( )2 = a - Maths974

RACINES CARRÉES
306
Leçon 1
I. RACINE CARREE D’UN NOMBRE POSITIF
Activité 1 :
a. Définition :
Définition :
Soit a un nombre positif. Il existe un unique nombre positif dont le carré est égal à a ; ce nombre est
appelé racine carrée de a, et est noté
Vocabulaire : Le symbole
( 9)
2
Exemples :
=9
a . On retient que
( a)
2
=a .
est appelé radical et dans l’expression
( 5)
2
=5
(
a , a est appelé radicande.
3 = 3
4 4
2
1, 25 ) = 1, 25
2
Remarques :
Il existe un unique nombre positif dont le carré est égal à 9 : c’est 3. On a donc
Il existe un unique nombre positif dont le carré est égal à 2 ; on le note
seulement sous la forme
9 = 3 (nombre entier).
2 . Sa valeur exacte s’écrit
2 .(nombre irrationnel)
Les racines carrées égales à des nombres entiers sont associées à des carrés parfaits ;
Voici la liste des premiers carrés parfaits.
Carré
parfait
...... =
0
1
4
9
16
25
36
49
64
81
100
121
144
169
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Fiche exercices calculs simples + exercices 1 à 10 p.36 + 31, 34 p.37
b. Premières propriétés :
Trouver la bonne réponse. (La calculatrice est autorisée)
a
b
c
d
32
=9
=3
=-3
n’existe pas
32
=9
=3
= 3
2
n’existe pas
= 625
= 25
=5
n’existe pas
= 34 25
= 60
= 120
n’existe pas
=6 5
= 30
= 13, 4
n’existe pas
7+ 3
= 4, 3
= 10
Impossible de simplifier
7 2 +5 2
= 12 2
= 16, 9
Impossible de simplifier
= 7+7
= 9, 6
Impossible de simplifier
= 17 + 8 2
= 28, 3
Impossible de simplifier
( )
52
2
34 25
2 5 3
7 (1+ 7 )
(3 + 2 )(5 + 2 )
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RACINES CARRÉES
306
Leçon 2
En examinant les questions et leurs réponses exactes, on peut dire que :
Pour tout nombre a,
a2 = …
si a est positif.
On peut multiplier deux racines carrées d’un même nombre.
On peut réduire un calcul avec des racines carrées d’un même nombre.
On peut développer un calcul avec des racines carrées d’un même nombre.
3 = .......
4 2
9 =9
5 =5
2
Exemples :
2
1, 25 = ......
2
Réduire : 10 6 15 6 + 4 6 = 1 6 = 6
et
3 +12 3 + 2 4 3 =
7 (1+ 7 ) = 7 1+ 7 7 = 7 + 7
Développer :
et
5 (2 5 3) =
Développer et réduire :
(3 + 2 )(5 + 2 ) = 35 + 3
et
(
2 + 2 5 + 2 2 = 15 + 3 2 + 5 2 + 2 = 17 + 8 2
7 3)( 7 + 4 ) =
Exercices 19, 20 p.36 et 28, 29 p.37
II. REGLE DE CALCULS
Activité 2
Pour tous nombres positifs a et b :
a b = ab
Si b 0,
a
=
b
a
b
La racine carrée d’un produit est égale au produit des racines carrées.
La racine carrée d’un quotient est égale au quotient des racines carrées.
3 12 = .............. = ......... = .....
Exemples :
ATTENTION :
a + b a + b En effet :
9 + 16 = ..... et
75
......
=
= ....... = .....
......
3
9 +16 = ..... = .....
Application type : Ecrire sous la forme a b avec b nombre entier le plus petit possible.
Méthode :
Compléter :
20 = 4 5 faire apparaître sous le radical un « carré » = 2 2 5 = 2 2 5 = 2 5
12 = ....… 3 = …
;
700 = …
Exercices 14 à 18 p.36 + Fiche entraînement + 47, 48, 52, 59 p.38 + 38 p.37 + 66, 68 p.39 + 62, 63, 64 p.61
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RACINES CARRÉES
306
III. EQUATION x 2 = a
Activité 3
a. Propriété :
. Si a > 0, alors l’équation x = a admet deux solutions :
. L’équation x = 0 admet une seule solution x = 0.
. Si a < 0, alors l’équation x = a n’a pas de solution.
2
a et a
2
2
Exemple : L’équation x = 3 a donc deux solutions
2
3 et 3 car on a 3 > 0.
b. Applications :
Résoudre : ( x + 2) = 25
2
(25 > 0 donc il y a 2 solutions.)
x + 2 = 25 = 5 ou x + 2 = 25 = 5
x=3
ou
x = 7
S = {7 ; 3}
Résoudre : ( x 6 ) = 49
2
(49 > 0 donc il y a 2 solutions.)
Exercices 12, 13 p.36 + 40 p.38 + 52 p.80
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Leçon 3