Cours de Mathématiques

ENSEIGNEMENT DE PROMOTION SOCIALE
——————————————————————
Cours de
MATHEMATIQUES
- Eléments de Trigonométrie ——————————————————————
H. Schyns
Novembre 2008
Eléments de Trigonométrie
Sommaire
Sommaire
1.
INTRODUCTION
1.1. Plan du document
1.2. Petit historique
2.
PRINCIPES
2.1. Mesure des angles
2.2. Cercle trigonométrique
2.3. Variation du sinus et du cosinus
2.3.1. Premier quadrant
2.3.2. Deuxième quadrant
2.3.3. Troisième quadrant
2.3.4. Quatrième quadrant
2.4. Graphe de la fonction
2.5. Relation fondamentale
2.6. Autres fonctions trigonométriques
2.7. Unités de mesure
2.7.1. Le degré
2.7.2. Le radian
2.7.3. Le grade
2.7.4. Le mil angulaire
2.7.5. Conversions
2.8. Valeurs particulières
3.
RÉSOLUTION DE TRIANGLES RECTANGLES
3.1. Objectif
3.2. Relations fondamentales
3.3. Mesurer la hauteur d'un arbre
3.4. Variante
3.5. Mesure d'une altitude
4.
RÉSOLUTION DE TRIANGLES QUELCONQUES
4.1. Principe
4.2. Formule aux sinus
4.3. Formules aux cosinus
4.4. Triangulation
4.4.1. Illustration
4.4.2. Résolution
H. Schyns
S.1
Eléments de Trigonométrie
5.
Sommaire
FORMULES TRIGONOMÉTRIQUES
5.1. Avertissement
5.2. Angles complémentaires et supplémentaires
5.3. Relation fondamentale
5.4. Addition d'angles
5.5. Angles doubles
5.6. Formes tangente
5.7. Angles demis
5.8. Somme - Produit (Simpson)
6.
TRIGONOMÉTRIE ET REPÈRES
6.1. Rotation de repères
6.1.1. Position du problème
6.1.2. Résolution
6.1.3. Illustration
6.2. Coordonnées polaires
6.2.1. Principe
6.2.2. Conversions
6.2.3. Rotations
7.
RÉCRÉATION MATHÉMATIQUE
7.1. Déterminer le rayon de la Terre
7.2. Calculer la longitude d'un lieu
8.
EXERCICES
9.
LETTRES GRECQUES
10. SOURCES
H. Schyns
S.2
Eléments de Trigonométrie
1.
1 - Introduction
Introduction
1.1.
Plan du document
La trigonométrie est une branche des mathématiques qui traite des relations qui
existent entre la longueur des côtés et l'amplitude des angles dans les triangles.
Le but de ce document est de donner rapidement les notions fondamentales de cette
discipline mathématique aux personnes qui n'auraient pas eu l'occasion de voir cette
matière au cours de leurs études... ou qui l'auraient oubliée.
Le premier chapitre donne les définitions et introduit les principales fonctions
trigonométriques dont les plus utilisées en pratique sont les fonctions sinus,
cosinus et tangente.
Les deux chapitres suivants exposent d'abord la résolution de problèmes impliquant
des triangles rectangles et ensuite la résolution de problèmes impliquant des
triangles quelconques.
Les principales formules trigonométriques sont listées au chapitre 5 sans leur
démonstration car celle-ci sort du cadre de ce cours élémentaire. Un lecteur un peu
perspicace n'aura toutefois aucun mal à les démontrer.
Le chapitre suivant applique la trigonométrie au problème du changement de
coordonnées lors de la rotation du système d'axes. Il définit également les systèmes
de coordonnées polaires dans le plan et le passage d'un système rectangulaire à un
système polaire et réciproquement.
Une récréation mathématique, quelques exercices et la liste des lettres grecques
clôturent ce document.
1.2.
Petit historique
La trigonométrie est une discipline très ancienne. Son développement a été stimulé
par les besoins de la géométrie, de la géographie et de l'astronomie. Ses origines
remontent aux civilisations d'Egypte antique, de Mésopotamie et de la vallée de
l'Indus, il y a plus de 4000 ans. La notion de sinus d'un angle apparaît pour la
première fois en Inde, entre 800 et 500 avant J.C. (1).
Les premières tables trigonométriques sont dues au mathématicien grec Hipparque
de Nicée (190 - 120 av. J.C.) : elles donnaient la longueur de la corde [ pp' ]
interceptée par un angle [ θ ] dont le sommet est au centre [ o ] d'un cercle de rayon
[ R ] fixé (fig. 1.1).
1 A cette époque, nous (en Europe occidentale) dérivions encore en pleine préhistoire et nous n'étions même
pas encore des gaulois qui craignent que le ciel leur tombe sur la tête !
H. Schyns
1.1
Eléments de Trigonométrie
1 - Introduction
fig. 1.1 Relation entre angle et corde
Alors que la trigonométrie est utilisée couramment au premier millénaire par les
savants indiens puis arabes, elle ne se développera en Europe qu'au milieu du XIVe
siècle avec la traduction en latin des œuvres de l'astronome grec Ptolémée (90 168 ap. J.C.). Le premier ouvrage de référence est publié en 1595 par le
mathématicien Bartholomäus Pitiscus sous le titre "Trigonometria" qui donnera son
nom à cette branche des mathématiques.
Notons pour l'anecdote que c'est le mathématicien flamand Adrien Romain (1561 1615) qui introduira la notation moderne sin(α).
H. Schyns
1.2
Eléments de Trigonométrie
2.
2 - Principes
Principes
2.1.
Mesure des angles
Traditionnellement, on mesure les angles au moyen d'un rapporteur (fig. 2.1)
fig. 2.1 Mesure d'un angle de 45° au rapporteur
Il s'agit généralement d'un demi-cercle dont la circonférence est graduée en degrés.
L'angle qui supporte le demi-cercle est appelé angle plat et vaut 180°.
Pour mesurer un angle avec un rapporteur, on fait coïncider son sommet avec le
centre de l'instrument et l'un de ses côtés avec la base (graduation 0°). L'autre côté
intercepte la demi-circonférence au niveau d'une graduation qui donne la mesure de
l'angle.
2.2.
Cercle trigonométrique
La trigonométrie "moderne" n'est pas une discipline isolée. Comme nous le verrons,
elle entretient des liens étroits avec la géométrie analytique et l'algèbre.
L'outil de base de la trigonométrie est le cercle trigonométrique.
fig. 2.2 Le cercle trigonométrique
Il s'agit d'un cercle de rayon [ R ] unitaire, dont le centre coïncide avec l'origine d'un
repère orthonormé d'axes [ x ] et [ y ] (fig. 2.2).
Par convention, on parcourt ce cercle dans le sens inverse des aiguilles d'une
montre en partant de son intersection avec l'axe des abscisses [ x ] en (1, 0). Ce
sens est appelé sens trigonométrique.
Le tracé passe donc successivement par les points de coordonnées (1, 0), (0, 1),
(-1, 0) et (0, -1) pour revenir à (1, 0).
H. Schyns
2.1
Eléments de Trigonométrie
2 - Principes
Pour mesurer un angle [ θ ], on fait coïncider son sommet avec le centre du cercle et
l'un de ses côtés avec l'axe [ x ], à la manière de ce que l'on fait avec un rapporteur.
L'autre côté de l'angle coupe le cercle trigonométrique en un point [ p ].
Par définition :
On appelle cosinus de l'angle [ θ ] l'abscisse du point d'intersection [ p ] du
deuxième côté de l'angle avec le cercle trigonométrique. Cette grandeur
est notée cos θ.
On appelle sinus de l'angle [ θ ] l'ordonnée du point d'intersection [ p ] du
deuxième côté de l'angle avec le cercle trigonométrique. Cette grandeur
est notée sin θ.
Les coordonnées du point [ p ] sont donc (cos θ, sin θ).
Le moyen mnémotechnique consiste à noter que les termes correspondants
horizontal
Ù
vertical
abscisse
cosinus
x
Ù
Ù
ordonnée
sinus
y
Ù
sont toujours dans l'ordre alphabétique.
2.3.
Variation du sinus et du cosinus
2.3.1. Premier quadrant
Le cercle trigonométrique est divisé en quatre quadrants, habituellement notés en
chiffres romains I, II, III et IV.
fig. 2.3 Variation de sin θ et cos θ dans le premier quadrant
Lorsque l'angle [ θ ] est nul, le point [ p ] est sur l'axe des abscisses; il coïncide avec
la première graduation de l'axe horizontal et ses coordonnées sont (1, 0).
Lorsque l'angle [ θ ] augmente, le point [ p ] se déplace sur le cercle trigonométrique
et passe par exemple de [ p ] à [ p' ]. Ce faisant, son abscisse diminue tandis que
son ordonnée augmente. Nous en déduisons que, dans le premier quadrant, cos θ
diminue et sin θ augmente lorsque l'angle [ θ ] augmente (fig. 2.3).
H. Schyns
2.2
Eléments de Trigonométrie
2 - Principes
Lorsque l'angle [ θ ] atteint 90°, le point [ p ] est sur l'axe des ordonnées; il coïncide
avec la première graduation de l'axe vertical et ses coordonnées sont (0, 1).
Pendant toute la progression cos θ et sin θ sont toujours restés positifs.
Notons que sin θ augmente vite quand l'angle commence à s'ouvrir et augmente de
moins en moins vite par la suite. C'est l'inverse pour cos θ.
Angle
0°
ä
sin θ
0
ä (+)
1
cos θ
1
æ (+)
0
90°
2.3.2. Deuxième quadrant
Ainsi que nous venons de la voir, lorsque l'angle [ θ ] vaut 90°, le point [ p ] est sur
l'axe des ordonnées; il coïncide avec la première graduation de l'axe vertical et ses
coordonnées sont (0, 1).
fig. 2.4 Variation de sin θ et cos θ dans le deuxième quadrant
Lorsque l'angle [ θ ] continue à augmenter, le point [ p ] poursuit sa progression sur
le cercle trigonométrique et passe par exemple de [ p ] à [ p' ]. Ce faisant, son
abscisse s'enfonce dans les négatifs tandis que son ordonnée augmente diminue.
Nous en déduisons que, dans le deuxième quadrant, cos θ diminue et sin θ diminue
lorsque l'angle [ θ ] augmente (fig. 2.4).
Lorsque l'angle [ θ ] atteint 180°, le point [ p ] est sur l'axe des abscisses; il coïncide
avec la première graduation négative de l'axe horizontal et ses coordonnées sont
(-1, 0).
Pendant toute la progression cos θ est négatif tandis que sin θ est resté positif.
Notons que sin θ diminue lentement quand l'angle s'éloigne de 90° et chute de plus
en plus vite par la suite. C'est l'inverse pour cos θ.
ä
Angle
90°
180°
sin θ
1
æ (+)
0
cos θ
0
æ (–)
-1
2.3.3. Troisième quadrant
L'angle [ θ ] poursuit sa course en entraînant le point [ p ] sur la circonférence. La
dernière position du point [ p ] était sur l'axe des abscisses, en (-1, 0).
H. Schyns
2.3
Eléments de Trigonométrie
2 - Principes
fig. 2.5 Variation de sin θ et cos θ dans le troisième quadrant
Quand le point [ p ] passe par exemple de [ p ] à [ p' ], son abscisse remonte vers
l'origine tandis que son ordonnée plonge dans les négatifs. Dans ce quadrant, cos θ
augmente tandis que sin θ diminue lorsque l'angle [ θ ] augmente (fig. 2.5).
Lorsque l'angle [ θ ] atteint 270°, le point [ p ] est sur l'axe des ordonnées; il coïncide
avec la première graduation négative de l'axe vertical et ses coordonnées sont
(0, -1).
Pendant toute la progression cos θ et sin θ sont restés négatifs.
ä
Angle
180°
270°
sin θ
0
æ (–)
-1
cos θ
-1
ä (–)
0
2.3.4. Quatrième quadrant
L'angle [ θ ] termine son premier tour. Le point [ p ] quitte sa dernière position en
(0, -1). Son abscisse continue à croître tandis que son ordonnée remonte des
tréfonds négatifs. Dans ce quadrant, cos θ et sin θ augmentent - mais pas à la
même vitesse - diminue lorsque l'angle [ θ ] augmente (fig. 2.6).
fig. 2.6 Variation de sin θ et cos θ dans le quatrième quadrant
Pendant cette la progression cos θ est positif mais sin θ est encore négatif.
H. Schyns
ä
Angle
270°
360°
sin θ
-1
ä (–)
0
cos θ
0
ä (+)
1
2.4
Eléments de Trigonométrie
2.4.
2 - Principes
Graphe de la fonction
Il n'y a aucune raison de s'arrêter en si bon chemin. L'angle [ θ ] peut continuer à
s'ouvrir et entraîner le point [ p ] dans un deuxième tour, puis un troisième, etc. à la
manière d'un athlète bouclant des tours de piste (fig. 2.7).
fig. 2.7 Angle faisant plusieurs tours
Evidemment, un observateur qui verrait une photo de la situation prise à un moment
donné serait incapable de dire si le point [ p ] (ou l'athlète) en est à son premier, à
son deuxième ou à son n-ième tour.
Il en résulte que les valeurs de sin θ et cos θ repassent périodiquement par les
mêmes valeurs. Ces fonctions, dites périodiques, sont appelées respectivement
sinusoïde et cosinusoïde.
fig. 2.8 Graphe des fonctions sin θ et cos θ
Elles ont toutes deux la même allure et sont simplement décalées l'une par rapport à
l'autre de 90°.
A toute valeur de l'angle [ θ ] correspond une et une seule position du point
[ p ] et un et un seul couple (cos θ, sin θ).
La réciproque n'est pas vraie : à chaque couple (cos θ, sin θ) correspond
bien une et une seule position du point [ p ] mais à cette position correspond
une infinité d'angles [ θ ], décalés de 360° les uns par rapport aux autres.
En toute généralité, les angles ne sont jamais définis "qu'à un certain nombre de
tours près", ce qu'on note
θ + k ⋅ 360°
H. Schyns
k∈Ζ
2.5
Eléments de Trigonométrie
2.5.
2 - Principes
Relation fondamentale
Dans le cercle trigonométrique, les grandeurs sin θ, cos θ et le rayon forment un
triangle rectangle (fig. 2.9). En appliquant Pythagore à ce triangle, nous découvrons
que :
cos 2 θ + sin 2 θ = 1
[eq. 2.1]
Cette relation très importante est au cœur de nombreuses démonstrations des
propriétés trigonométriques.
Nous en déduisons qu'il est toujours possible d'estimer le sinus d'un angle à partir de
son cosinus et réciproquement.
cos θ = ± 1 − sin 2 θ
[eq. 2.2]
sinθ = ± 1 − cos 2 θ
[eq. 2.3]
Le signe dépend du quadrant dans lequel se trouve l'angle.
2.6.
Autres fonctions trigonométriques
Reprenons la fig. 2.2 et ajoutons deux demi-droites :
-
une verticale tangente au cercle en (1, 0),
une horizontale tangente au cercle en (0, 1).
Ces deux demi-droites interceptent le rayon |op| en [ q ] et [ m ] respectivement (fig.
2.9)
fig. 2.9 Définition des fonctions tan θ et cotan θ
Les deux verticales définissent deux triangles qui sont tous deux rectangles et qui
ont aussi l'angle [ θ ] en commun. Par conséquent, ces deux triangles sont
semblables et les rapports entre les côtés homologues sont égaux :
uq
oq
1
=
=
cosθ sinθ
1
[eq. 2.4]
A partir des deux premiers membres, nous définissons la fonction tangente de
l'angle θ, noté tan θ ou tg θ :
H. Schyns
2.6
Eléments de Trigonométrie
2 - Principes
uq =
sinθ
= tanθ
cosθ
[eq. 2.5]
A partir du premier et du troisième membre, nous définissons la fonction sécante de
l'angle θ, noté sec θ :
oq =
1
= sec θ
cosθ
[eq. 2.6]
Par ailleurs, les deux horizontales de la fig. 2.9 définissent aussi deux triangles qui
sont tous deux rectangles et qui ont aussi un angle [ 90°-θ ] en commun. Par
conséquent, ces deux triangles sont semblables et les rapports entre les côtés
homologues sont égaux :
vm
om
1
=
=
sinθ cosθ
1
[eq. 2.7]
A partir des deux premiers membres, nous définissons la fonction cotangente de
l'angle θ, noté cotan θ ou cotg θ :
vm =
cosθ
1
= cot anθ =
sinθ
tanθ
[eq. 2.8]
A partir du premier et du troisième membre, nous définissons la fonction cosécante
de l'angle θ, noté cosec θ ou csc θ:
om =
1
= cos ecθ
sinθ
[eq. 2.9]
Les variations des principales fonctions trigonométriques sont reprises ci-dessous :
Angle
0°
ä
90°
ä
180°
ä
270°
ä
360°
sin θ
0
ä
1
æ
0
æ
-1
ä
0
cos θ
1
æ
0
æ
-1
ä
0
ä
1
tan θ
0
ä
+∞ | -∞
ä
0
ä
+∞ | -∞
ä
0
cotan θ
-∞ | +∞
æ
0
æ
-∞ | +∞
æ
0
æ
-∞ | +∞
On note que la fonction tangente est toujours croissante et qu'elle a un
comportement asymptotique, qui tend vers l'infini (+|–) quand l'angle tend vers 90°,
270°, etc (fig. 2.10).
Par contre, la fonction cotangente est toujours décroissante et a un comportement
asymptotique, qui tend vers l'infini (–|+)quand l'angle tend vers 0°, 180°, etc.
fig. 2.10 Graphe des fonctions tan θ et cotan θ
H. Schyns
2.7
Eléments de Trigonométrie
2.7.
2 - Principes
Unités de mesure
2.7.1. Le degré
Le degré (°) est l'unité de mesure historique des angles plans. Un tour complet
compte 360 degrés; un angle droit compte 90°.
Cette unité nous vient des Babyloniens. On pense que les astronomes babyloniens,
dont l'année comptait 360 jours, utilisaient le degré comme unité de mesure du
décalage quotidien des étoiles : au bout d'un an, c'est-à-dire quand la Terre a
accompli un tour complet sur son orbite, les mêmes étoiles reviennent aux mêmes
positions dans le ciel aux mêmes heures.
Un degré est subdivisé en 60 minutes d’arc (′), elles-mêmes divisées en 60
secondes d’arc (″), un autre héritage des Babyloniens qui comptaient en base 60
(système sexagésimal) (1).
Notons que le degré ne fait pas partie des unités du système international (SI), mais
que la tradition en a gardé l'usage.
2.7.2. Le radian
En toute généralité, en géométrie, la mesure d'un angle est donnée par le rapport
entre la longueur de l'arc [ S ] intercepté sur le cercle trigonométrique et le rayon
[ R ] de ce cercle :
θ =
S
R
[eq. 2.10]
L'angle est alors mesuré en radians. Il s'agit d'une mesure adimensionnelle (2). Le
radian (rad) est l'unité d'angle plan du système international (SI).
Un angle de 1 rad est un angle, qui, ayant son sommet au centre d'un cercle
de rayon unitaire intercepte, sur la circonférence de ce cercle, un arc de
longueur unitaire.
Un angle plein est un angle qui intercepte la totalité de la circonférence. Dans ce
cas, l'équation [2.10] devient :
θ =
2π ⋅ R
= 2π
R
[eq. 2.11]
L'angle plein vaut donc 2π radians, soit 6.2832... radians.
Un radian vaut 57.30°, soit un peu moins de 60° ainsi que le montre la fig. 2.11
1 Et dire que certains trouvent que le binaire est compliqué !
2 On appelle mesure ou valeur adimensionnelle une valeur dont toutes les unités se sont simplifiées. Dans
le cas présent, le calcul de l'angle fait le rapport entre la longueur de l'arc (en mètres) et la longueur du
rayon (en mètres également). Les unités du numérateur et du dénominateur étant identiques, elles se
simplifient et disparaissent. Le résultat est un nombre "pur".
H. Schyns
2.8
Eléments de Trigonométrie
2 - Principes
fig. 2.11 Définition du radian
L'utilisation des radians est impérative (et implicite) dans tous les problèmes
d'analyse mathématique, de géométrie analytique, etc.
On convertit facilement les degrés en radians et réciproquement grâce à une règle
de trois qui génère les formules suivantes :
θ (deg) = θ (rad) ⋅
180°
π
[eq. 2.12]
θ (rad) = θ (deg) ⋅
π
180°
[eq. 2.13]
Le radian est une unité peu commode en pratique. Dès lors, elle est relativement
peu utilisée en dehors des branches scientifiques.
2.7.3. Le grade
Le grade est l'unité de mesure centésimale des angles. Il se note généralement gr
et parfois gon (1).
Un tour complet compte 400 gr et un angle droit vaut 100 gr.
On passe facilement des grades aux degrés et réciproquement par une simple règle
de trois.
La définition du grade découle de celle du mètre. En effet, à l'origine, le mètre était
défini comme la 10 millionième partie du quart du méridien terrestre, ce qui donnait
par définition une circonférence de 40.000 km à la Terre. Il était dès lors aisé de
définir le grade comme l'angle qui, ayant son sommet au centre de la Terre,
intercepte un arc de 100 km de long à la surface.
Le grade est l'unité légale de mesure d'angle pour l'ensemble des travaux
topographiques (arpentage, génie civil) et géodésiques (IGN) réalisés en France.
En dehors de ces domaines, il est peu ou pas utilisé.
2.7.4. Le mil angulaire
Le mil ou millième angulaire est l'unité d'angle en usage dans le domaine militaire.
Elle est utilisée surtout pour les instruments d'orientation et de pointage. Son
symbole est un "m" barré à 30 degrés.
1 du grec "gônia" qui signifie "angle".
H. Schyns
2.9
Eléments de Trigonométrie
2 - Principes
Un tour complet compte 6400 mil et un angle droit vaut 1600 mil (1).
Cette unité dérive du radian. En effet, un tour complet compte 6.283 radians ou
6283 milliradian. Par convention, il a été choisi un chiffre rond, 6400, qui a
l'avantage d'être divisible par des puissances de 2.
Un angle d'un mil correspond à environ un segment vertical de un mètre de haut vu
depuis une distance de un kilomètre.
Un angle de 4 mil correspond
approximativement à l'angle de rotation de la Terre en 1 minute.
Cette unité a l'avantage de donner rapidement une approximation des distances et
des angles sans avoir à faire de calcul trigonométrique.
2.7.5. Conversions
2.8.
Degrés
Radians
Grades
Mils
0°
0
0
0
30°
π/6
33.3
533
45°
π/4
50
800
60°
π/3
66.7
1 067
90°
π/2
100
1 600
120°
2π/3
133.3
2 133
135°
3π/4
150
2 400
150°
5π/6
166.7
2 667
180°
π
200
3 200
Valeurs particulières
Il est aisé de calculer les valeurs des fonctions trigonométriques pour quelques
angles particuliers tels que 30°, 45°, 60°. Il suffit de partir soit d'un triangle isocèle
rectangle, soit d'un triangle équilatéral inscrit dans le cercle trigonométrique et
d'appliquer le théorème de Pythagore (fig. 2.12).
fig. 2.12 Calcul des fonctions trigonométriques pour 30°, 45° 60°
Ces valeurs caractéristiques sont résumées dans le tableau ci-dessous :
1 Définition valable pour les pays de l'OTAN et le Canada, mais on connaît aussi le mil soviétique
(6000 mil/tour) et le mil suédois (6300 mil/tour).
H. Schyns
2.10
Eléments de Trigonométrie
2 - Principes
Angle
0°
30°
45°
60°
90°
sin θ
0
1
2
2
2
3
2
1
cos θ
1
3
2
2
2
1
2
0
tan θ
0
3
3
1
3
+∞
cotan θ
+∞
2
2
1
3
3
0
Le tableau se reconstruit facilement si on note que la première ligne peut aussi
s'écrire
sin θ
0
2
1
2
2
2
3
2
4
2
La ligne suivante est identique à la première mais écrite en sens inverse; La
troisième se calcule en faisant le rapport des deux lignes supérieures et la quatrième
est identique à la troisième mais écrite en sens inverse.
Les fonctions sinus et cosinus admettent un développement en série qui prend la
forme d'un polynôme :
sin x =
∞
∑
( −1)k
k =0
cos x =
∞
∑
x 2k +1
(2k + 1)!
[eq. 2.14]
x 2k
(2k )!
[eq. 2.15]
( −1)k
k =0
où [ x ] est l'angle exprimé en radians (1).
Pour les angles compris entre 0 et π/4, ces développements donnent déjà une
excellente approximation avec trois chiffres significatifs lorsqu'on les limite aux trois
premiers termes :
Bien utile quand la
trigonométriques.
sin x = x −
x3 x 5
+
3!
5!
[eq. 2.16]
cos x = 1 −
x2 x4
+
2!
4!
[eq. 2.17]
calculatrice disponible est
dépourvue
des
fonctions
1 L'emploi de θ, α ou x pour désigner les angles est absolumet indifférent.
H. Schyns
2.11
Eléments de Trigonométrie
3.
3 - Résolution de triangles rectangles
Résolution de triangles rectangles
3.1.
Objectif
Un triangle est défini par six éléments :
-
trois angles,
trois côtés.
En toute généralité, il suffit de connaître trois de ces éléments pour déterminer les
trois autres. Le seul cas indéterminé est celui de la connaissance des trois angles
qui ne permet pas de définir la longueur absolue des côtés mais seulement le
rapport des longueurs.
Dans le cas particulier du triangle rectangle, un des angles est déjà connu par
définition. Pour déterminer tous les autres éléments, il suffit donc de connaître
-
soit l'amplitude de l'un des angles non droits et la longueur d'un des côtés,
soit la longueur d'un côté de l'angle droit et celle de l'hypoténuse,
soit la longueur des deux côtés de l'angle droit.
Cette résolution est de première importance dans de très nombreux cas pratiques
tels que la cartographie ou la navigation.
3.2.
Relations fondamentales
Considérons le triangle ABC, rectangle en [ B ] (fig. 3.1).
Plaçons un cercle trigonométrique pour mesurer l'angle en [ A ].
trigonométrique définit un petit triangle ADE, rectangle en [ D ]
Le cercle
fig. 3.1 Relations fondamentales dans un triangle rectangle
Ces deux triangles sont semblables car leurs angles sont identiques. Dès lors, leurs
côtés homologues sont dans le même rapport :
AD AE DE
=
=
AB AC BC
H. Schyns
[eq. 3.1]
3.1
Eléments de Trigonométrie
3 - Résolution de triangles rectangles
Or,
AD = cos θ
DE = sinθ
AE = 1
[eq. 3.2]
cos θ
1
sinθ
=
=
AB
AC
BC
[eq. 3.3]
d'où
Les différentes égalités nous donnent successivement
AB = AC ⋅ cos θ
[1 et 2]
[eq. 3.4]
BC = AC ⋅ sinθ
[2 et 3]
[eq. 3.5]
[2 et 3]
[eq. 3.6]
BC = AB ⋅
sinθ
= AB ⋅ tanθ
cos θ
En désignant les côtés selon la position qu'ils occupent par rapport à l'angle [ θ ] :
-
AC est l'hypoténuse,
-
AB est le côté adjacent à l'angle [ θ ],
-
BD est le côté opposé à l'angle [ θ ],
nous obtenons les expressions
Un côté = hypoténuse
Un côté = hypoténuse
Un côté = autre côté
∙ cosinus de l'angle adjacent
∙ sinus de l'angle opposé
∙ tangente de l'angle opposé
Notons comme moyen mnémotechnique que adjacent et opposés sont dans l'ordre
alphabétique comme cosinus et sinus.
3.3.
Mesurer la hauteur d'un arbre
Un observateur a déposé un appareil de visée sur le sol, à 12 mètres du pied d'un
arbre et au même niveau (fig. 3.2). Il fait une visée vers le sommet de l'arbre et
s'aperçoit que l'angle de visée fait 30° avec l'horizontale. Quelle est la hauteur de
l'arbre ?
fig. 3.2 Mesurer la hauteur d'un arbre
H. Schyns
3.2
Eléments de Trigonométrie
3 - Résolution de triangles rectangles
La fig. 3.2 montre que la visée, l'arbre et le sol définissent un triangle rectangle ABC
dont on connaît un côté et un angle et dont on désire connaître l'autre côté.
Nous devons donc appliquer la relation
Un côté =
autre côté
∙ tangente de l'angle opposé
qui devient ici
BC = AB ⋅ tan 30°
BC = 12 ⋅
3.4.
3
= 6.92 m
3
[eq. 3.7]
[eq. 3.8]
Variante
Reprenons le problème précédent.
En réalité, pour des raisons de confort évidentes, l'appareil de visée n'est pas posé
sur le sol mais bien sur un trépied à 1,50 m du sol (fig. 3.3).
A quelle distance du même arbre, l'observateur devra-t-il se placer, pour que l'angle
de visée fasse toujours un angle de 30° avec l'horizontale ?
fig. 3.3 Mesurer avec un appareil sur un trépied
Comme le montre la fig. 3.3, le triangle rectangle est maintenant décalé
verticalement de 1,50m. Comme il s'agit toujours du même arbre, nous en
déduisons que
BC = 6.92 − 1.50 = 5.42 m
[eq. 3.9]
La relation [3.7] est toujours valable mais cette fois, c'est [ AB ] que nous cherchons :
AB =
H. Schyns
BC = AB ⋅ tan 30°
[eq. 3.10]
BC
= AB
tan 30°
[eq. 3.11]
5.42
3
3
= 5.42 ⋅
3
3
= 9.39 m
[eq. 3.12]
3.3
Eléments de Trigonométrie
3.5.
3 - Résolution de triangles rectangles
Mesure d'une altitude
Lors d'une montgolfiade, Albert et Bernard tentent d'estimer l'altitude de vol des
ballons. Ils se sont placés exactement à 150 m l'un de l'autre et effectuent des
visées chaque fois qu'une montgolfière passe à la verticale de la ligne qui les
sépare.
Dans le cas présent, Albert voit une montgolfière sous un angle de 65° avec
l'horizontale tandis que Bernard la voit sous un angle de 75° (on suppose que les
appareils de visée sont au niveau du sol).
Quelle est l'altitude de la montgolfière ?
fig. 3.4 Mesurer l'altitude d'un aéronef
Le problème est schématisé à la fig. 3.4. Il s'agit de mesure la hauteur [ h ].
Malheureusement, la verticale MP ne passe certainement pas au milieu du segment
AB. Pour cela, il faudrait que le triangle AMB soit isocèle ce qui impliquerait des
angles en A et B égaux.
Faute de mieux, appelons
-
x : la distance entre Albert [ A ] et le pied de la verticale [ P ]
y : la distance entre Bernard [ B ] et le pied de la verticale [ P ]
Puisque nous avons trois inconnues (x, y, h), nous devons extraite trois équations de
l'énoncé.
La distance totale entre Albert et Bernard est connue d'où
x + y = 150
[eq. 3.13]
Dans le triangle APM nous pouvons écrire
h = x ⋅ tan 65° = 2.145 x
h − 2.145 x = 0
[eq. 3.14]
Dans le triangle BPM nous pouvons écrire
h = y ⋅ tan 75° = 3.732 y
h − 3.732 y = 0
Le système peut être résolu assez simplement de plusieurs manières.
d'application, nous allons appliquer la méthode de Gauss-Jordan :
H. Schyns
[eq. 3.15]
A titre
3.4
Eléments de Trigonométrie
3 - Résolution de triangles rectangles
x
y
h
ti
1
-2.145
1
0
0
1
150
0
0
-3.732
1
0
Comme le tableau contient déjà beaucoup de "0" et de "1", nous pouvons nous
simplifier la tâche en permutant les colonnes [ h ] et [ x ].
Ceci amène
malheureusement des zéros sur toute la diagonale. Nous allons donc effectuer une
rotation des lignes vers le haut pour contourner le problème
h
y
x
ti
h
y
x
ti
0
1
1
150
1
0
-2.145
0
1
1
0
-3.732
-2.145
0
0
0
1
0
-3.732
1
0
1
0
150
Ù
La première ligne étant déjà normalisée et la troisième contenant déjà un "0" en
première colonne, l'étape de soustraction se limite à [L2-L1] :
h
y
x
ti
1
0
-2.145
0
0
0
-3.732
1
2.145
1
0
150
h
y
x
ti
norm 2
1
0
-2.145
0
Ù
0
0
1
1
-0.575
1
0
150
La première ligne contenant déjà un "0" en deuxième colonne, l'étape de
soustraction se limite à [L3-L2] :
h
y
x
ti
h
y
x
ti
1
0
0
1
-2.145
-0.575
0
0
norm 3
1
0
0
1
-2.145
-0.575
0
0
0
0
1.575
150
Ù
0
0
1
95.24
Nous obtenons les solutions indiques par la diagonale en remontant :
h
1
0
0
y
x
0
1
0
ti
204.29
0
1
54.75
95.24
0
L1-(-2.145)L3
L2-(-0.575)L3
La montgolfière est donc à une altitude de 204,3 m que nous arrondissons à 204 m
compte tenu de l'imprécision des mesures.
Il faut bien avouer que, dans le cas présent Gauss-Jordan est un peu le canon utilisé
pour tuer une mouche.
H. Schyns
3.5
Eléments de Trigonométrie
4.
4 - Résolution de triangles quelconques
Résolution de triangles quelconques
4.1.
Principe
Un triangle quelconque peut toujours être divisé en deux triangles rectangles. Il
suffit pour cela de tracer une de ses hauteurs.
fig. 4.1 Un triangle quelconque
En partant des relations de triangles rectangles, on définit deux séries de formules
qui s'appliquent aux triangles quelconques :
-
4.2.
le formules aux sinus,
les formules aux cosinus.
Formule aux sinus
Si on note
-
A, B, C, les sommets du triangle quelconque
-
α, β, γ, les angles en ces sommets
a, b, c, les longueurs des côtés opposés à ces angles,
alors on a
a
b
c
=
=
sin α sin β sin γ
4.3.
[eq. 4.1]
Formules aux cosinus
Ces formules représentent une extension au théorème de Pythagore. Elles
expriment que, si l'angle est inférieur à un angle droit, alors le segment opposé est
inférieur à la somme des carrés des côtés :
a 2 = b 2 + c 2 − 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ cos α
[eq. 4.2]
b 2 = c 2 + a 2 − 2 ⋅ c ⋅ a ⋅ cos β
[eq. 4.3]
c 2 = a 2 + b 2 − 2 ⋅ a ⋅ b ⋅ cos γ
[eq. 4.4]
Notons que ces trois formules résultent simplement d'une rotation de a, b et c.
H. Schyns
4.1
Eléments de Trigonométrie
4.4.
4 - Résolution de triangles quelconques
Triangulation
Quand il s'agit de mesurer de distances qui ne sont pas directement accessibles, la
trigonométrie apporte une aide essentielle. Le procédé employé se nomme la
triangulation.
Le procédé a été utilisé par Delambre et Méchain de 1792 à 1799 pour mesurer la
longueur du méridien terrestre de Dunkerke à Barcelone et définir le mètre comme
unité de mesure universelle.
4.4.1. Illustration
Pour faciliter le déplacement des habitants, les autorités ont décidé de construire un
pont au-dessus d'un lac infesté de crocodiles (fig. 4.2). Ce pont doit joindre les
points [ A ] et [ B ] situés à une distance raisonnable des bords du lac.
fig. 4.2 Mesurer une distance inaccessible
Pour des raisons bien compréhensibles, les ingénieurs en charge du projet préfèrent
ne pas prendre le risque d'une mesure directe qui nécessiterait une traversée en
barque.
En contournant le lac, ils commencent par planter des jalons bien visibles de loin en
[ A ] et en [ B ]. Puis, en bordure du lac, en lieu sûr, ils mesurent très précisément le
segment de route rectiligne qui va de [ C ] à [ D ]. Ce segment mesure 300,0 m.
Ensuite, ils plantent un goniomètre en [ C ] et mesurent les angles BCD, ACD et,
pour confirmation, l'angle ACB. Ils transportent ensuite le matériel en [ D ] et
mesurent les angles ADC, BDC et, pour confirmation, l'angle ADB.
Déterminer la longueur du segment |AB| connaissant les angles :
BCD
ACD
ACB
ADC
BDC
ADB
42°
107°
65°
51°
118°
67°
4.4.2. Résolution
Le segment |AB| fait partie des triangles ABC et ABD que l'on peut résoudre à
condition de connaître trois de leurs éléments :
-
soit un côté et deux angles,
soit deux côtés et l'angle adjacent.
Comme nous connaissons déjà les angles ACB et ADB, il nous suffit de connaître la
longueur des côtés |AC| et |BC| ou |AD| et |BD|.
H. Schyns
4.2
Eléments de Trigonométrie
4 - Résolution de triangles quelconques
Pour déterminer |AC| et |AD|, nous pouvons utiliser le triangle ACD dont nous
connaissons déjà un côté |CD| et deux angles ACD et ADC.
Sachant que la somme des angles d'un triangle vaut 180°, l'angle au sommet CAD
vaut :
CAD = 180° − ACD − ADC = 180° − 107° − 51° = 22°
En appliquant la relation aux sinus [4.1] :
CD
sin CAD
=
AD
sin ACD
=
AC
sin ADC
[eq. 4.5]
AD
AC
300
=
=
sin 22° sin 107° sin 51°
Les deux premiers membres donnent :
sin 107°
0.9563
= 300 ⋅
= 765.9 m
sin 22°
0.3746
AD = 300 ⋅
[eq. 4.6]
Le premier et le dernier donnent :
sin 51°
0.7771
= 300 ⋅
= 622.3 m
sin 22°
0.3746
AC = 300 ⋅
[eq. 4.7]
Pour déterminer |BC| et |BD|, nous pouvons utiliser le triangle BCD dont nous
connaissons déjà un côté |CD| et deux angles BCD et BDC.
Sachant que la somme des angles d'un triangle vaut 180°, l'angle au sommet CBD
vaut :
CBD = 180° − BCD − BDC = 180° − 42° − 118° = 20°
En appliquant la relation aux sinus [4.1] :
CD
sin CBD
=
BD
sin BCD
=
BC
sin BDC
[eq. 4.8]
BD
BC
300
=
=
sin 20° sin 42° sin 118°
Les deux premiers membres donnent :
sin 42°
0.6691
= 300 ⋅
= 586.9 m
sin 20°
0.3420
BD = 300 ⋅
[eq. 4.9]
Le premier et le dernier donnent :
BC = 300 ⋅
sin 118°
0.8829
= 300 ⋅
= 774.5 m
sin 22°
0.3420
[eq. 4.10]
Nous pouvons à présent appliquer la règle des cosinus [4.2] dans le triangle ABC
AB
H. Schyns
2
= AC
2
+ BC
2
− 2 ⋅ AC ⋅ BC ⋅ cos ACB
[eq. 4.11]
4.3
Eléments de Trigonométrie
4 - Résolution de triangles quelconques
AB
2
= 622.3 2 + 774.5 2 − 2 ⋅ 622.3 ⋅ 774.5 ⋅ cos 65°
AB
2
= 579 727.8
AB = 761.4 m
A titre de vérification, nous pouvons aussi appliquer la règle des cosinus [4.2] dans le
triangle ABD
AB
AB
2
2
= AD
2
+ BD
2
− 2 ⋅ AD ⋅ BD ⋅ cos ADB
[eq. 4.12]
= 765.9 2 + 586.9 2 − 2 ⋅ 765.9 ⋅ 586.9 ⋅ cos 67°
AB
2
= 579 781.9
AB = 761.4 m
Les deux résultats sont identiques, ce qui fait toujours plaisir.
H. Schyns
4.4
Eléments de Trigonométrie
5.
5 - Formules trigonométriques
Formules trigonométriques
5.1.
Avertissement
Les élèves sont toujours affolés quand on leur présente la liste des formules
trigonométriques, se demandant comment ils vont bien pouvoir stocker tout ça dans
leurs neurones.
En réalité, seules les deux premières formules ([5.1] et [5.2]) doivent être connues.
Pour les autres, il suffit de savoir qu'elles existent. En effet, toutes se reconstruisent
aisément à partir des deux (cinq) premières et de l'application d'un peu d'algèbre et
de sens logique.
5.2.
Angles complémentaires et supplémentaires
Il suffit de connaître les sinus et cosinus des angles du premier octant pour connaître
le sinus et le cosinus de n'importe quel angle (fig. 5.1). En d'autres mots, on peut
toujours ramener un angle dans le premier octant pour en calculer les grandeurs
trigonométriques.
fig. 5.1 Angles complémentaires et supplémentaires
-
-
Tableau des π
Angle
θ
π-θ
π+θ
-θ
sinus
sin θ
sin θ
– sin θ
– sin θ
cosinus
cos θ
– cos θ
– cos θ
cos θ
Tableau des π /2
Angle
θ
π/2 - θ
π/2 + θ
3π/2 - θ
3π/2 + θ
sinus
sin θ
cos θ
cos θ
– cos θ
– cos θ
cosinus
cos θ
sin θ
– sin θ
– sin θ
sin θ
Ces tableaux et la fig. 5.1 montrent par exemple que
cos(π − θ ) = − cos θ
π
sin( + θ ) = cos θ
2
H. Schyns
5.1
Eléments de Trigonométrie
5.3.
5 - Formules trigonométriques
Relation fondamentale
sin 2 α + cos 2 α = 1
5.4.
[eq. 5.1]
Addition d'angles
sin(α + β ) = sin α ⋅ cos β + cos α ⋅ sin β
[eq. 5.2]
sin(α − β ) = sin α ⋅ cos β − cos α ⋅ sin β
[eq. 5.3]
cos(α + β ) = cos α ⋅ cos β − sin α ⋅ sin β
[eq. 5.4]
cos(α − β ) = cos α ⋅ cos β + sin α ⋅ sin β (1)
[eq. 5.5]
tan(α + β ) =
tan α + tan β
1 − tan α ⋅ tan β
[eq. 5.6]
tan(α − β ) =
tan α − tan β
1 + tan α ⋅ tan β
[eq. 5.7]
5.5.
Angles doubles
sin 2α = 2 sin α ⋅ cos α
[eq. 5.8]
cos 2α = cos 2 α − sin 2 α
[eq. 5.9]
cos 2α = 2 cos 2 α − 1
[eq. 5.10]
cos 2α = 1 − 2 sin 2 α
[eq. 5.11]
tan 2α =
5.6.
2 tan α
1 − tan 2 α
[eq. 5.12]
Formes tangente
tan α
sin α = ±
1 + tan 2 α
cos α = ±
1
2
[eq. 5.13]
[eq. 5.14]
1 + tan α
Ces formes sont très utiles en analyse de fonction car elles permettent de retrouver
le sinus et cosinus d'un angle à partir de la tangente donnée par la dérivée.
5.7.
Angles demis
α
2
sin α =
α
1 + tan 2
2
2 tan
[eq. 5.15]
1 Le moyen mnémotechnique consiste à dire que le sinus partage et est conciliant tandis que le cosinus est
égoïste (lui d'abord) et contradictoire (- devient + et réciproquement).
H. Schyns
5.2
Eléments de Trigonométrie
5 - Formules trigonométriques
α
2
cos α =
α
1 + tan 2
2
[eq. 5.16]
α
2
tan α =
α
1 − tan 2
2
[eq. 5.17]
1 − tan 2
2 tan
5.8.
Somme - Produit (Simpson)
sin α + sin β = 2 sin(
α+β
α −β
) ⋅ cos(
)
2
2
[eq. 5.18]
α+β
α−β
) ⋅ sin(
)
2
2
[eq. 5.19]
sin α − sin β = 2 cos(
cos α + cos β = 2 cos(
α+β
α−β
) ⋅ cos(
)
2
2
[eq. 5.20]
α+β
α −β
) ⋅ sin(
)
2
2
[eq. 5.21]
cos α − cos β = −2 sin(
Evidemment, en manipulant un peu les formules, peut aussi transformer un produit
en somme.
H. Schyns
5.3
Eléments de Trigonométrie
6.
6 - Trigonométrie et repères
Trigonométrie et repères
6.1.
Rotation de repères
6.1.1. Position du problème
Ce problème de la rotation des repères est de première importance dans tous les
programmes d'animation vidéo, la circulation maritime et aérienne, etc.
fig. 6.1 Rotation d'un repère orthonormé
Un point [ A ] est repéré par les coordonnées (xA, yA) dans un système d'axes
orthonormés x,y dont les unités sont respectivement e1 et e2 (fig. 6.1).
Le point [ A ] étant fixe, on fait pivoter le repère d'un angle [ θ ] dans le sens
trigonométrique. Les axes sont orientés selon x' et y' et les unités sont e' 1 et e'2.
Dans ce nouveau repère, les coordonnées du point [ A ] sont devenues (x'A, y'A).
Comment exprimer x'A et y'A en fonction de xA, yA et θ ?
Pour rendre le schéma plus parlant, nous pouvons imaginer [ A ] est une tour de
contrôle et que xA et yA représentent respectivement l'axe du fuselage et des ailes
d'un avion qui change de cap.
6.1.2. Résolution
Observons tout d'abord que ABDx'A est un rectangle et, d'autre part, que tous les
triangles rectangles de la figure sont semblables car l'un des angles aigus vaut [ θ ].
Considérons le segment Ox'A. Il est formé du petit côté du triangle I (OyAD) et du
grand côté du triangle III (BAyA).
Ox ′A = OD + Dx ′A
[eq. 6.1]
OD = Oy A ⋅ sinθ
[eq. 6.2]
Or
H. Schyns
6.1
Eléments de Trigonométrie
6 - Trigonométrie et repères
Dx' A = BA = y A A cosθ = Ox A cosθ
[eq. 6.3]
Ox ′A = Ox A cos θ + Oy A sinθ
[eq. 6.4]
ou, en revenant aux abscisses et ordonnées, ce qui revient au même :
x ′A = x A ⋅ cos θ + y A ⋅ sinθ
[eq. 6.5]
Considérons à présent le segment Oy'A. Il est formé du grand côté du triangle I
(OyAD) dont on soustrait le petit côté du triangle III (BAyA)
Oy ′A = OE − y ′A E
[eq. 6.6]
OE = Oy A ⋅ cos θ
[eq. 6.7]
y' A E = By A = y A A sinθ = Ox A sinθ
[eq. 6.8]
Oy ′A = Oy A cosθ − Ox A sinθ
[eq. 6.9]
Or
ou, en revenant aux abscisses et ordonnées, ce qui revient au même :
y ′A = − x A ⋅ sinθ + y A ⋅ cos θ
[eq. 6.10]
Nous obtenons ainsi un premier système qui donne les coordonnées dans le repère
qui a pivoté en fonction de celles du repère initial
x ′A = x A ⋅ cos θ + y A ⋅ sinθ

y ′A = − x A ⋅ sinθ + y A ⋅ cosθ
[eq. 6.11]
Les coordonnées de e'1 et e'2 dans le repère (e1, e2) sont
e1′ ≡ (cos θ , sinθ )
e ′2 ≡ ( − sinθ , cos θ )
[eq. 6.12]
ce qui constitue un moyen mnémotechnique des équations [6.11].
Pour trouver la transformation inverse, il suffit de multiplier la première équation par
sin θ; la seconde par cos θ et de les additionner membre à membre sans oublier
d'utiliser la relation fondamentale :
y A = x ′A ⋅ sinθ + y ′A ⋅ cos θ
[eq. 6.13]
Si nous faisons le contraire, multiplier la première équation par cos θ; la seconde par
sin θ et ensuite les soustraire membre à membre nous obtenons :
x A = x ′A ⋅ cosθ − y ′A ⋅ sin θ
[eq. 6.14]
Nous obtenons ainsi un second système qui donne les coordonnées dans le repère
initial en fonction de celles du repère qui a pivoté :
x A = x ′A ⋅ cos θ − y ′A ⋅ sinθ

y A = x ′A ⋅ sinθ + y ′A ⋅ cos θ
H. Schyns
[eq. 6.15]
6.2
Eléments de Trigonométrie
6 - Trigonométrie et repères
Les coordonnées de e1 et e2 sont dans le repère (e'1, e'2)
e1 ≡ (cosθ ,− sinθ )
e 2 ≡ (sinθ , cosθ )
[eq. 6.16]
ce qui constitue un moyen mnémotechnique des équations [6.15].
6.1.3. Illustration
Lors du rallye Paris-Dakar, une jeep se dirige plein Est sur la piste H (fig. 6.2).
Les concurrents désirent se réapprovisionner en eau soit à l'oasis Ben Zihn, soit à
l'oasis Al Ahmer. Selon les indications de leur carte, pour atteindre la première, ils
doivent suivre la piste H pendant encore 30 km puis prendre plein Nord à travers
tout pendant 45 km. Pour la seconde, ils doivent poursuivre vers l'Est pendant
120 km puis prendre plein Nord a travers tout pendant 30 km.
Les concurrents peuvent aussi prendre la track A, plus avantageuse, mais très mal
tracée et qui nécessite pratiquement une navigation à la boussole. De plus la carte
ne donne aucune indication quant aux distances auxquelles ils devront essayer de
retrouver les traces qui tournent à angle droit pour atteindre les oasis, ni quelles
distances ils devront parcourir sur ces traces.
Déterminez ces distances sachant que l'orientation générale de la track A fait un
angle de 38° vers le Nord avec la piste H.
fig. 6.2 Détermination des coordonnées des oasis
Dans le système d'axes formé par la piste H (axe x) et la direction du Nord (axe y),
les coordonnées des deux oasis sont
-
Ben Zihn (30, 45),
Al Ahmer (120, 30);
Le problème se ramène à situer les oasis dans un système d'axes formé par la
track A (axe x) et sa perpendiculaire (axe y) sachant que ce système d'axes a subi
une rotation de 38° par rapport au premier.
Les distances sont facilement déterminées par les équations [6.11] qui donnent, pour
la première oasis :
x ′A = 30 ⋅ cos 38° + 45 ⋅ sin 38°

y ′A = −30 ⋅ sin 38° + 45 ⋅ cos 38°
H. Schyns
[eq. 6.17]
6.3
Eléments de Trigonométrie
6 - Trigonométrie et repères
x ′A = 30 ⋅ 0.788 + 45 ⋅ 0.616 = 51.4 km

y ′A = −30 ⋅ 0.616 + 45 ⋅ 0.788 = 17.0 km
[eq. 6.18]
x ′A = 120 ⋅ cos 38° + 30 ⋅ sin 38°

y ′A = −120 ⋅ sin 38° + 30 ⋅ cos 38°
[eq. 6.19]
x ′A = 120 ⋅ 0.788 + 30 ⋅ 0.616 = 113.0 km

y ′A = −120 ⋅ 0.616 + 30 ⋅ 0.788 = −50.3 km
[eq. 6.20]
et pour la seconde :
Le chiffre négatif signifie simplement qu'après 113 km sur la track A, il faudra tourner
à droite et non à gauche et rouler pendant 50.3 km.
Le chemin pour atteindre l'oasis Ben Zihn est plus court par la track A (68.4 km au
lieu de 75 km) tandis que celui pour atteindre l'oasis Al Ahmer est plus long
(163.3 km au lieu de 150 km).
6.2.
Coordonnées polaires
6.2.1. Principe
Jusqu'à présent, nous avons l'habitude de repérer un point [ A ] dans le plan grâce à
un système d'axes orthonormés. Un tel système est appelé système rectangulaire.
La position du point [ A ] est connue par ses coordonnées (xA, yA) appelées
coordonnées cartésiennes.
fig. 6.3 Définition des coordonnées polaires
Il est également possible de repérer un point dans le plan en utilisant un autre
système. On choisit une droite du plan et, sur cette droite, un point particulier appelé
pôle. D'habitude, pour faciliter le passage d'un système à l'autre, on fait coïncider
cette droite avec l'axe [ x ] et le pôle avec l'origine [ O ]. Dans ce système, appelé
système polaire, un point est repéré par la distance qui le sépare de l'origine c'està-dire par longueur du rayon [ ρ ] et par l'angle [ ϕ ] que fait ce rayon avec la droite
de référence. Les coordonnées polaires d'un point sont (ρ,ϕ).
On note qu'il faut deux coordonnées dans un système comme dans l'autre car le
plan est un espace à deux dimensions.
Les coordonnées polaires sont particulièrement pratiques quand on doit traiter un
problème qui présente une géométrie circulaire ou cylindrique :
H. Schyns
6.4
Eléments de Trigonométrie
-
6 - Trigonométrie et repères
position d'un satellite sur une orbite,
navigation de haute mer à la boussole,
position d'un secteur sur un disque dur.
6.2.2. Conversions
Transformation des coordonnées rectangulaires vers les coordonnées polaires :
x A = ρ ⋅ cos ϕ
[eq. 6.21]
y A = ρ ⋅ sin ϕ
Transformation des coordonnées polaires vers les coordonnées rectangulaires :
Par Pythagore :
ρ 2 = x 2A + y 2A
[eq. 6.22]
ρ = x 2A + y 2A
En divisant membre à membre les deux équations [6.21]
y
tan ϕ = A
xA
y
ϕ = arctan  A
 xA



[eq. 6.23]
6.2.3. Rotations
Les rotations de système d'axes autour de l'origine sont particulièrement simples en
coordonnées polaires car le rayon reste inchangé.
fig. 6.4 Rotation des coordonnées polaires
Les coordonnées polaires du point [ A ] qui étaient
A ≡ (ρ,ϕ )
[eq. 6.24]
A ≡ ( ρ, ϕ − θ )
[eq. 6.25]
deviennent simplement
H. Schyns
6.5
Eléments de Trigonométrie
6 - Trigonométrie et repères
En joignant ce résultat aux équations [6.11] vues au point 6.1.2 , nous démontrons
l'une des formules trigonométriques :
Lorsque le repère rectangulaire et la droite de référence pivotent conjointement d'un
angle [ θ ], nous pouvons écrire :
x 'A = ρ ⋅ cos(ϕ − θ )
y 'A = ρ ⋅ sin(ϕ − θ )
[eq. 6.26]
Or, par [6.11], nous savons que
x ′A = x A ⋅ cos θ + y A ⋅ sinθ

y ′A = − x A ⋅ sinθ + y A ⋅ cosθ
[eq. 6.27]
et, d'autre part
x A = ρ ⋅ cos(ϕ )
y A = ρ ⋅ sin(ϕ )
[eq. 6.28]
d'où, nous pouvons écrire, pour la première équation
ρ ⋅ cos(ϕ − θ ) = ρ ⋅ cos ϕ ⋅ cos θ + ρ ⋅ sin ϕ ⋅ sin θ
[eq. 6.29]
Ce qui démontre la formule importante [5.5]
cos(ϕ − θ ) = cos ϕ ⋅ cos θ + sin ϕ ⋅ sin θ
[eq. 6.30]
En nous servant de la deuxième équation, nous démontrons de manière similaire
que
sin(ϕ − θ ) = sin ϕ ⋅ cos θ + cos ϕ ⋅ sin θ
H. Schyns
[eq. 6.31]
6.6
Eléments de Trigonométrie
7.
7 - Récréation mathématique
Récréation mathématique
7.1.
Déterminer le rayon de la Terre
Fin septembre, une personne allongée sur une plage tropicale admire le coucher de
soleil.
Au moment où le soleil disparaît sous l'horizon, elle déclenche le chrono de son
GSM et se relève rapidement, ce qui lui permet d'observer un deuxième coucher de
soleil quelques secondes plus tard.
Donnez une estimation du rayon du globe terrestre, sachant que, quand la personne
est debout, ses yeux sont à 1.60 mètres du sol et qu'il s'écoule exactement
11.0 secondes entre les deux disparitions du soleil.
fig. 7.1 Schéma de principe (vu à la verticale du pôle Nord)
La fig. 7.1 schématise les observations. Elle représente la Terre vue depuis un point
situé à la verticale du pôle Nord. Le rayon terrestre est noté [ r ] et [ h ] est la taille
de la personne (très exagérée).
Lorsque la personne est couchée en [ C ], son regard définit un plan tangent à la
Terre et un horizon [ H1 ] sous lequel disparaît le soleil.
Lorsqu'elle se relève, son regard définit un nouveau plan tangent [ DT ] et un nouvel
horizon [ H2 ] sous laquelle disparaît à nouveau le soleil.
Les deux plans tangents [ H1 ] et [ H2 ] forment entre eux un angle [ α ]
Par définition, les deux plans tangents [ H1 ] et [ H2 ] sont perpendiculaires aux
rayons terrestres, respectivement [ OC ] et [ OT ]. Ces deux rayons forment donc
également entre eux l'angle [ α ] que nous allons estimer.
Nous savons que la Terre accomplit une rotation de 2π radians en 24 heures. Par
conséquent, en 11.0 secondes, elle pivote d'un angle de
α =
H. Schyns
2π ⋅ 11.0
= 8.0 ⋅ 10 −4 rad
24 ⋅ 60 ⋅ 60
[eq. 7.1]
7.1
Eléments de Trigonométrie
7 - Récréation mathématique
Cet angle très petit ne correspond qu'à une fraction du diamètre solaire (1).
Par définition de l'angle, la mesure de l'arc de cercle [ CT ] est donnée par
CT = r ⋅ α
[eq. 7.2]
D'un autre côté, [ ODT ] forme un triangle rectangle en [ T ]. Par Pythagore, nous
pouvons écrire :
r 2 + DT 2 = (r + h) 2
[eq. 7.3]
r 2 + DT 2 = r 2 + 2 ⋅ rh + h 2
[eq. 7.4]
DT 2 = 2 ⋅ rh + h 2
[eq. 7.5]
Cependant, comme [ h ] est très petit par rapport à [ r ], nous pouvons négliger le
terme [ h2 ] à côté du terme [ rh ], d'où :
DT 2 = 2 ⋅ rh
[eq. 7.6]
Nous pouvons à présent relier les équations [7.2] et [7.6]. Comme l'angle [ α ] est
très petit, l'arc [ CT ] se confond avec le segment [ DT ]. En effet, pour de petits
angles nous savons que
tan α = α
[eq. 7.7]
r ⋅ tan α = r ⋅ α
[eq. 7.8]
DT= CT
[eq. 7.9]
En élevant les deux membres au carré et en substituant, nous pouvons écrire :
2 ⋅ rh = (r ⋅ α )2
[eq. 7.10]
puis extraire le rayon
r=
r=
2 ⋅ 1.60
(8.0 ⋅ 10 )
−4 2
2 ⋅h
α2
= 0.05 ⋅ 10 8 m = 5 000 km
[eq. 7.11]
[eq. 7.12]
Ce qui n'est pas une si mauvaise estimation compte tenu des moyens du bord !
7.2.
Calculer la longitude d'un lieu
L'expérience précédente nous a donné une bonne approximation de la longueur du
rayon terrestre. Mais l'écart par rapport à la vraie valeur est-elle vraiment due à une
imprécision de calcul ?
En réalité, la personne n'est pas située à l'équateur; elle est sur une plage tropicale
située à une latitude [ λ ] (fig. 7.2). Du moins, c'est ce qu'elle prétend.
1 Comme le disque solaire est vu sous un angle apparent de 9.3.10-3 radian (environ 0.5°), le fait de se
relever ne fait réapparaître qu'une petite fraction du diamètre solaire au dessus de l'horizon. La différence
est plus spectaculaire quand on monte au dernier étage d'un immeuble (minutes) ou en avion (heures).
H. Schyns
7.2
Eléments de Trigonométrie
7 - Récréation mathématique
fig. 7.2 Inclinaison des rayons solaires (vu à la verticale de l'équateur)
A l'équinoxe, à l'équateur (1), les rayons solaires tombent dans un plan vertical [ve].
A l'endroit de l'observateur, ils tombent dans un plan CC' qui fait un angle [ λ ] avec
la verticale locale [vl].
En effet, la figure montre que les angles [ EOC ] et [ OCA ] sont égaux car alternes
internes par rapport aux parallèles. L'angle entre les rayons solaires et la verticale
locale [vl] vaut également [ λ ] car correspondant à [ EOC ].
Vu de la plage, un coucher de soleil se fait donc selon une verticale à l'équateur et, à
l'endroit où notre observateur se prélasse, selon une trajectoire inclinée (fig. 7.3).
fig. 7.3 Trajectoire apparente d'un coucher de soleil
à l'équateur (à gauche) et à la latitude λ (à droite)
Est-il possible de déterminer la latitude [ λ ] de la plage à partir des mesures sachant
que la valeur exacte du rayon terrestre est de 6 366 km ?
Commençons par définir la durée du coucher de soleil comme étant le temps qui
s'écoule entre le moment où le disque solaire est visible et tangent à l'horizon et le
moment où son dernier rayon disparaît derrière l'horizon (le disque solaire est alors
tangent en dessous de l'horizon).
La fig. 7.3 montre clairement que, à l'équateur, le disque solaire parcourt une
distance apparente [ ds ] qui correspond à un diamètre solaire. Cette distance est
identique à la distance [ de ] que parcourt le centre de [ A e ] à [ Be ].
1 Sauf spécification contraire, par "à l'équateur", nous entendons "à l'équateur aux dates des équinoxes" càd
quand le soleil est dans le plan de l'équateur.
H. Schyns
7.3
Eléments de Trigonométrie
7 - Récréation mathématique
Par contre, à la latitude [ λ ], le disque solaire parcourt une distance apparente [ dl ]
plus longue telle que
d e = d l ⋅ cos λ
[eq. 7.13]
or la vitesse linéaire apparente du soleil est constante en tout point de sa trajectoire,
quel que soit l'endroit depuis lequel on l'observe (1).
Le segment [ de ] étant plus court que le segment [ dl ], nous déduisons que la durée
d'un coucher de soleil est minimale à l'équateur. Elle augmente au fur et à mesure
qu'on se rapproche des pôles car [ λ ] augmente.
La Terre pouvant être assimilée à une sphère, c'est pourtant exactement la même
fraction du soleil qui réapparaît au-dessus de l'horizon quand l'observateur se relève.
En effet, l'angle des plans tangents [ H1 ] et [ H2 ] (fig. 7.1) ne dépend que de la
taille de l'observateur et du rayon terrestre.
Toutefois, faire redisparaître cette fraction sous l'horizon prendra plus de temps [ tfl ]
à la latitude [ λ ] qu'à l'équateur [ tfe ]. Des considérations sur les triangles
semblables nous démontrent que le rapport des durées de redisparition est égal au
rapport des distances apparentes :
t fe = t fl ⋅ cos λ
[eq. 7.14]
Connaissant le diamètre apparent du soleil (9.3.10-3 rad), nous pourrions aisément
calculer la durée d'un coucher de soleil à l'équateur [ tse ] et la comparer la durée
locale [ tsl ] pour en déduire la latitude car la même formule s'applique :
t se = t sl ⋅ cos λ
[eq. 7.15]
et
t se = 24 ⋅ 60 ⋅ 60
9.3 ⋅ 10 −3
= 127.9 s
2π
[eq. 7.16]
d'où
λ = a cos(
127.9
)
t sl
[eq. 7.17]
Malheureusement, nous ne disposons pas de ces chiffres.
pouvons reprendre le raisonnement effectué au point 7.1
Cependant, nous
Nous pouvons commencer par utiliser [7.14] pour transformer le "temps local" en
"temps à l'équateur" que nous introduisons dans l'équation [7.1]
α =
2π ⋅ 11 ⋅ cos λ
= 8.0 ⋅ 10 −4 ⋅ cos λ
24 ⋅ 60 ⋅ 60
[rad]
[eq. 7.18]
Ensuite, nous reprenons l'équation [7.11], sachant que cette fois, nous connaissons
le rayon à l'équateur :
r=
α =
2 ⋅h
α2
2⋅h
r
[eq. 7.19]
[eq. 7.20]
1 Ce n'est pas tout à fait exact car la Terre décrit une orbite elliptique et non circulaire autour du soleil.
H. Schyns
7.4
Eléments de Trigonométrie
7 - Récréation mathématique
cos λ =
cos λ =
[eq. 7.21]
2 ⋅ 1.60
= 0.886
6 366 000
[eq. 7.22]
8.0 ⋅ 10 −4
1
8.0 ⋅ 10
2⋅h
r
1
−4
⋅
⋅
Plus simplement, nous pouvons aussi dire que le cosinus est égal à la racine carrée
du rapport entre le rayon terrestre estimé et le rayon vrai :
cos λ =
restim
=
rvrai
5 000
= 0.886
6 366
[eq. 7.23]
d'où, en prenant la fonction inverse
λ = 0.482 rad = 27.6°
La valeur obtenue situe l'observateur un peu au nord du tropique du Cancer (23,5°
Nord) ou un peu au sud du tropique du Capricorne (23,5° Sud).
Il nous faudrait encore corriger en fonction de la date car la latitude s'exprime par
rapport au parallèle qui voit le soleil au zénith. Au solstice d'hiver, le soleil est au
zénith du tropique du Capricorne; au solstice d'été, il est au zénith du tropique du
Cancer; aux équinoxes, il est au zénith de l'équateur.
L'énoncé précise que l'observation se passe fin septembre, c'est à dire à proximité
de l'équinoxe d'automne. il n'y a donc pas lieu de corriger nos observations.
Cette personne est bel et bien sur une plage tropicale alors que d'autre font de la
trigono ! Il y en a qui ont de la chance !
H. Schyns
7.5
Eléments de Trigonométrie
8.
8 - Exercices
Exercices
(A suivre...)
H. Schyns
8.1
Eléments de Trigonométrie
9.
9 - Lettres grecques
Lettres grecques
H. Schyns
Maj
Min
imprim
Min
cursive
Nom
Α
α
Ñ
alpha
Ν
ν
Ý
nu
Β
β
Ò
bêta
Γ
γ
Ó
gamma
Δ
δ
Ô
delta
Ε
ε
é
epsilon
Ζ
ζ
Ö
zêta
Η
η
×
êta
Θ
θ
ê
thêta
Ι
ι
Ù
iota
Κ
κ
Ú
kappa
Λ
λ
Û
lambda
Μ
μ
Ü
mu
Ξ
ξ
Þ
xi ou ksi
Ο
ο
ß
omicron
Π
π
à
pi
Ρ
ρ
á
rhô
Σ
σς
âí
sigma
Τ
τ
ã
tau
Υ
υ
ä
upsilon
Φ
φ
î
phi
Χ
χ
æ
chi ou khi
Ψ
ψ
ç
psi
Ω
ω
è
oméga
9.1
Eléments de Trigonométrie
10.
10 - Sources
Sources
-
Elementary and intermediate algebra
Allen R. Angel
Prentice Hall
-
Degrees (angle)
Rop Pierce
www.mathisfun.com
http://www.mathisfun.com/geometry/degrees.html
-
Sine (et fonctions connexes)
Eric Weisstein
Wolfram Mathworld
http://mathworld.wolfram.com/sine.html
-
Trigonométrie
Anonyme
Wikipédia
http://fr.wikipedia.org/wiki/trigonométrie.html
-
Fonction Trigonométrique
Anonyme
Wikipédia
http://fr.wikipedia.org/wiki/fonction_trigonométrique.html
-
Grade (angle)
Anonyme
Wikipédia
http://fr.wikipedia.org/wiki/Grade_(angle).html
-
Mil angulaire
Anonyme
Wikipédia
http://fr.wikipedia.org/wiki/Mil_angulaire.html
-
The measure of all things
Ken Alder
The Free Press
Un excellent récit de l'épopée de sept ans qui a conduit à la définition du mètre.
H. Schyns
10.1