22 novembre 2013 Correction contrôle de mathématiques Du jeudi 14 novembre 2013 Exercice 1 Résoudre dans R les équations suivantes : (4 points) 1) 3x + 7 − (5x + 3) = 4x − 2(1 + 2x) + 1, on a alors : 3x + 7 − 5x − 3 = 4x − 2 − 4x + 1 3x − 5x − 4x + 4x = −7 + 3 − 2 + 1 −2x = −5 ( ) 5 5 S = x= 2 2 x 1 + 5x 1 , on a alors : 2) 3 + (x − 4) − = 3 2 6 (×6) 3) 2x − 18 + 2(x − 4) − 3x = 1 + 5x 18 + 2x − 8 − 3x = 1 + 5x 2x − 3x − 5x = −18 + 8 + 1 −6x = −9 ( ) 3 3 x= S = 2 2 3x + 1 3x − 1 3x + 1 = + , on a alors : 4 8 2 (×8) 16x − 2(3x + 1) = 3x − 1 + 4(3x + 1) 16x − 6x − 2 = 3x − 1 + 12x + 4 16x − 6x − 3x − 12x = 2 − 1 + 4 −5x = 5 x = −1 S = {−1} 4) (2x + 1)(2 − 3x) + 6x2 = 2 − 3x, on a alors : 4x − 6x2 + 2 − 3x + 6x2 = 2 − 3x 4x − 3x + 3x = 2 − 2 4x = 0 x=0 S = {0} Paul Milan 1 Seconde B correction du contrôle de mathématiques Exercice 2 Résoudre dans R les équations suivantes (5 points) 1) 2(3x + 4)(2x − 1) = 0 Èquation produit : 3x + 4 = 0 ou 2x − 1 = 0 1 4 ou x= x=− 3 2 ( ) 4 1 S = − ; 3 2 2) (2x + 3)(7x + 2) − (4x + 1)(2x + 3) = 0 On factorise par (2x + 3) : (2x + 3)[(7x + 2) − (4x + 1)] = 0 (2x + 3)(7x + 2 − 4x − 1) = 0 (2x + 3)(3x + 1) = 0 2x + 3 = 0 ou 3x + 1 = 0 1 3 ou x=− x=− 2 3 ) ( 3 1 S = − ;− 2 3 3) x2 − 4x(x − 3) = 0 On factorise par x : x[x − 4(x − 3)] = 0 x(x − 4x + 12) = 0 x(−3x + 12) = 0 −3x(x − 4) = 0 x = 0 ou x−4=0 x=4 S = {0; 4} 4) 4x2 + 28x + 49 = 0 2 (2x + 7) = 0 On factorise par une l’identité remarquable : ⇔ 2x + 7 = 0 ⇔ 7 x=− 2 ⇔ ( ) 7 S = − 2 5) (x − 3)(x + 2) + (x − 3)(2x + 3) + x2 − 9 = 0 On met en évidence un facteur commum : (x − 3)(x + 2) + (x − 3)(2x + 3) + (x + 3)(x − 3) = 0 (x − 3)(x + 2 + 2x + 3 + x + 3) = 0 (x − 3)(4x + 8) = 0 4(x − 3)(x + 2) = 0 x − 3 = 0 ou x=3 ou x+2=0 x = −2 S = {−2; 3} Paul Milan 2 Seconde B correction du contrôle de mathématiques 6) (5x + 3)2 = (2 − 3x)2 Égalité de deux carrés : 5x + 3 = 2 − 3x 5x + 3x = 2 − 3 8x = 1 1 x=− 8 ou ou ou 5x + 3 = −2 + 3x 5x − 3x = −2 − 3 2x = −5 5 ou x=− 2 ( ) 5 1 S = − ;− 2 8 Exercice 3 Equation du troisième degré. (3 points) 1) Résoudre dans R : (2x2 + 3)(x − 4) = 0 On a : ∀x ∈ R, 2x2 + 3 > 3 donc 2x2 + 3 , 0 On a alors qu’une seule solution : x = 4 soit S = {4} 2) a) Développer, réduire et ordonner : P(x) = (x + 3)(2x − 5)(−x + 4) On a : P(x) = (2x2 − 5x + 6x − 15)(−x + 4) = (2x2 + x − 15)(−x + 4) = −2x3 + 8x2 − x2 + 4x + 15x − 60 = −2x3 + 7x2 + 19x − 60 b) Du a) on déduit que : −2x3 + 7x2 + 19x − 60 = 0 ⇔ (x + 3)(2x − 5)(−x + 4) = 0 On obtient les solutions suivantes : x + 3 = 0 ou x = −3 2x − 5 = 0 ou 5 ou x= ou 2 ( ) 5 S = −3; ; 4 2 −x + 4 = 0 x=4 Exercice 4 Forme développée, semi-développée et factorisée (4 points) 1) a) On a : E(x) = 25x2 − 30x + 9 + (−2x + 2)(5x − 3) = 25x2 − 30x + 9 − 10x2 + 6x + 10x − 6 = 15x2 − 14x + 3 b) On factorise par (5x − 3) E(x) = (5x − 3)[(5x − 3) − 2(x − 1)] = (5x − 3)(5x − 3 − 2x + 2) = (5x − 3)(3x − 1) Paul Milan 3 Seconde B correction du contrôle de mathématiques 2) a) E(x) = 0 ⇔ (5x − 3)(3x − 1) = 0 5x − 3 = 0 3 x= 5 ou 3x − 1 = 0 1 ou x= 3 ( ) 1 3 S = ; 3 5 b) E(x) = 3 ⇔ 15x2 − 14x + 3 = 3 x=0 c) E(x) = (5x − 3)2 ⇔ ⇔ x(15x − 14) = 0 ou 15x − 14 = 0 14 x= 15 ( ) 14 S = 0; 15 (5x − 3)2 − 2(x − 1)(5x − 3) = (5x − 3)2 ⇔ 2x(x − 1)(5x − 3) = 0 x − 1 = 0 ou 5x − 3 = 0 3 x=1 ou x= 5 ( ) 3 S = ;1 5 Exercice 5 Problèmes. (4 points) 1) Soit x : prix initial d’un chemise en e. On calcule ce que le commerçant a encaissé : 43x + 17(x − 1) + 1, 5(100 − 43 − 17) = 1243 43x + 17x − 17 + 1, 5 × 40 = 1243 60x = 1243 + 17 − 60 60x = 1200 ⇔ x = 20 Le prix initial de la chemise est de 20 e. 2) Soit x : l’âge de Xavier On fait la somme des âges des 3 frères : (x − 3) + x + (x + 5) = 26 3x + 2 = 26 3x = 24 ⇔ x=8 Xavier a donc 8 ans, son petit frère 5 ans et son grand frère 13 ans. Paul Milan 4 Seconde B