Expressions algébriques et équations 1 Développement 2

Expressions algébriques et équations
Règles de bases :
R1 : A × B = B × A
R2 : (A × B) × C = A × (B × C)
1
1.1
Développement
Règle
La seule règle supplémentaire est R3 : A × (B + C) = A × B + A × C.
A, B, et C peuvent être des nombres ou des expressions entre parenthèses.
1.2
Exemples
Détaillez chaque calcul en nommant la règle (R1, R2 ou R3) utilisée et ne pas oublier de réduire
l’expression finale :
1.3
•
2x(x − 3) = . . .
•
(2x + 4)(−x + 3) = . . .
•
−5x(2x + 4) − (−x + 3)(4x − 7) = . . .
Pour aller plus vite
Les égalités remarquables :
(A + B)2 = A2 + 2AB + B 2
(A − B)2 = A2 − 2AB + B 2
(A + B)(A − B) = A2 − B 2
Exemple : (3x − 5)2 = (3x)2 − 2 × 3x × 5 + 52 = 9x2 − 30x + 25
2
2.1
Factorisation
Règles
La règle R3 : A × B + A × C = A × (B + C)
les égalités remarquables :
A2 + 2AB + B 2 = (A + B)2
A2 − 2AB + B 2 = (A − B)2
A2 − B 2 = (A + B)(A − B)
1
2.2
Facteur commun
C’est le cas le plus simple : on applique la règle R3.
Exemples :
• 6x2 − 3x(x − 5) = 3x × 2x − 3x(x − 5) = 3x[2x − (x − 5)] = 3x(x + 5)
• (2x − 1)2 + (3x − 5)(2x − 1) = (2x − 1)(2x − 1) + (2x − 1)(3x − 5) = (2x − 1)[(2x −
1) + (3x − 5)] = (2x − 1)(5x − 6)
2.3
Pas de facteur commun
2.3.1
On reconnait une égalité remarquable
Exemple : (3x−2)2 −16x2 = (3x−2)2 −(4x)2 = (3x−2+4x)(3x−2−4x) = (7x−2)(−x−2)
On a utilisé la troisième égalité remarquable.
2.3.2
Factorisation partielle
Exemple : (2x − 1)2 + 6x2 − 3x = (2x − 1)(2x − 1) + 3x(2x − 1) = (2x − 1)[. . .] = . . .
Il y a maintenant un facteur commun et on peut continuer.
2.3.3
On développe
Exemple : (2x + 3)2 − 2x(x − 6) + 7(x2 + 1) = 4x2 + 12x + 9 − 2x2 + 12x + 7x2 + 7 =
+ 24x + 16 = (3x + 4)2
Après le développement, on peut factoriser s’il y a un facteur commun ou si on reconnait une
égalité remarquable. Sinon on ne peut pas factoriser !
9x2
Exemple x2 + 2x + 10 ne peut pas se factoriser.
On peut l’écrire comme une somme de deux carrés : (x + 1)2 + 32 .
3
Equations
A savoir :
alors x = −
si ax + b = 0
b
a
et
un produit est nul si l’un des facteurs est nul
On essaie donc de se ramener à une équation du type : ax + b = 0
ou : (ax + b)(cx + d)(ex + f ) . . . = 0
2
3.1
Equations simples
Exemple : 3(x − 5) + 5x = −2x + 3
on développe : 3x − 15 + 5x = −2x + 3
on regroupe : 3x + 5x + 2x − 15 − 3 = 0
on réduit : 10x − 18 = 0
on résoud : x =
3.2
18 9
=
10 5
ou x = 1, 8
Equations produit
Méthode : on regroupe tous les termes du même côté de l’égalité et on factorise.
Exemple : (2x − 1)2 = −6x2 + 3x
on regroupe : (2x − 1)2 + 6x2 − 3x = 0
on factorise l’expression de gauche : (2x − 1)(2x − 1) + 3x(2x − 1) = 0,
soit (2x − 1)(2x − 1 + 3x) = 0,
c’est-à-dire : (2x − 1)(5x − 1) = 0
on résoud sachant que l’un des facteur est nul : 2x − 1 = 0
les solutions sont donc x =
3.3
ou
5x − 1 = 0
1
1
et x =
2
5
Exercice
On donne P (x) = (3x − 5)2 − 4.
1. Développer P (x).
2. Factoriser P (x).
3. Résoudre les équations suivantes en choisissant l’une des trois formes de P (x) :
(a) P (x) = 0
(b) P (x) = 21
(c) P (x) = 5
3