Académie des sciences (France). Comptes

ACADÉMIE
2II6
ALGÈBRE.
Note
(*) de
Étude
(Par
diviseur
Sur
M.
MARCEL
des anneaux
anneaux
entendons
où tout
SCIENCES.
ou
semi-principaux
présentée
CIiADEYRAS,
intègres
nous
intègre,
de o;
les
DES
par
idéal de type
d'idéaux
par semi-local,
et propriétés.
Un anneau
A sera
1. Définition
est intègre
et si tout
idéal de type
fini est principal.
Ceci équivaut
à
A est intègre
et deux
éléments
p. g. c. d.
donné
par
l'identité
Ce diagramme
nous
ci-dessous
propriétés
Pour
principal.
anneau
il suffit
pousse
figurent
René
Garnier.
élément
unité
et
sans
maximaux.)
dit semi-principal
s'il
ont
quelconques
un
de Bezout
à adopter
le terme
dans
(2).
« semi-principal
». Certaines
il faut et il suffit qu'il soit nœthérien
que A soit principal
Pour
il faut et il suffit que
que A soit semi-principal
de Prüfer
avec p. g. c. d. Pour
que A soit de valuation
et local.
qu'il soit semi-principal
d'anneaux
<p un homomorphisme
de type fini est principal,
il en est de même
de A semi-principal,
est idéal premier
A/p
Soit
La propriété
d'être
semi-principal
relatifs
à un système
multiplicatif.
son corps des fractions,
l'ensemble
nant
Bezout.
fini est principal.
avec
commutatif,
nombre
fini
M.
de
A
B.
dans
(A). En
est semi-principal.
se transmet
D'où
des
Si dans
si A est
anneaux
aux
et semice soit
un
il faut
et
tout
A,
idéal
si p
particulier,
anneaux
semi-principal
de valuation
de fractions
et si K est
de
K conte-
A est
à celui des Ap où p est idéal premier
de A. Si m est
identique
d'un anneau
A semi-principal,
idéal premier
les idéaux
contenus
primaires
dans
m sont emboîtés.
On remarque
des idéaux
que la chaîne
primaires
contenus
dans
une intersection
d'idéaux
un plus grand
premiers
possède
« arbre
Et l'on peut
élément
d'un
» des idéaux
qui est premier.
parler
primaires.
2. Exemples
un
anneau
Alors
Cette
d'anneaux
semi-local
semi-principaux.
et intègre,
et P un
Soient
PROPOSITION.
A-module
f de
projecti
type
A
fini.
P est libre.
propriété
Elle
noethérien.
généralise
sera montrée
une
propriété
à l'aide
des
connue
dans
le cas
lemmes
suivants
où
A est
1. — Soient
LEMME
et
maximal
I°
y1,
20
m,
L
y2,
yn
sur
Libre
classes
NOVEMBRE
1960.
type
base
Il
fini.
L
de
2117
à élément
commutatif
de
une
forment
les
de L/mL
A un anneau
A-module
un
14
DU
SÉANCE
sur
a
y
de
équivalence
A;
y2,
y1 = y1 + mL,
son spectre
unité,
une
yn forment
base
A/nt.
Soient A un anneau
2 (Serre).
intègre, P un A-module projectif
de m.
de type fini. Alors [P/tttP
A/nt] est indépendant
P est
de A. Comme
maximaux
Soient
donc tttt,
ttta les idéaux
direct d'un module libre L de type fini
L=PP'.
il est facteur
projectif,
D'où L/mi L = P/mi PP'/mi
P'.
sur A/m¡. Soient (xi1,
est un espace vectoriel
Chacun des facteurs
xiq)
LEMME
et
est
des
x;.)
(xiq+1,
bases
Le
respectives.
2.
de mi, par le lemme
indépendant
Un lemme de Serre montre
l'existence,
pour
lemme
Le
que
— Les
THÉORÈME.
A est
b. A est
un
propriétés
de Prüfer
anneau
est
sont
suivantes
=
j
i,
une
ces
de
de
r
2,
base
bases
de
L,
donc
équivalentes
semi-local;
et semi-local;
semi-principal
d'un
A est intersection
c.
tout
yr)
(y,,
P.
que
de
base
une
yq) est
(y1,
a.
alors
1 montre
d'éléments
nombre
nombre
d'un
de valuation
d'anneaux
fini
même
corps.
Pour
Soient
A,, A2,
d'inclusion
relation
sont
An
entre
eux,
et
le résultat
utilise
dont
de
valuation
idéaux
les
suivant
(5)
K, sans
corps
maximaux
respectifs
d'un
pose
Alors les Pi sont
tions et Ai = BPi.
(*)
Séance
(1)
CARTIER,
III,
on
précède,
des anneaux
mn.
m1,
On
ce qui
outre
cela,
du
les idéaux
7 novembre
des
Rationalité
ig6o.
diviseurs
en
Géométrie
algébrique
des frac-
son corps
de B, K est
maximaux
(Bulletin
de
la
S. M.
I958).
(2)
JAFFARD,
(3)
SERRE,
Les
Modules
Paris,
Dunod,
d'idéaux,
à
et espaces
fibrés
projectifs
1960.
systèmes
fibre
vectorielle,
Séminaire
Dubreil,
I957-I958.
(4)
ZARISKI-SAMUEL,
(5)
Cf.
BOURBAKI,
Commutative
Algèbre
algebra,
commutative.
1958,
1960.
(Faculté
des
Sciences,
Clermont-Ferrand.)
F.,