rappel loi binomiale - ambition

LFA / Terminale S
Cours mathématiques
Terminale S
RAPPELS
Mme MAINGUY
LOI BINOMIALE
Il s'agit de calculer des probabilités dans le cadre d'expériences répétées indépendantes. IL faut donc s'assurer de
l'indépendance des expériences aléatoires répétées et appliquer le principe multiplicatif.
 lancer plusieurs fois un dé et noter les résultats successifs
 prélever des pièces sur une chaîne de fabrication et vérifier
si elles sont conformes
 soumettre 2 000 personnes à la question existentielle :
" aimez-vous le camembert de Normandie ? " (Mumm !!!)
ces situations peuvent se modéliser par la
répétition d'expériences identiques et
indépendantes. La représentation par un
arbre pondéré est privilégiée. On utilise le
principe multiplicatif : la probabilité d'une
liste de résultats est le produit des
probabilités de chaque résultat.
Épreuve de Bernoulli, schéma de Bernoulli, loi binomiale
définitions
● Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire à deux issues appelées ."Succès" et "Échec".
● La répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes s'appelle un schéma de Bernoulli.
Un schéma de Bernoulli a deux paramètres : n le nombre de répétitions de l'épreuve et p le paramètre de
l'épreuve répétée (probabilité de "S").
● Soit X la variable aléatoire comptant le nombre de succès obtenus dans un schéma de Bernoulli à n épreuves,
de paramètre p . La loi de probabilité de la variable aléatoire X est la loi binomiale de paramètres
 n ; p .
Coefficients binomiaux : définition, propriétés
On considère une variable aléatoire X suivant une loi binomiale de paramètres
définition et théorème
k
est un entier naturel tel que
n ; p .
0k n.
n
k 
● On appelle coefficient binomial et on note   (se lit " k parmi n "), le nombre de chemins dans l'arbre pondéré
 X  k  , c'est-à-dire le nombre de chemins menant à k
menant à l'événement
● pour tout entier
k , tel que 0  k  n
, la probabilité que X soit égale à
n
nk
p  X  k     p k 1  p 
k 
propriétés des coefficients binomiaux
● symétrie : on a, pour k
n  n 
 

k  n  k 
n
n
●  n
  1
n
1
0k n
:
n
  1 ●
0
 n   n   n  1
● Triangle de Pascal :    


 k   k  1   k  1
● cas particuliers : ●
k
est :
succès parmi n épreuves répétées.
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Les règles du Triangle de Pascal :
n
  est à l'intersection de la ligne
k 
n
● On place les valeurs évidentes    1 et
0
● L'entier
n et de la colonne
k.
n
 n.
1
● On complète le triangle en suivant le processus donné en exemple :
 2  2  3
    
 1  2  2
Espérance et variance de la loi binomiale
définition et théorème
Soit une variable aléatoire X suit une loi binomiale ℬ
● L'espérance de X est :
E X   n p
 n ; p  , alors :
● la variance de X est :
V  X   n  p  1  p   n  p  q
Remarque
La formule de l'espérance peut s'expliquer sans calcul. En effet, chaque épreuve de Bernoulli a pour espérance de
succès, p , donc en la répétant n fois, on peut espérer obtenir en moyenne n  p succès.
( De façon pratique, on peut dire que si l'on gagne 1 euro par succès, on peut espérer gagner à chaque épreuve, en
moyenne, p euros. La répétition de n épreuves identiques et indépendantes nous laisse alors espérer un gain de
n p
euros)
Calculatrice  tabuler la loi de X qui suit une loi binomiale
X est une variable aléatoire qui suit une loi binomiale ℬ
B  n ; p
 6 ; 0,4 .
Objectif : à l'aide de la calculatrice, tabuler la table et faire afficher la table pour les valeurs entières de
0
à
6.
● Quel que soit le modèle de calculatrice, on peut utiliser le mode TABLE des calculatrices.
● Avec une CASIO : dans le menu TABLE :
choisir OPTN, puis choisir l'option F6 (), puis F3 (STAT)
taper Y1=BinomialPD(X,6,0.4) puis EXE puis F5 (SET);
régler les valeurs de la table puis valider;
faire
afficher la table pour les valeurs entières de
0
à
puis F1 (DIST), puis F5 (BINM) puis F1(Bdp);
6.
● Avec une TI nspire cas :
taper
MENU, puis choisir l'option Probabilités (5), puis l'option Distributions (5), puis BinomialDdp(D)
remplir la fenêtre : nombre d'essais, ici 6 puis Proba Succès, ici 0.4 et laisser dans Valeur de X, la case vide où
s'inscrit alors par défaut, (facultatif) puis OK.
la
table s'affiche alors pour les valeurs entières de
On obtient alors :
0
à
6.