Connaissances Capacités Commentaires 12.10 Multiples et

En Italique : Points du programme non exigibles pour le socle.
En italique, précédé d’un astérisque : item exigible pour le socle dans une classe ultérieure.
Connaissances
2.2 Opérations
Division
Capacités
Commentaires
- Multiplier ou diviser un nombre par 10,
100, 1000.
La division décimale est limitée à la
division d’un décimal par un entier. En
calcul posé, le dividende comporte au
maximum deux chiffres après la virgule.
Multiples et
diviseurs
- Connaître et utiliser les critères de
divisibilité par 2, 5 et 10.
- Connaître et utiliser les critères de
divisibilité par 3, 4 et 9.
La notion de multiple, introduite à l'école
primaire, est rappelée sur des exemples
numériques, en même temps qu'est
introduite celle de diviseur. Les différentes
significations de ce dernier terme doivent
être explicitées.
Sens des
opérations.
- Choisir les opérations qui conviennent au
traitement de la situation étudiée.
Techniques
élémentaires de
calcul.
- Savoir effectuer ces opérations sous les
diverses formes de calcul : mental, à la
main ou instrumenté.
- Connaître la signification du vocabulaire
associé : dividende, diviseur, quotient,
reste.
Pour les problèmes à étapes, la solution
peut être donnée à l’aide d’une suite de
calculs,
*ou à l’aide de calculs avec parenthèses.
La capacité à savoir calculer
mentalement est une priorité et fait l’objet
d’activités régulières.
La maîtrise des différents moyens de
calcul doit devenir suffisante pour ne pas
faire obstacle à la résolution de
problèmes.
Concernant le calcul posé, les nombres
doivent rester de taille raisonnable et
aucune virtuosité technique n’est
recherchée.
12.10 Multiples et diviseurs
Progression
Nathan
=> Activité 1
Ex p 22 : 5
App 58+ : 59 60 - 63 - 64 - 65
1. DIVISION EUCLIDIENNE
=> Activité 2
2. MULTIPLES ET DIVISEURS
HACHETTE
Éducation 6è
Oral p 78 : 56
App p78 : 59
Ex p 23 : 2
3
App 58+ : 66 68 - 69 - (70)
Ex p 23 : 2 - 4
=> Activités 3, 4, 5
3. CRITÈRES DE DIVISIBILITÉ
Oral p 76 : 29 - 30
App p 78 : 60 - 61
Ex p 23 : 5 - 6
Ex p 23 : 5 - 6 7-8
App 59 : 72 x73 - 74
4. LA DIVISION DÉCIMALE
App 59 : 75 x76 - 80 - 82 x83 - 84 - x85 86
5. MULTIPLIER ET DIVISER
PAR 10, 100, 1000
App p 60 : 88
ACTIVITÉ 1
a) Entourer en rouge tous les nombres divisibles par 2.
Trois élèves ont écrits des phrases en utilisant la division suivante :
Elodie :
Vincent :
35 est un multiple de 5.
5 est un diviseur de 35.
3
5
5
0
7
Joséphine : 35 est divisible par 5.
Qui parmi ces élèves a raison ?
....................................................................................................................
ACTIVITÉ 2
a) Parmi les nombres entiers suivants, entourer les multiples de 6 :
12 ; 36 ; 45 ; 48 ; 54 ; 72
b) Écrire les diviseurs de 24 :
...............................................................................................................
ACTIVITÉ 3 : CRITÈRES DE DIVISIBILITÉ PAR 2 ; 5 ; 10
Remarque : un critère de divisibilité est une règle qui permet, sans
effectuer la division, de savoir si un nombre est divisible ou non par un
nombre donné.
Sur la grille, on a écrit la suite des nombres de 0 à 99.
Comment reconnaît-on qu’un nombre est divisible par 2 ?
...............................................................................................................
b) Entourer en bleu tous les nombres divisibles par 5.
Comment reconnaît-on qu’un nombre est divisible par 5 ?
...............................................................................................................
c) Entoure en vert tous les nombres divisibles par 10.
Comment reconnaît-on qu’un nombre est divisible par 10 ?
...............................................................................................................
ACTIVITÉ 4 : CRITÈRES DE DIVISIBILITÉ PAR 3 ; 9
Sur la grille ci-contre, on a écrit la suite des nombres de 0 à 99.
a) Entourer en rouge tous les nombres divisibles par 3.
b) Entourer en bleu tous les nombres divisibles par 9.
ACTIVITÉ 5 : CRITÈRES DE DIVISIBILITÉ PAR 4
1 Matthieu possède 317 billes qu’il veut partager en 4 paquets contenant
chacun le même nombre de billes. Il commence par partager 300 billes.
Combien met-il de billes dans chaque paquet ? ...........................................
......................................................................................................................
Combien reste-t-il de billes à partager ? ......................................................
Pourra-t-il répartir équitablement les billes restantes dans les 4 paquets ? ..
.......................................................................................................................
2 Si Matthieu avait possédé 320 billes, aurait-il pu les répartir
équitablement dans les 4 paquets ? .............................................................
Pourquoi ? ..............................................................................................
................................................................................................................
a) Même question si Matthieu avait possédé 304 billes : ..........................
...............................................................................................................
b) Même question si Matthieu avait possédé 309 billes : ..........................
...............................................................................................................
c) Même question si Matthieu avait possédé 340 billes : ..........................
...............................................................................................................
d) Même question si Matthieu avait possédé 328 billes : ..........................
...............................................................................................................
3 Comment peut-on savoir si un nombre est divisible par 4 sans effectuer
la division de ce nombre ? ............................................................................
.......................................................................................................................
CHAPITRE 12
CRITÈRES DE DIVISIBILITÉ
Symbole « : » Introduit en 1698 par l’allemand Gottfried Willhelm Leibniz,
un des plus grands génies qui aient existé. A la fois philosophe, théologien,
mathématicien, physicien, historien, Leibniz cultive et perfectionne presque
toutes les branches des connaissances humaines.
1. DIVISION EUCLIDIENNE
Exemple : calculer la division euclidienne de 63 par 4 :
dividende
reste
63
-4
23
-2 0
3
4
15
diviseur
quotient
Définition
Effectuer la division euclidienne du dividende 63 par le diviseur 4, c’est trouver un
quotient entier 15 et un reste entier 3.
Le reste doit toujours être inférieur au diviseur.
Remarque : on utilise la division euclidienne dans les cas où on ne pas fractionner (faire
des morceaux) de ce qui reste.
Propriété
Dans une division euclidienne, on a toujours :
dividende = (diviseur × quotient) + reste , avec le reste inférieur au diviseur
Exemple
D’après la division précédente, on a : 63 = (4 × 15) + 3 avec 3 < 4
12.10 Multiples et diviseurs - MATHÉMATIQUES 6èem
P. COULAUD
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2. MULTIPLES ET DIVISEURS
Définition
Le reste de la division euclidienne de 21 par 7 est égal à 0, alors on dit que :
- 21 est un multiple de 7
- 21 est divisible par 7
- 7 est un diviseur de 21
Exemple : 184 est-il divisible par 8 ?
184
8
Dans la division euclidienne de 184 par 8, on trouve 0 au reste ;
16
23
on peut donc dire que :
24
184 est divisible par 8
24
184 est un multiple de 8
0
8 est un diviseur de 184
3. CRITÈRES DE DIVISIBILITÉ
Propriétés
- un nombre entier est divisible par 2 s’il se termine par 0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8
- un nombre entier est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3
- un nombre entier est divisible par 4 si ses deux derniers chiffres forment un nombre
divisible par 4.
- un nombre entier est divisible par 5 s’il se termine par 0 ou 5
- un nombre entier est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9
- un nombre entier est divisible par 10 s’il se termine par 0
Exemples :
Nombre
divisible
120
558
par 2
par 3
par 4
par 5
X
X
X
X
X
X
7 215
X
82 548
X
12.10 Multiples et diviseurs - MATHÉMATIQUES 6èem
par 9
par 10
X
X
X
X
P. COULAUD
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4. LA DIVISION DÉCIMALE
4 5, 0 0 0
-40
8
5, 6 2 5
50
-48
20
-16
40
lorsqu’on franchit la
décimale(,) au dividende,
on la franchit aussi au
quotient
-40
0
Exemples
Poser 32,12 : 4
Poser 23 : 11
Remarque importante
La division par 0 est interdite !!!
12.10 Multiples et diviseurs - MATHÉMATIQUES 6èem
P. COULAUD
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DIVISION EUCLIDIENNE
PROBLÈME DE DIVISION EUCLIDIENNE
1 On effectue la division euclidienne de 63 par 9. De
combien peut-on augmenter le dividende sans changer le
quotient ?
7 Le CDI du collège a reçu 25 dictionnaires à 18€
l’unité et 20 atlas pour un montant total de 750 €. Quel
est le prix d’un atlas ?
2 Recopie et effectue chaque division euclidienne puis
écris l'égalité correspondante.
8 Dans un collège, 163 élèves sont inscrits à l’AS. Le
responsable veut acheter un maillot pour chacun des
inscrits. Les maillots vendus par lot de 14.
1 Combien de lots doit-il acheter ?
2 Combien de maillots restera-t-il ?
798
8
6594
9
4214
23
3 On effectue la division euclidienne d'un nombre par
5 ; on trouve 6 au quotient.
Quelles sont la plus grande valeur et la plus petite valeur
possible pour ce nombre ?
3 Le professeur d’EPS souhaite constituer des groupes
contenant le même nombre d’élèves dans une classe de
24 élèves.
Combien de groupes peut-il faire ?
Indiquer toutes les possibilités ?
4 Suite à un concours remporté par les élèves, le
« Club Sciences » a gagné un lot de 200 livres.
Les 9 élèves du club désirent se partager équitablement
ce lot. Les livres restants iront au CDI.
Combien de livres auront chacun de ces élèves ?
5 Compléter le tableau ci-dessous (40 p 87 Phare) :
Dividende
Diviseur
78
9
11
222
11
19
41
45
Quotient
entier
Reste
13
7
9
24
6 (41 p 87 Phare)
Le reste d’une division euclidienne est égal à 7, son
quotient est le double du reste et son diviseur est le triple
du reste.
Quel est le dividende de cette division ?
12.10 Multiples et diviseurs
P. COULAUD
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CRITÈRES DE DIVISIBILITÉ
4 Écrire tous les multiples de 15 entre 28 et 100
5 Écrire 3 diviseurs de 16
Nombre
divisible
6 Vrai ou faux ?
a)
b)
c)
d)
e)
f)
13 Compléter le tableau ci-dessous en mettant des
croix pour indiquer si le nombre est divisible par 2, par
3, par 4, par 5, par 9 ou par 10.
8 est divisible par 2 ?
4 est divisible par 8 ?
8 est un multiple de 2 ?
2 est un multiple de 8 ?
15 est un diviseur de 3 ?
3 est un diviseur de 15 ?
par
2
par
3
par
4
par
5
par
9
par
10
120
528
7 215
82 548
7 Vrai ou faux ?
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
8 est un diviseur de 72 ?
44 est un diviseur de 11 ?
5 est un diviseur de 395 ?
3 est un diviseur de 111 ?.
9 est un diviseur de 1 998 ?
12 est un diviseur de 12 ?
Tout nombre est divisible par lui-même ?
1 est un diviseur de tous les nombres ?
14 Compléter le tableau ci-dessous en mettant des
croix pour indiquer si le nombre est divisible par 2, par
3, par 4, par 5, par 9 ou par 10.
Nombre
divisible
567
a)
b)
c)
d)
e)
f)
23 547
b) 7 624 321
par
5
a) son chiffre des unités est 3,6 ou 9
b) Le produit de ses chiffres est divisible par 3.
c) La somme de ses chiffres est divisible par 3.
11 Réécrire chaque phrase en employant le mot «
multiple »
a) 15 est un diviseur de 45 :
b) 2 divise 28
c) 35 est divisible par 5
12 Réécrire chaque phrase en employant le mot
par
10
15 Compléter le tableau ci-dessous en mettant des
croix pour indiquer si le nombre est divisible par 2, par
3, par 4, par 5, par 9 ou par 10.
Nombre
divisible
par
2
par
3
par
4
par
5
par
9
par
10
265
940
18 306
104 202
16 Compléter le tableau ci-dessous en mettant des
croix pour indiquer si le nombre est divisible par 2, par
3, par 4, par 5, par 9 ou par 10.
Nombre
divisible
par
2
par
3
par
4
par
5
73 425
14 520
6 731
8 3646
12.10 Multiples et diviseurs
par
9
c) 56 890
10 Un nombre entier est divisible par 3 lorsque :
« diviseur »
a) 12 est divisible par 4
b) 132 est un multiple de 11
c) 7 divise 28
par
4
687 942
9 Quels sont les nombres entiers divisibles par 2 ?
a) 2223
par
3
138
8 Vrai ou faux ?
55 est divisible par 5
9 est un multiple de 27
60 est un diviseur de 5
12 a pour diviseur 4
39 est divisible par 9
42 est un multiple de 6
par
2
P. COULAUD
8/9
par
9
par
10
17 Compléter le tableau ci-dessous en indiquant dans
chaque case, les nombres que l’on peut obtenir en
remplaçant, si cela est possible, le symbole _ par un
chiffre pour que le nombre obtenu soit divisible par 2,
par 3, par 4, par 5, par 9, par 10.
par
2
par
3
par
4
par
5
par
9
22
par
10
31_
15_6
18 Quel doit être le chiffre des unités pour que le
nombre 48 ? soit divisible par 2 et par 3 en même
temps ? Trouver toutes les possibilités.
19 Quotient ou reste ?
a) 6 798 supporters d'un club de rugby doivent faire un
déplacement en car pour soutenir leur équipe.
Chaque car dispose de 55 places. Combien de cars
faut-il réserver ?
b) Des stylos sont conditionnés par boîte de 40. Marie a
2 647 stylos. Combien lui en manque-t-il pour avoir
des boîtes entièrement remplies ?
20 Diviser par 10, 100 et 1000
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
52  10
456  100
875  1000
314  100
20150  1000
33  100
5  10
67,89  1000
21 S4.11 - Diviser par 10, 100 et 1000
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
4 338  10
1 297  1 000
12,3  10
0,87  100
3,8  1 000
0,04  100
354  10
12,5  100
12.10 Multiples et diviseurs
P. COULAUD
9/9