Corrigé des activités 1, 2, 3, 4, 5 et 6 pages 65-66-67

ACTIVITÉ 2 page 65
Corrigé des activités du Chapitre 7
PUISSANCES D'EXPOSANT ENTIER RELATIF
ACTIVITÉ 1 page 65
a- Echelle des puissances de 7 complétée
"Puissances d'exposant entier positif"
71 7
c- 7 = 7 : 7 = =
donc 7 0 = 1 .
7 7
0
0
1
×3
×3
2
×9
×3
3
×27
×3
4
×81
×3
5
×243
×3
6
×729
×3
7
×2187
×3
8
×6561
74
b- Lorsqu'on divise par 7, l'exposant d'une puissance de 7 subit
l'opération "-1".
Exemple : 7 3 : 7 = 73−1 = 7 2 .
Pour résoudre ce problème, il peut être judicieux de réaliser un tableau décrivant le
développement des bactéries à chaque heure de développement :
Heures
Multiplication
"Puissances d'exposant entier négatif"
b- 70 : 7 = 1 : 7 =
1
7
1 1 1
7 :7 = × = 2
7 7 7
−1
7 −2 : 7 =
1
7
n fois
L'écriture 31 correspond à 3 donc 31 = 3 .
1fois
7
1
7
2
×
d'où 7 −1 =
d'où 7
−2
=
1
72
0
:7
1
.
7
7
−1
:7
.
1 1 1 1
1
1
= × × =
d'où 7 −3 =
.
7 7 7 7 73
73
7
−2
:7
7
−3
:7
7
−4
Pour conclure : Si n désigne un nombre entier supérieur ou égal à 1, la notation 7 − n
1
représente la fraction n .
7
ACTIVITÉ 3 page 66
"Signe d'une puissance"
a- 24 = 2 × 2 × 2 × 2
25 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 .
Le nombre 3n est une puissance de 3 et le nombre n est appelé l'exposant.
3n se lit " 3 exposant n " ou " 3 puissance n ".
5 4 = 5×5×5×5 .
7
:7
2
La notation 3n représente 3
× 3
× ... ×3 .
:7
2
:7
a- Echelle des puissances de 7 complétée
Le tableau nous donne directement :
a- Au bout de 2 heures, le nombre initial de bactéries a été multiplié par 3×3 = 9.
b- Au bout de 5 heures, le nombre initial de bactéries a été multiplié par
3×3×3×3×3 = 243.
c- Au bout de 5 heures, le nombre initial de bactéries a été multiplié par
3×3×3×3×3×3×3×3 = 6561.
Pour conclure :
73
1
×3
a- Le produit 3×3 se note aussi 3 .
b- Le produit 3×3×3×3×3 se note aussi 35.
b- Le produit 3×3×3×3×3×3×3×3 se note aussi 38.
:7
b- La règle des signes pour un produit de nombres relatifs nous donne :
2 4 > 0 et 25 > 0 (que des facteurs positifs dans le produit).
a-
( −2 )
3
= ( −2 ) × ( −2 ) × ( −2 )
( −2 )
6
= ( −2 ) × ( −2 ) × ( −2 ) × ( −2 ) × ( −2 ) × ( −2 )
7
1, 4 = 1, 4 × 1, 4 × 1, 4 ×1, 4 ×1, 4 × 1, 4 × 1, 4 .
( −3, 2 )
6
( −2 )
= ( −2 ) × ( −2 ) × ( −2 ) .
3
= ( −3, 2 ) × ( −3, 2 ) × ( −3, 2 ) × ( −3, 2 ) × ( −3, 2 ) × ( −3, 2 ) .
Classe de 4° - Mathématiques - Collège Madame de Sévigné
b- La règle des signes pour un produit de nombres relatifs nous donne :
( −2 ) < 0
6
( −2 ) > 0
3
Page 1 sur 2
car il y a un nombre impair de facteurs négatifs (3 facteurs négatifs).
car il y a un nombre pair de facteurs négatifs (6 facteurs négatifs).
Corrigé des activités du Chapitre 7 "Puissances d'exposant entier relatif"
ACTIVITÉ 4 page 66
"Puissances de 10"
10−2 × 10−4 =
1 00
×
10 = 102
= 10
2 zéros
2 facteurs
1 00
×10
×
10 = 10
0 = 10
3
3facteurs
1 00000
×10
× 10
× 10 ×
10 = 105
= 10
5 zéros
10−1 =
10−4 =
5 facteurs
1
10−3 =
= 0 ,1
10
1zéro
1
1
10
4
1
10
3
1
=
4 facteurs
Pour conclure : n et p désignant deux nombres entiers relatifs, on a 10 n × 10p = 10 n + p .
2 facteurs
3 zéros
1
1
1
1
1
× 4 = 2
=
= 6 = 10−6
2
4
×
×10
× 10 ×
10
10 × 10
10 10
10 10
10 × 10
10 × 10 × 10 × 10
=
=
1
10 × 10 × 10
1
10000
=
1
1000
102
10 × 10
1
=
=
= 10−5
107 10 × 10 ×10 × 10 × 10 × 10 × 10 105
100
1
= −6 = 106
−6
10
10
= 0,
001
3 zéros
105 10 × 10 × 10 ×10 × 10
=
= 10 × 10 = 102
103
10 × 10 × 10
= 0,
0001 .
10−4
1
10 × 10 × 10
1
= 4 × 103 =
=
= 10−1
−3
10
10
10 × 10 × 10 × 10 10
4 zéros
Pour conclure : n et p désignant deux nombres entiers relatifs, on a
Pour conclure :
a.
Si n désigne un nombre entier positif alors :
Il y a n zéros dans l'écriture décimale de 10n
10n = 10
×
... ×
10 = 10...0
n fois
b.
Il y a n zéros dans l'écriture décimale de 10 − n
1
1
1
10− n = n =
=
= 0,
0...01
10
×
...
×
10
10...0
10
n zéros
a- 21, 65 × 10 = 21, 65 × 1000 = 21650 (virgule décalée de 3 rangs vers la droite)
105, 4 105, 4
105, 4 × 10−2 =
=
= 1,054 (virgule décalée de 2 rangs vers la gauche).
102
100
b- Multiplier 21,65 par 103 revient à déplacer la virgule de 3 rangs vers la droite.
−2
Multiplier 105,4 par 10 revient à déplacer la virgule de 2 rangs vers gauche.
"Opérations sur les puissances de 10"
10 × 102 = 10
×
10 = 103
× 10
1facteur
2 facteurs
5 facteurs
1
10 ×10 × 10
10−1 ×103 = 1 ×103 =
= 10 ×10 = 102
10
10
Classe de 4° - Mathématiques - Collège Madame de Sévigné
−2 2
= 10 −2 ×10 −2 =
)
3 −2
=
1
(10 )
3 2
1
10 × 10
2
2
=
1
10 × 10 × 10 × 10
=
1
10
4
= 10 −4
1
1
1
= 3
=
= 6 = 10−6
3
10 × 10 10 ×10 × 10 × 10 ×10 × 10 10
4
3
102 × 103 = 10
×
10 × 10
× 10
×
10 = 105
2 facteurs
3facteurs
(10 )
= 102 × 102 ×102 = 10 ×10 × 10 ×10 × 10 × 10 = 106
−4
4
4
 1 
(10−2 ) =  −2  = (102 ) = (10 × 10 ) = 10 × 10 × 10 ×10 × 10 × 10 ×10 × 10 = 108 .
10


n zéros
ACTIVITÉ 5 page 66
2 3
c. (10
n zéros
n fois
(10 )
10n
= 10n − p .
10p
3 facteurs
Pour conclure : n et p désignant deux nombres entiers relatifs, on a (10
ACTIVITÉ 6 page 67
)
n p
= 10n × p .
"Notation scientifique"
a. 452 ×10 1 = 4520 ; 452000 × 10 −2 = 4520 .
b. 4520 = 45200 × 10 −1 ; 4520 = 4520000 ×10 −3 .
c. 4520 = 4,52 × 103 c'est la notation scientifique (unique) de 4520.
a. Distance Mercure-Soleil :
0,39 ×149, 6 × 106 = 58,344 ×106 = 5,8344 × 101 × 106 = 5,8344 ×107 km ≈ 6 × 107 km.
Distance Jupiter-Soleil :
5, 2 × 149,6 × 106 = 777,92 × 106 = 7, 7792 × 102 ×106 = 7, 7792 ×108 km ≈ 8 × 108 km .
Distance Jupiter-Soleil :
30,1× 149, 6 ×106 = 4502,96 × 106 = 4,50296 × 103 ×106 = 4,50296 × 109 km ≈ 5 ×109 km.
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Corrigé des activités du Chapitre 7 "Puissances d'exposant entier relatif"