Décomposition en facteurs premiers - Les

Divisibilité et division euclidienne - TS
Décomposition
en facteurs
premiers
Problème : Les
nombres de
Fermat
Décomposition en facteurs premiers
Les nombres de Fermat
Cours :
Décomposition en
facteurs premiers
LPO de Chirongui
5 juillet 2015
1 - Problème : Les nombres de Fermat- I
Décomposition
en facteurs
premiers
Problème : Les
nombres de
Fermat
Cours :
Décomposition en
facteurs premiers
En 1640 le mathématicien Pierre de Fermat pensait que tous les
n
nombres Fn = 22 + 1 étaient premiers (on appelle ces nombres les
nombres de Fermat).
Vérifiez à l’aide de votre calculatrice que F0 , F1 , F2 , F3 et F4 sont premiers.
En 1732, Euler prouve que F5 n’est pas premier. On le vérifie facilement
aujourd’hui avec un logiciel comme Xcas. Vérifiez le en entrant
5
5
factoriser _entier (22 + 1) ou factor ((22 + 1)
Que pensez-vous de F6 ?
Aujourd’hui encore factoriser un nombre de Fermat...est long et compliqué.
Sachant que F30 s’écrit avec 108 chiffres et que vous écrivez 5 chiffres par
seconde, combien vous faudrait-il de temps pour écrire F30 ?
Vérifiez que tous les nombres de Fermat sont impairs.
Démontrez par récurrence que pour tout entier n non nul
F0 F1 . . . Fn−1 = Fn − 2
Déduire des deux questions précédentes que si d est un diviseur commun à
2 nombres de Fermat alors d = 1
Sachant que tout entier admet au moins un facteur premier, déduire de ce
qui précède une démonstration de l’infinité des nombres premiers.
2 - Cours : Décomposition en facteurs premiers- I
Décomposition
en facteurs
premiers
Problème : Les
nombres de
Fermat
Cours :
Décomposition en
facteurs premiers
Savoir faire
Théorème:
Déterminer les
diviseurs d’un entier
Exercices
Déterminer le
nombre de diviseurs
d’un entier
Exercices
Tout entier naturel au moins égal à 2 est premier ou produit de
nombres premiers.
2 - Cours : Décomposition en facteurs premiers- II
Décomposition
en facteurs
premiers
Problème : Les
nombres de
Fermat
Cours :
Décomposition en
facteurs premiers
Savoir faire
Déterminer les
diviseurs d’un entier
Exercices
Déterminer le
nombre de diviseurs
d’un entier
Exercices
Démonstration:
On raisonne par l’absurde.
La propriété est vraie pour les premiers entiers :
2; 3; 4 = 22 : 5; 6 = 2x 3...
Supposons qu’elle ne soit pas vraie pour tous les entiers et notons n
le premier entier ni premier, ni produit de nombres premiers.
n admet un diviseur premier p et on peut donc écrire n = p × d où
1 < d < n.
Comme n est le premier entier ne satisfaisant pas la propriété, d la
satisfait mais l’écriture n = p × d même alors à une contradiction.
2 - Cours : Décomposition en facteurs premiers- III
Décomposition
en facteurs
premiers
Problème : Les
nombres de
Fermat
Cours :
Décomposition en
facteurs premiers
Théorème:
Savoir faire
Déterminer les
diviseurs d’un entier
Exercices
Déterminer le
nombre de diviseurs
d’un entier
Exercices
admis
La décomposition d’un entier naturel n en produit de nombres
premiers est unique
2 - Cours : Décomposition en facteurs premiers- IV
Décomposition
en facteurs
premiers
Problème : Les
nombres de
Fermat
Cours :
Décomposition en
facteurs premiers
Savoir faire
Déterminer les
diviseurs d’un entier
Exemple
Soit n un entier égal au carré d’un entier m (c.a.d n = m2 ) dont la
décomposition en facteurs premiers est
m = p1a1 × p2a2 × . . . × pkak =
Exercices
piai
i=1
Exercices
Déterminer le
nombre de diviseurs
d’un entier
k
Y
où p1 , p2 , . . . , pk sont des nombres premiers.
Alors
m2 = p12a1 × p22a2 × . . . × pk2ak =
k
Y
pi2ai
i=1
On peut de ce fait facilement caractériser les carrés parfaits par leur
décomposition en facteurs premiers
2 - Cours : Décomposition en facteurs premiers- V
Décomposition
en facteurs
premiers
Algorithme de décomposition en facteurs premiers :
Problème : Les
nombres de
Fermat
Cours :
Décomposition en
facteurs premiers
Savoir faire
Déterminer les
diviseurs d’un entier
Exercices
Déterminer le
nombre de diviseurs
d’un entier
Exercices
2 - Cours : Décomposition en facteurs premiers- VI
Décomposition
en facteurs
premiers
Problème : Les
nombres de
Fermat
Propriété:
Cours :
Décomposition en
facteurs premiers
Savoir faire
Déterminer les
diviseurs d’un entier
Exercices
Déterminer le
nombre de diviseurs
d’un entier
Exercices
Une caractérisation des diviseurs d’un entier
Un entier naturel d divise un entier naturel n si, et seulement si, les
exposants des facteurs premiers de la décomposition de d sont au
plus égaux à ceux de la décomposition de n.
Autrement dit, il n’existe pas dans la décomposition de d un nombre
premier qui ne soit pas présent dans la décomposition de de n.
2 - Cours : Décomposition en facteurs premiers- VII
Décomposition
en facteurs
premiers
Problème : Les
nombres de
Fermat
Démonstration:
Exercices
Supposons que l’entier d divise n. Soit p un facteur premier de d apparaissant
avec l’exposant α.
p α divise d, donc divise n. Donc p apparaît au moins avec l’exposant α dans la
décomposition de n.
Réciproquement,supposons que tous les facteurs premiers de d soient des
facteurs premiers de n.
Déterminer le
nombre de diviseurs
d’un entier
Alors n = p1α1 × p2α2 × . . . × pk k =
Cours :
Décomposition en
facteurs premiers
Savoir faire
Déterminer les
diviseurs d’un entier
Exercices
α
k
Q
α0
α0
α0
piαi et d = p1 1 × p2 2 × . . . × pk k =
i=1
i=1
avec ∀i, 0 ≤ α0i ≤ αi Dans ce cas d divise n et
n=d×
α −α0
p1 1 1
×
α −α0
p2 2 2
× ... ×
α −α0
pk k k
k
Q
=d×
k
Y
i=1
α −α0
pi i i
!
α0i
pi
2 - Cours : Décomposition en facteurs premiers- VIII
Décomposition
en facteurs
premiers
Problème : Les
nombres de
Fermat
Cours :
Décomposition en
facteurs premiers
Savoir faire
Déterminer les
diviseurs d’un entier
Exemple
12 = 22 x 3.
Les diviseurs positifs de 12 sont donc les entiers s’écrivant sous la
forme 2β × 3γ , avec 0 ≤ β ≤ 2 et 0 ≤ γ ≤ 1, c’est-à-dire les entiers :
Exercices
Déterminer le
nombre de diviseurs
d’un entier
20 30 ; 21 30 ; 22 30 ; 20 31 ; 21 31 ; 22 31
Exercices
1; 2; 4; 3; 6; 12
2 - Cours : Décomposition en facteurs premiers- Savoir faire I
Décomposition
en facteurs
premiers
Problème : Les
nombres de
Fermat
Cours :
Décomposition en
facteurs premiers
Savoir faire
Déterminer les
diviseurs d’un entier
Savoir Faire:
Exercices
Déterminer le
nombre de diviseurs
d’un entier
Exercices
Déterminer les diviseurs de 150
2 - Cours : Décomposition en facteurs premiers- Savoir faire II
Décomposition
en facteurs
premiers
Problème : Les
nombres de
Fermat
Cours :
Décomposition en
facteurs premiers
Correction:
150 = 2x 3x 52 .
Ses diviseurs sont de la forme
Savoir faire
Déterminer les
diviseurs d’un entier
2α x 3β x 5γ
Exercices
Déterminer le
nombre de diviseurs
d’un entier
Exercices
avec
α ∈ {0; 1}, β ∈ {0; 1}, γ ∈ {0; 2}
Il y a donc 2x 2x 3 = 12 diviseurs .
On peut obtenir tous les diviseurs
de 12 à l’aide d’un arbre.
2 - Cours : Décomposition en facteurs premiers- Exercices I
Décomposition
en facteurs
premiers
Problème : Les
nombres de
Fermat
Exercice 1
Cours :
Décomposition en
facteurs premiers
Savoir faire
Déterminer les
diviseurs d’un entier
Décomposer 231 en facteurs premiers et, à l’aide d’un arbre,
donner tous ses diviseurs positifs.
Exercices
Déterminer le
nombre de diviseurs
d’un entier
Exercices
Soit p un nombre premier. Quels sont les diviseurs positifs de
p2 ?
Quels sont les entiers qui admettent exactement 3 diviseurs
positifs ?
2 - Cours : Décomposition en facteurs premiers- Savoir faire
Décomposition
en facteurs
premiers
Problème : Les
nombres de
Fermat
Cours :
Décomposition en
facteurs premiers
Savoir faire
Déterminer les
diviseurs d’un entier
Exercices
Déterminer le
nombre de diviseurs
d’un entier
Exercices
Savoir Faire:
Peut-on trouver un entier naturel b tel que le nombre de
diviseurs A = 50x 2b ait 14 diviseurs dans N ?
Un entier n a pour décomposition en facteurs premiers :
n = p a q b r c (où p, q, r sont des nombres premiers). Quel est le
nombre de diviseurs positifs de n ?
En s’aidant de l’algorithme et du programme de décomposition
en facteurs premiers proposé dans le cours , écrire un
programme pour la calculatrice retournant le nombre de
diviseurs de l’entier naturel non nul N donné en entrée.
2 - Cours : Décomposition en facteurs premiers- Savoir faire I
Décomposition
en facteurs
premiers
Problème : Les
nombres de
Fermat
Cours :
Décomposition en
facteurs premiers
Savoir faire
Déterminer les
diviseurs d’un entier
Exercices
Déterminer le
nombre de diviseurs
d’un entier
Exercices
Correction:
On décompose A en facteurs premiers :
A = (2x 52 )2b = 52 × 2b+1 = 52 × 2a ,
où a = b + 1 est un entier naturel non
nul. On construit un schéma de l’arbre
( on ne connaît pas la valeur de a) On
en déduit le nombre de diviseurs de A :
3(a + 1). Comme 14 n’est pas divisible
par 3, on ne peut pas donner à b de
valeur satisfaisant la condition
imposée.
Si n = p a q b r c et en appliquant le
principe multiplicatif (principe de
l’arbre) : le nombre de diviseurs de n
est égal à (1 + a)(1 + b)(1 + c).
2 - Cours : Décomposition en facteurs premiers- Savoir faire II
Décomposition
en facteurs
premiers
Problème : Les
nombres de
Fermat
Cours :
Décomposition en
facteurs premiers
Savoir faire
Déterminer les
diviseurs d’un entier
Exercices
Déterminer le
nombre de diviseurs
d’un entier
Exercices
Correction:
Un entier N ayant pour décomposition en
α
facteurs premiers p1α1 ×p2α2 ×. . .×pk k =
k
Q
piαi possède (α1 +1)×(α2 +1)×. . .×
i=1
(αk + 1) diviseurs positifs.
Dans le programme de décomposition
donné dans le cours ci-contre, on introduit une variable S qui prendra successivement les valeurs (α1 + 1), (α2 +
1), . . . , (αk + 1) et une variable P qui
prendra successivement les valeurs :
1; (α1 + 1); (α1 + 1) × (α2 + 1); (α1 + 1) × (α2 + 1) × (α3 + 1); . . .
. . . ; (α1 + 1) × (α2 + 1) × . . . × (αk + 1)
2 - Cours : Décomposition en facteurs premiers- Exercices I
Décomposition
en facteurs
premiers
Problème : Les
nombres de
Fermat
Cours :
Décomposition en
facteurs premiers
Exercice 2
Savoir faire
Déterminer les
diviseurs d’un entier
Quel est le nombre de diviseurs positifs de l’entier :
Exercices
Déterminer le
nombre de diviseurs
d’un entier
Exercices
23 × 56 × 11 × 1710 × 215