Fiche d`exercices : récurrences élémentaires

Fiche d’exercices : récurrences élémentaires
Exercice 1)
1) Montrer que les propriétés suivantes sont héréditaires
a) Pour tout entier n, 34 n − 1 est un multiple de 5.
b) Pour tout entier n, 34 n + 1 est un multiple de 5.
c) Pour tout entier n, 10n + 1 est un multiple de 9.
d) Pour tout entier n, 10n − 1 est un multiple de 9.
2) Quelles sont, parmi les propriétés précédentes, celles qui sont vraies pour tout entier n ?
Exercice 2)
Montrer que pour tout entier n, n 3 − n est un multiple de 3.
Exercice 3)
Montrer que pour tout entier n :
n( n + 1)(2n + 1)
1) 12 + 22 + ... + n 2 =
6
2
n (n + 1) 2
2) 13 + 23 + ... + n 3 =
4
n(n + 1)(n + 2)
3) 1× 2 + 2 × 3 + ... + n(n + 1) =
6
Exercice 4)
On appelle U la suite définie par u0 = 0, un +1 = 3 + 2un . Montrer que pour tout n un ≥ 0 .
Exercice 5)
Pour chacune des suites suivantes, calculer ses premiers termes, puis conjecturez-en une
expression du treme général, et prouvez cette conjecture par récurrence.
a) u0 = 0, un +1 = un + n
u
b) u0 = 1, un +1 = n
1 + un
1
n +1
c) u1 = , un +1 =
un
3
3
Exercice 6
Montrer que, pour tout entier n ? 5, 2n + 1 < 2n . En déduire que n 2 < 2n .
Exercice 7
On définit une suite par un +1 = un + 15 . Montrer que si u0 ∈ [0;4] alors pour tout n :
un ∈ [0;5] , et que si u0 ∈ [5;10] alors pour tout n : un ∈ [4;10]