Trigonométrie (cours 3ème) - Epsilon 2000

3ème
Chapitre 10 - Trigonométrie
TRIGONOMETRIE
définitions
Si ABC est un triangle rectangle en C, on définit :
•
le cosinus de l'angle BAC , noté
cos( BAC ) , le quotient :
B
ɵ adjacent à BAC
AC coté
cos( BAC ) =
=
;
AB
hypoténuse
hypoténuse
•
le sinus de l'angle BAC , noté
sin( BAC ) , le quotient :
ɵ opposé à BAC
BC coté
sin( BAC ) =
=
;
AB
hypoténuse
•
côté opposé à l'angle A
A
la tangente de l'angle BAC , noté
tan( BAC ) , le quotient :
tan( BAC ) =
C
côté adjacent à l'angle A
ɵ opposé à BAC
BC
coté
=
;
ɵ adjacent à BAC
AC coté
exemple
C
ABC est un triangle rectangle en B tel que
AB = 5 cm et BAC = 33° .
Calculer BCA , BC et AC (on arrondira les
longueurs au dixième).
B
A
90 − 33 = 57 donc BCA = 57° .
AB
cos( BAC ) =
(car [AB] est le côté adjacent à l'angle BAC ).
AC
5
cos(33) =
AC
AC × cos (33) = 5
5
AC =
≈ 6 . [AC] mesure environ 6 cm.
cos (33)
BC
tan( BAC ) =
(car [BC] est le côté opposé à l'angle BAC et [AB] est le côté adjacent à l'angle
AB
BAC ).
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3ème
Chapitre 10 - Trigonométrie
BC
5
BC = 5 × tan (33) ≈ 3, 2 . [BC] mesure environ 3,2 cm.
tan (33) =
Autre exemple :
ABC est un triangle rectangle en C tel que AB = 7 cm et BC = 4 cm . Calculer la mesure des angles BAC
et ABC .
Dans le triangle ABC rectangle en C :
BC
sin( BAC ) =
AB
4
sin( BAC ) =
7
mes ( BAC ) = sin −1 (4 : 7) ≈ 35°
BC
cos( ABC ) =
AB
4
cos( ABC ) =
7
A
C
B
mes ( ABC ) = cos −1 (4 : 7) ≈ 55°
propriétés
Si x désigne la mesure d'un angle aigu, on a les relations suivantes :
( cos x ) + ( sin x )
2
tan x =
2
=1
sin x
.
cos x
Preuve
On se place dans un triangle ABC rectangle en B. Appelons x la mesure en degrés de l'angle BCA :
AB
BC
AB
, cos x =
et tan x =
.
AC
AC
BC
2
2
 AB   BC 
2
2
(sin x) + (cos x) = 
 +

 AC   AC 
sin x =
AB 2 + BC 2
AC 2
AC 2
car AB 2 + BC 2 = AC 2 d'après
=
2
AC
le théorème de Pythagore
=1
A
=
B
C
sin x AB AC AB
=
×
=
= tan x .
cos x AC BC BC
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