Loi Forte des Grands Nombres

Loi Forte des Grands Nombres
Théorème 1
Soit (Xn )n≥1 une suite de variables aléatoires de L1 , centrées, indépendantes et identiquement distribuées. Alors, en posant Sn = X1 + . . . + Xn ,
Sn
→ 0 p.s.
n
Preuve :
On sait que pour n'importe quelle suite (Yn )n≥1 de variables aléatoires, on a
Yn −→ 0 p.s.
Ainsi, la propriété
P
⇐⇒
Wn = sup |Xk | −→ 0
k≥n
Sn
→ 0 p.s. équivaut à l'énoncé :
n
¯ ¯
µ
¶
¯ Sn ¯
¯
¯
∀ε > 0, P sup ¯ ¯ > ε
−→ 0
n→+∞
k≥n n
'
$
Lemme 2
Pour tout n ≥ 1, tout ε > 0, on a :
¯ ¯
µ
¶ ° °
¯ Sn ¯
° Sn °
°
εP sup ¯¯ ¯¯ > ε ≤ °
°n°
k≥n n
1
Autrement dit, si
&
S n L1
Sn
→ 0, alors
→ 0 p.s.
n
n
%
Démontrons de manière équivalente que pour tout couple d'entiers (m, n) tel que 1 ≤ m ≤ n et tout
ε > 0, on a :
¯ ¯
¶ ° °
µ
° Sm °
¯ Sk ¯
¯
°
¯
εP
sup ¯ ¯ > ε ≤ °
°
°
n
m
m≤k≤n
1
¯ ¯
½
¾
¯ Sk ¯
Introduisons l'ensemble Tn = sup 1 ≤ k ≤ n , ¯¯ ¯¯ > ε (avec la convention que sup ∅ = −∞) et
k
¯ ¯
½
¾
¯ Sk ¯
posons A =
sup ¯¯ ¯¯ > ε . Alors
m≤k≤n k
X
X
A = {Tn ≥ m} =
{Tn = k}
et
εP (A) = ε
P (Tn = k)
m≤k≤n
m≤k≤n
Or, par dénition de Tn , on a, pour tout k tel que m ≤ k ≤ n, les relations
¯ ¯
Z
Z
Z
¯ Sk ¯
S
k
¯ ¯ dP =
dP +
εP (Tn = k) ≤
¯ ¯
{Tn =k , Sk /k>0} k
{T =k ,
{Tn =k} k
|
{z
} | n
B
1
−
Sk /k<0}
{z
C
Sk
dP
k
}
Calculons séparément B et C . D'abord
k
1X
B=
k j=1
Z
Xj dP
{Tn =k , Sk /k>0}
Or, puisque les Xn sont indépendantes et identiquement distribuées, toutes les intégrales du second
membre sont égales. Ce second membre est donc aussi égal à la moyenne arithmétique de k nombres
tous égaux à l'intégrale
Z
X1 dP
{Tn =k , Sk /k>0}
C'est donc aussi la moyenne arithmétique de m (m ≤ k ) nombres tous égaux à cette quantité. Par
conséquent,
Z
m Z
1 X
Sm
B=
dP
X1 dP =
m j=1 {Tn =k , Sk /k>0}
{Tn =k , Sk /k>0} m
On opère de manière analogue pour C et l'on obtient :
Z
C=
−
{Tn =k , Sk /k<0}
Finalement,
Sm
dP
m
¯ ¯
¯ Sm ¯
¯ ¯ dP
εP (Tn = k) ≤ B + C =
¯ ¯
{Tn =k} m
Z
d'où, en sommant sur k ,
εP (A) ≤
X Z
m≤k≤n
¯ ¯
µ¯ ¯¶ ° °
¯ ¯
¯ Sm ¯
° °
¯ ¯ dP ≤ E ¯ Sm ¯ = ° Sm °
¯m¯
¯ ¯
°m°
{Tn =k} m
1
Enn, en combinant le lemme à l'équivalence précédente, on peut utilisée la loi Faible des grands
nombres dans L1 pour arriver au résultat.
2