 3, alors n+1 = 4 : 4 n’est pas un nombre premier ! Si n= 5, alors n + 1 = 6 : 6 n’est pas un nombre premier. Dans les nombres premiers inférieurs à 100, les seuls nombres consécutifs sont 2 et 3 Conjecture, si n est premier, supérieur strictement à 2 alors n + 1 n’est pas premier. n et n + 1 sont des entiers consécutifs, donc l’un des 2 au moins est pair donc ils ne peuvent pas être tous les deux premiers. Si n premier différent de 2, n + 1 n’est pas premier. c. n² est –il un nombre premier ? On commence par faire un essai : Si n = 3, n² = 9. 9 n’est pas premier. Conjecture : si n est premier, alors n² n’est pas premier. n est premier donc n≠1. n² = n×n donc il a au moins 3 diviseurs : 1, n² et n donc n² n’est pas premier. Si n premier, n² n’est pas premier. 2. La somme de deux nombres impairs est-elle paire ? On commence par faire des essais : 5 + 7 = 12 pair 13 + 15 = 28 pair 11 + 27 = 38 pair Conjecture : Il semble que la somme de 2 nombres impairs est paire. La forme générale d’un nombre impair est 2n + 1 avec n entier. Prenons 2 nombres impairs : 2p + 1 et 2k + 1 où p et k sont deux nombres entiers. Calculons leur somme : 2p + 1 + 2k + 1 = 2p + 2k + 2 On peut factoriser l’expression par 2 : = 2( p + k + 1) Donc la somme est de la forme 2 × (un entier) donc le résultat est un nombre pair. Exercice 3 : Décompositions 5 points 1. Décomposer 420 et 252 en produit de facteurs premiers. 2. Simplifier 3. On donne 1 176 = 23× 3 ×7² a. Parmi les nombres suivants quels sont ceux qui divisent 1 176 ? 23×3 23×3² 23 ×7² 2×3 49 35 b. Donner la décomposition en produit de facteurs premiers de deux multiples de 1 176 ? 1. Décomposer 420 et 252 en produit de facteurs premiers. 420 = 42 ×10 = 6 ×7 ×5×2 = 2×3 ×7 ×5×2 = 2²×3 ×5 ×7 2. Simplifier = 252 = 2 × 126 = 2 × 2×63 = 2 × 2×7 × 9 = 2 × 2×7 ×3² = 2² ×3²×7 = = (on vérifie à la calculatrice ;-)) 3. On donne 1 176 = 23× 3 ×7² a. Parmi les nombres suivants quels sont ceux qui divisent 1 176 ? 23×3 23×3² 23 ×7² 2×3 49 35 1 176 = 23× 3 ×7² donc 23×3 divise 1 176 1 176 = 23× 3 ×7² n’est pas divisible par 23×3² (il manque un 3 dans la décomposition de 1 176) 1 176 = 23× 3 ×7² donc 23 ×7² divise 1 176 1 176 = 23× 3 ×7² = 2×2×2×3×7×7 donc 2×3 divise 1 176 1 176 = 23× 3 ×7² donc 49 = 7² divise 1 176 1 176 = 23× 3 ×7² n’est pas divisible par 35 = 5×7 (il manque un 5 dans la décomposition de 1 176) b. Donner la décomposition en produit de facteurs premiers de deux multiples de 1 176 ? 1 176 = 23× 3 ×7² donc ses multiples s’écrivent de la forme : 23× 3 ×7²×(un entier) de votre choix ! Exemples possibles : 23× 3 ×7²×11 ou 23× 3 ×7²×19 ou 23× 3² ×7² ou 24× 3 ×73 Exercice 4 : Une frise 4 points Sur une feuille A4 ( format paysage), 1. Reproduire le motif de base ci-dessous en prenant AC = CB = 3 cm. Attention le placer bien à gauche de la feuille… 2. Construire le symétrique du motif dans la symétrie d’axe (BC). Le symétrique de A sera appelé A’. 3. Construire le symétrique du dessin obtenu dans la symétrie de centre A’. L’image de A sera appelée A’’. 4. Faire glisser le dessin (entier) obtenu de A vers A’’. Des extraits de copies :
