Nom : Prénom : Date : 8/12/2011 Classe : 1STL Angles associés , équations et inéquations trigonométriques Exercice 1 : Savoir calculer des angles remarquables Simplifier le plus possible : A = cos( - π ) + cos( 3 ) + cos( ) + cos( ) . 4 2 4 B = cos 0 + cos + cos + cos( 3 ) + cos π ; C = sin + sin + sin + sin 2 + sin 5 + sin π 4 6 2 2 3 3 6 4 . Exercice 2 : Savoir utiliser la calculatrice pour résoudre des équations trigonométriques Déterminer les valeurs arrondies à 10 3 des solutions des équations suivantes : 1 1/ cos x = - 0,6 , x [ 0 ; 2π ] ; 2/ cos x = , x [ 0 ; 2π ] ; 3/ sin x = - 0,6 , x [ 0 ; 2π ] . 3 Exercice 3 : Déterminer des lignes trigonométriques 1/ Soit t IR tel que sin t = 4 . Sachant que t [ 0 ; ] , déterminer la valeur exacte de cos t . 2 5 2/ Soit t IR tel que sin t = 2 . Sachant que t [ ; ] , déterminer la valeur exacte de cos t . 3 2 Exercice 4 : Equations trigonométriques : Résoudre les équations suivantes : 1/ cos x = 2 2 pour x 0 ; 2 ; 2/ sin x = 3 2 pour x ; ; 3/ cos x = 3 pour x 0 ; 2 ; 2 1 4/ cos² x =1 pour x ; ; 5/ sin² x = pour x 0 ; 2 ; 6/ 2(cos x)² - 1 = 0 pour x ; ; 2 2 4 DM 3 7/ 4cos²x - 3 = 0 pour x ; ; 8/ sin 2x = 1 pour x ; ; 9/ (sin x)² - 1 = 0 pour x ; . 2 2 Exercice 5 : Démontrer les relations trigonométriques DM 3 Démontrer , pour tout réel x , les égalités suivantes : 1/ ( cos x + sin x ) ² = 1 + 2cos x × sin x ; 2/ ( cos x - sin x ) ² = 1 - 2cos x × sin x ; 3/ ( cos x + sin x ) ² + ( cos x - sin x ) ² = 2 ; 4/ ( cos x + sin x ) ² - ( cos x - sin x ) ² = 4cos x × sin x . 4 5/ ( 1+ cos x + sin x ) ² = 2(1 + cos x ) ( 1 + sin x ) ; 6/ cos x - sin 4 x = cos² x - sin² x . DM 3 Exercice 6 : Angles associés : Exprimer en fonction de cos x ou sin x les nombres suivants : 1/ cos(2π + x ) ; 2/ sin(- π - x ) ; 3/ cos( x - ) ; 4/ cos( 7 x ) ; 5/ cos( 11 x ) . 2 2 Exercice 7 : Ligne trigonométrique On donne sin x = 2 6 et x ; . Calculer la valeur exacte de cos x . 4 2 2 DM 3 Exercice 8 : Inéquations trigonométriques A l’aide du cercle trigonométrique sur lequel on représentera les solutions , résoudre les inéquations suivantes : 1/ Dans l’intervalle ; : a/ sin x ≥ 0 ; b/ cos x < 0 ; c/ sin x ≥ 2 ; d/ cos x ≤ 1 . 2 2 2/ Dans l’intervalle 0 ; 2 : a/ sin x < 0 ; b/ cos x > 0 ; c/ 1 2 ≤ sin x ≤ 3 ; d/ cos x ≤ - 1 . 2 DM 3 DM 3 Exercice 9 : Périodicité des fonctions trigonométriques Démontrer que les fonctions suivantes sont périodiques , de période 2 : 1/ f(x)= sin 3 x ; 2/g(x)= sin (6x) – cos (3x) . 3 5 Exercice 10 : Etudier une fonction trigonométrique Soit f une fonction définie sur IR par : f(x) = -3 + 4cos(2x) . 1/ Montrer que f est périodique de période π . 2/ Montrer que f est une fonction paire .Que peut-on en déduire pour sa courbe (Cf ) ? 3/ Démontrer que pour tout réel x : 7 f ( x) 1 . 4/ Donner le tableau de variation de f sur 0; . 2 5/ Calculer les valeurs exactes de f k pour toutes les valeurs entières de k comprises entre 0 et 6. 12 6/ Tracer la courbe (Cf ) sur l’intervalle 0; 2 . 7/ En utilisant les questions précédentes , en déduire la représentation graphique de (Cf ) sur l’intervalle puis sur l’intervalle ; . Exercice 44 : page 63 et 45 page 64 : DM n° 3 : à rendre pour le jeudi 5 janvier 2012. DM 3 2 ; 2 ,