am x an = am+n ; (am)n = a mn ; = am-n. Pour un autre nombre entier relatif b, nous avons aussi : (a x b)n=an x bn et si Exemples : 22 x 21 = 22+1 = 23 = 8 ; (33)2 = 33 x 2 = 36 ; = 53-1 = 52 = 25 ; (2x3)2 = 22 x 32 = 4 x 9 = 36 ; ! Exercice 1 : - Mettre sous la forme 10n (n un entier relatif), les nombres suivants : On a donc n = 5. L’écriture scientifique de 678 000 est donc 6,78 x 105. - Trouver l’écriture scientifique du nombre 0,0019. • On cherche le nombre a qui vérifie 1 a < 10 et qui, multiplié par une puissance de 10, donnerait 0,0019. Pour cela, on décale la virgule convenablement et on obtient 1,9. • On a donc 0,0019 = 1,9 x 10n avec n que l’on doit trouver. En effectuant le décalage de la virgule inverse, on observe qu’il faut décaler la virgule de 3 rangs vers la gauche, à partir de 1,9, pour obtenir 0,0019. On a donc n = -3. L’écriture scientifique de 0,0019 est donc 1,9 x 10-3. ! Exercice 2 : 103 x 102 ; 103 x 10-2 ; (103)2 ; - Mettre sous la forme an et calculer : 22 x 23 ; (22)3 ; ; 52 x 22 ; II. Ecriture scientifique d’un nombre ! Définition L’écriture scientifique (ou la notation scientifique) d’un nombre est l’écriture sous la forme a x 10n avec a un nombre qui vérifie 1 a < 10 et n un entier relatif. Exemples : 1,2 x 103 (= 1 200) 6,4 x 102 (= 640) 3 x 10-2 (= 0,03) -2,4 x 10-3 (= -0,0024) sont des nombres écrits en notation scientifique. ! Méthode : - Trouver l’écriture scientifique du nombre 678 000. • On cherche le nombre a qui vérifie 1 a < 10 et qui, multiplié par une puissance de 10, donnerait 678 000. Pour cela, on décale la virgule convenablement et on obtient 6,78. • On a donc 678 000 = 6,78 x 10n avec n que l’on doit trouver. En effectuant le décalage de la virgule inverse, on observe qu’il faut décaler la virgule de 5 rang vers la droite, à partir de 6,78, pour obtenir 678 000. Donner l’écriture scientifique des nombres en écriture décimale suivants : 24 000 ; 1998 ; 0,007 ; 512 x 10-3 ; 0,036 x 104 ; 7,2. Solutions : Exercice 1 : 103 x 102 = 103+2 = 105 ; 103 x 10-2 = 103+(-2) = 101 = 10 ; (103)2 = 103x2 = 106 ; = = = 105-2 = 103 ; = 104-(-2) = 106 ; = 101 = 10. 22 x 23 = 22+3 = 25 = 32 ; (22)3 = 22x3 = 26 = 64 ; = 34-2 = 32 = 9 ; 52 x 22 = (5 x 2)2 = 102 = 100 ; = 210-7 = 23 = 8. Exercice 2 : 24 000 = 2,4 x 10 000 = 2,4 x 104. 1998 = 1,998 x 1 000 = 1,998 x 103. 0,007 = 7 x 0,001 = 7 x 10-3. 512 x 10-3 = 5,12 x 100 x 10-3 = 5,12 x 102 x 10-3 = 5,12 x 10-1. 0,036 x 104 = 3,6 x 0,01 x 104 = 3,6 x 10-2 x 104 = 3,6 x 102. 7,2 = 7,2 x 1 = 7,2 x 100 car 1 7,2 < 10. Editeur : MemoPage.com SA © / Auteur : Pierre Larivière / 2009 = 105-3 = 102 . 103 x 10-1 = 103+(-1)=102 ; (10-1)2= 10-1x2= 10-2 ; • Puissances d’un nombre relatif Pour tous les entiers relatifs m et n et a un nombre entier relatif, nous avons les mêmes relations que pour les puissances de 10 : Exemples : 10m x 10n = 10m+n ; (10m)n = 10 mn ; = 10m-n. • Puissances de 10 Nous avons les propriétés suivantes sur les puissances de 10 : Pour tous les entiers relatifs m et n, ! Propriétés Exemples : a-n = (a écrit n fois). Pour a 0, a-n est l’inverse de an et on a donc : Exemples : 23 = 2 x 2 x 2 = 8 ; (-3)2 = (-3) x (-3) = 9 ; 103 = 10 x 10 x 10 = 1 000. Dans le cas général, pour a un nombre entiers relatifs et n un entier naturel plus grand que 2, on note : an = a x a x … x a (a écrit n fois). On a aussi : a1 = a et a0 = 1. Pour raccourcir l’écriture de 3 x 3 x 3 x 3 x 3 (5 fois), on la note 35. ! Définition I. Puissances d’un nombre. Les puissances Nombres en écriture scientifique