SERIE N2 Intégrales dépendants d'un paramètre. 2018/2019 ENSA-ALHOCEIMA ANALYSE 4 CP II SEMESTRE 2 Exercice 1 : Calculer les limites des suites suivantes : =∫ =∫ , =∫ = , =∫ =∫ , =∫ , ∫ . Exercice 2 : Soit : ℝ → ℝ une fonction continue bornée. Etudier les limites des intégrales suivantes: =∫ ( ) ( ) =∫ , ( ) =∫ et Exercice 3 : 1- Montrer que: → 2- En déduire que: =∫ ∫ =∫ ∫ → . Exercice 4 : Pour ( , ) ]0,1[ × ℕ, on pose: ( )= , =∫ ( ) et ( )= . 1- Montrer que est intégrable sur ]0,1[ . 2- En déduire que pour tout ℕ, est intégrable sur ]0,1[ . 3- Montrer que la suite ( ) ℕ est convergente. 4- Etablir l'égalité suivante: 1 ∀ ℕ∗ ∶ − = 4 et en déduire que: = ∑ Exercice 5 : Considérons la fonction f définie sur ([0, +∞[) par : 1 . SERIE N2 Intégrales dépendants d'un paramètre. 2018/2019 (1 + 1+ ( , )= ) 1) Etudier la dérivabilité de f par rapport à y sur [0, +∞[ et calculer ( , ). ( )=∫ 2) Posons ( , ) a- Montrer que I est dérivable sur [0, +∞[ et calculer ′( ). b- Montrer que : (1 + ) I′( ) = + (1 + ) 2(1 + ) 3) En utilisant une intégration par parties, montrer que : 1+ = 1 2 ∗ (1 + ( ) )− 1 2 4) En déduire ( ) 5) Donner la valeur de ∫ . Exercice 6 : Soit : ℝ → ℝ définie par: ( )=∫ . 1) Montrer que f est dérivable sur ℝ et calculer ′( ). (0) 2) Calculer ( ) et lim → ( ). et déterminer lim → ( )= ( ) 3) Posons a- Montrer que g est dérivable sur ℝ et que: ′( ) = −2 . ∫ b- En déduire que: ∀ c- Conclure que: ℝ: ∫ ( )+ ∫ = 2 √ = . . (1 + ) (1 + )