Loi binomiale et échantillonnage 1 Loi de Bernoulli Révisions de permière S

Loi binomiale et échantillonnage
Révisions de permière S
1
Loi de Bernoulli
Dénition 1 :
Épreuve de Bernoulli
On nomme épreuve de Bernoulli toute expérience aléatoire ayant deux issues possibles : un
succès noté S et un échec noté E = S .
Exemple : Vous lancez une pièce de monnaie après avoir parié sur pile. Il s'agit d'une expérience de
Bernoulli : pile est le succès, face l'échec.
Dénition 2 :
Loi de Bernoulli
Soit X la variable aléatoire associée à une épreuve de Bernoulli telle que :
• X = 0 en cas d'échec,
• X = 1 en cas de succès,
et soit p la probabilité du succès.
On dit que X suit la loi de Bernoulli de paramètre p.
La loi de probabilité de X est donc :
xi
p(X = xi )
Propriété 1 :
0
1
p
1−p
Espérance et variance
Soit X une variable aléatoire suivant la loi de Bernoulli de paramètre p.
L'espérance de X est E(X) = p.
La variance de X est V (X) = p(1 − p).
Par ailleurs, on se souvient que l'écart-type est : σ =
2
√
V , d'où : σ(X) =
p
p(1 − p).
Schéma de Bernoulli et coefficients binomiaux
Dénition 3 :
Schéma de Bernoulli
La succession de n épreuves de Bernoulli de paramètre p de façon indépendante (le résultat
d'une épreuve n'inue pas sur les autres) constitue un schéma de Bernoulli.
Exemple : On lance quatre fois d'alée une pièce de monnaie : il s'agit d'un schéma de Bernoulli
puisqu'on a répété quatre fois une expérience de Bernoulli. Si l'on obtient : pile, pile, face, pile, et que
pile est le succès, l'issue de ce schéma de Bernoulli est { S S S S }.
1
Dénition 4 :
Coefficient binomial
On pose un schéma de Bernoulli
de
n répétitions.
n
Pour tout 0 ≤ k ≤ n, on note
le nombre de chemins permettant de réaliser k succès à
k
l'issue des n répétitions. 0
Par convention, on pose
= 1.
0
n
se lit k parmi n .
k
Si l'on reprend l'exemple de quatre lancers de pièce successifs, il y a quatre chemins permettant de
réaliser trois succès :
{ S S S S }, { S S S S }, { S S S S }, { S S S S }.
4
On a donc
= 4.
3
Remarque : Les coecients binomiaux se calculent par :
n!
n
=
,
k
k!(n − k)!
avec n! = 1 × 2 × 3 × · · · × (n − 1) × n. Cette formule n'est pas au programme mais mérite d'être connue.
Propriété 2 :
Coefficients binomiaux
Les coecients binomiaux vérient les propriétés suivantes :
pour tous
n∈N
et
0 ≤ k ≤ n.
On retrouve ces résultats dans le
0
1
2
3
4
..
.
n
3
n−1
n−1
n
+
=
k
k−1
k
n
n
=1
=
n
0
n
n
=
n−k
k
triangle de Pascal :
0
1
1
1
1
1
..
.
1
2
3
4
···
1
2
3
4
..
.
1
3
6
..
.
1
4
..
.
1
..
.
...
n
0
n
1
n
2
n
3
n
4
···
k
n
k
Loi binomiale
Dénition 5 :
Loi binomiale
On étudie un schéma de Bernoulli de n répétitions et de paramètre p (c'est-à-dire qu'on répète
n fois une épreuve de Bernoulli de paramètre p).
Soit X la variable aléatoire qui compte le nombre de succès obtenus.
On dit que X suit la loi binomiale de paramètres n et p et on note : X ∼ B(n, p).
2
Propriété 3 :
Loi binomiale
Soit X une variable aléatoire suivant la loi binomiale B(n, p).
Pour tout entier k compris entre 0 et n, on a :
n
p(X = k) =
× pk × (1 − p)n−k
k
Exemple : On lance cinq fois un dé (équilibré) à six faces. On nomme succès l'événement obtenir
un 6 . Quelle est la probabilité d'obtenir trois succès ?
X suit la loi binomiale de paramètres 5 et 61 . On a alors :
p(X = 2)
=
5−3
3 1
1
5
× 1−
×
3
6
6
=
3 2
1
5
10 ×
×
6
6
=
0, 322
(valeur approchée à 10−4 près)
Propriété 4 :
Espérance, variance
Soit X une variable aléatoire telle que X ∼ B(n, p).
Son espérance est E(X) = np.
Sa variance est V (X) = np(1 − p).
•
•
On a aussi l'écart-type σ(X) =
4
p
V (X).
Échantillonnage
4.1 Intervalle de uctuation
Dénition 6 :
Intervalle de fluctuation
(rappel de seconde)
Soit p la proportion d'un caractère A dans une population avec p ∈ [0, 2 ; 0, 8].
Soit un échantillon de taille n ≥ 25 de cette population.
h
La fréquence f du caractère A dans l'échantillon appartient à l'intervalle p −
avec une probabilité d'au moins 95 %.
√1
n
; p+
√1
n
i
Propriété 5
Soit p la proportion d'un caractère A dans une population avec p ∈ [0, 2 ; 0, 8].
Soit un échantillon de taille n ≥ 25 de cette population.
La variable aléatoire X qui compte le nombre d'individus de l'échantillon présentant le caractère A suit la loi binomiale de paramètres n et p.
3
Propriété 6 :
Intervalle de fluctuation dans le cas d'une loi binomiale
L'intervalle de uctuation à 95 % de la fréquence correspondant à la réalisation,
sur un
échantillon aléatoire de taille n, d'une variable aléatoire X ∼ B(n, p), est na ; nb ,
où a est le plus petit entier tel que p(X ≤ a) > 0, 025
et b le plus petit entier tel que p(X ≤ a) ≥ 0, 975.
4.2 Prise de décision sur un échantillon
On considère une population dans laquelle on suppose que la proportion d'un caractère est p. Dans
un échantillon de taille n extrait de cette population, le caractère a pour fréquence f .
On cherche à vérier que la proportion du caractère dans la population est bien p. Soit I l'intervalle
de uctuation à 95 % de f dans un échantillon de taille n (voir propriété 6) :
• si f ∈
/ I on rejette l'hypothèse initiale au seuil de risque 5 % ;
• sinon, on ne rejette pas cette hypothèse au seuil de risque 5 %.
4.3 Un exemple
Un laboratoire pharmaceutique annonce qu'un médicament sauve 40 % des patients atteints d'une maladie
rare. Pour contrôler cette armation, on teste le médicament sur 100 patients touchés par cette maladie,
et on sauve 30 malades.
Au seuil de risque 5 %, que peut-on dire de l'annonce faite par le laboratoire?
Soit X le nombre de malades sauvés par ce médicament dans un échantillon (aléatoire et assimilé à un
tirage avec remise) de malades de taille 100. X suit la loi binomiale de paramètres 100 et 0,4.
À l'aide de la calculatrice, on obtient :
p(X ≤ 49) ≈ 0, 973
, d'où b = 50
p(X ≤ 50) ≈ 0, 983
L'intervalle de uctuation à 95 % de la fréquence dans les échantillons de taille 100 est donc [0, 31 ; 0, 50].
p(X ≤ 30) ≈ 0, 0248
, d'où a = 31
p(X ≤ 31) ≈ 0, 040
D'où la règle de décision : si f ∈ [0, 31 ; 0, 50] l'hypothèse p = 0, 40 est acceptable ; sinon elle est rejetée
(au seuil de risque 5 %). La fréquence observée est f = 0, 30 et f ∈
/ [0, 31 ; 0, 50], donc, au seuil de
risque 5 %, on rejette l'hypothèse selon laquelle ce médicament guérit 40 % des malades.
Références
[1] Frédéric Gaudon (lycée Charles Péguy à Orléans).
Loi de Bernoulli et loi binomiale.
http://mathsfg.net.free.fr/.
[2] F. Siecielski (lycée Léo Lagrange de Bully-les Mines). Loi binomiale et échantillonnage.
http://lagrangeamaths.free.fr/.
[3] Clara Parfeno, Alain Solean, and Alexis Museux.
Schéma de Bernoulli, loi binomiale.
http://www.parfenoff.org/.
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