Exercices - Page Personnelle de Jérôme Von Buhren

Interrogation orale - Anneaux, corps et algèbres
Jérôme Von Buhren - http://vonbuhren.free.fr
Anneaux, corps et algèbres
1
Exercice 4 : Soit (A, +, ×) un anneau commutatif. On note
N = {a ∈ A | ∃n ∈ N, an = 0}.
Les anneaux
Exercice 1 : Soit E un ensemble ni.
1. Montrer que (P(E), ∆, ∩) est un anneau.
2. Déterminer les éléments inversibles de P(E).
3. On suppose que E est ni. Soit I un idéal de P(E).
(a) Montrer que si X ∈ I , alors P(X) ⊂ I .
(b) Montrer que si (X, Y ) ∈ I 2 , alors X ∪ Y ∈ I .
(c) En déduire que les idéaux de P(E) sont les P(F ) avec F ∈ P(E).
4. On suppose que E est inni. On pose
Montrer que N est un idéal de A.
Exercice 5 : Soient (A, +, ×) un anneau commutatif et I, J ⊂ A deux idéaux.
On note
R(I) = {x ∈ A | ∃n ∈ N, xn ∈ I}.
1. Montrer que R(I) est un idéal de A contenant I .
2. Montrer que
R(I ∩ J) = R(I) ∩ R(J) et R(I) + R(J) ⊂ R(I + J).
3. Si A = Z et I = nZ pour n ∈ N, déterminer R(I).
I = {X ∈ P(E) | X est ni}.
(a) Montrer que I est un idéal de P(E).
(b) Montrer que I n'est pas de la forme P(F ) avec F ∈ P(E).
Exercice 2 : Soit (A, +, ×) un anneau. Pour a ∈ A, on note
fa : A → A,
Exercice 6 : Soit (A, +, ×) un anneau commutatif. On note
N = {a ∈ A | ∃n ∈ N, an = 0}.
Montrer que N est un idéal de A.
x 7→ ax.
Exercice 7 : Soient (A, +, ×) un anneau et (a, b) ∈ A2 .
1. Montrer que f est un morphisme de groupes.
1. Montrer que si ab est nilpotent si et seulement si ba est nilpotent.
2. On suppose que A est ni. Soit a ∈ A. Montrer que a est inversible ou est 2. Montrer que si a est nilpotent, alors 1 − a est inversible.
un diviseur de 0.
3. Montrer que si a est nilpotent et b inversible, alors a + b est inversible.
3. Soit B un sous-anneau ni de A. Montrer que B × = A× ∩ B .
Exercice 3 : Soient (A, +, ×) un anneau et (a, b) ∈
1 − ab ∈ A×
⇔
A2 .
Montrer que
Exercice 8 : On considère (A, +, ×) un anneau tel que x2 = x pour tout x ∈ A.
Montrer que A est commutatif.
1 − ba ∈ A× .
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Exercice 9 : On considère (A, +, ×) un anneau tel que x3 = x pour tout x ∈ A. Exercice 14 : On note A l'ensemble
nm
o
1. Déterminer les éléments nilpotents de A.
A=
∈ Q m ∈ Z, n ∈ 2N + 1 .
n
2. Soient e ∈ A tel que e2 = e, a ∈ A et b = ea(1 − e).
1. Montrer que A est un sous-anneau de (Q, +, ×).
(a) Calculer b2 et en déduire que ea = ae.
(b) En déduire que x2 commute avec les éléments de A pour tout x ∈ A. 2. Déterminer les inversibles de A.
3. Déterminer les idéaux de A.
3. Montrer que A est commutatif.
Exercice 15 : On note P l'ensemble des nombres premiers. Pour A un sousanneau de (Q, +, ×), on note
Exercice 10 : On considère
Z[i] = {a + ib ∈ C | (a, b) ∈ Z2 }.
P (A) =
1. Montrer que Z[i] est un sous-anneau de (C, +, ×).
2. Déterminer les éléments inversibles de Z[i].
3. Déterminer les automorphismes de Z[i].
Exercice 11 : Soit d ∈ N tel que
1. Soient A et B sont deux sous-anneaux de (Q, +, ×). Établir
P (A) = P (B)
√
d∈
/ N. On considère
√
√
Z[ d] = {a + b d ∈ R | (a, b) ∈ Z2 }.
√
1. Montrer que Z[ d] est un sous-anneau de (R, +, ×).
√
√
2. Montrer que a + b d ∈ Z[ d] est inversible ssi a2 − db2 = ±1.
√
3. Déterminer les automorphismes de Z[ d].
Exercice 12 : Déterminer les morphismes d'anneaux de Zn dans Z.
1
p∈P ∈A
p
⇒
A = B.
2. Soit P un sous-ensemble de P . Déterminer un sous-anneau A de (Q, +, ×)
vériant P (A) = P .
Exercice 16 : Soit (A, +, ×) un anneau. On appelle caractéristique de A l'ordre
de 1A dans le groupe (A, +). On suppose que A est de caractéristique nie n.
1. Montrer que nx = 0 pour tout x ∈ A.
2. Démontrer que si A est intègre, alors n est un nombre premier.
3. Démontrer que si A est intègre et commutatif, alors x 7→ xn est un morphisme d'anneaux.
Exercice 13 : Soit D l'ensemble des nombres décimaux.
1. Montrer que D est un sous-anneau de (Q, +, ×).
2. Déterminer les inversibles de D.
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Exercice 17 : Pour d ∈ N, on considère
Exercice 22 : Résoudre le système suivant.
Ad = {(x, y) ∈ Z2 | d | (y − x)}.
1. Montrer que Ad est un sous anneau (Z2 , +, ×).
2. Soit A un sous-anneau de (Z2 , +, ×).
(a) Montrer que H = {x ∈ Z | (x, 0) ∈ A} est un sous groupe de (Z, +).
(b) En déduire qu'il existe d ∈ N tel que A = Ad .
3. Soit I un idéal de Z2 . On note
I1 = {x ∈ Z | (x, 0) ∈ I} et I2 = {x ∈ Z | (0, x) ∈ I}.
2
L'anneau
2.1
Exercice 23 : Montrer que le groupe (Z/20Z)× est isomorphe à Z/2Z × Z/4Z.
Exercice 24 : Soit n ∈ N avec n > 3.
n−2
1. Soit a ∈ N impair. Montrer que a2 ≡ 1[2n ].
2. Le groupe (Z/2n Z)∗ est-il cyclique ?
2.2
(a) Montrer que I1 et I2 sont des idéaux de Z.
(b) Montrer que I = I1 × I2 .
(c) En déduire les idéaux de l'anneau (Z2 , +, ×).
x + y ≡ 4 [11]
xy ≡ 10 [11]
Indicatrice d'Euler
Exercice 25 : Montrer que pour tout n ∈ N avec n > 2, on a
ϕ(n) >
Z/nZ
n ln 2
.
ln n + ln 2
Exercice 26 : Montrer que ϕ(n) est pair pour tout n ∈ N avec n > 3.
Généralités
Exercice 27 : Soit n ∈ N∗ .
1. Soit d ∈ N avec d | n. Déterminer le cardinal de l'ensemble
Exercice 18 : Résoudre l'équation 7̄x = 2̄ dans Z/37Z.
Exercice 19 : Résoudre l'équation x2 + x + 7̄ = 0̄ dans Z/13Z.
{k ∈ J1, nK | k ∧ n = d}.
2. En déduire la relation
Exercice 20 : Résoudre l'équation x2 − 4̄x + 3̄ = 0̄ dans Z/12Z.
n=
X
d|n
Exercice 21 : Résoudre les systèmes suivants.
(i)
x ≡ 1 [6]
x ≡ 2 [7]
(ii)
3x ≡ 2 [5]
5x ≡ 1 [6]
(iii)
x ≡ 2 [10]
x ≡ 5 [13]
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ϕ(d).
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Exercice 28 : Soit B ∈ Mn (R) la matrice donnée par
bij =
1
si
i|j
0 sinon.
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Exercice 34 : Montrer qu'un morphisme d'anneaux entre corps est injectif.
Exercice 35 : Soit K un corps. On considère
et D = Diag(ϕ(1), . . . , ϕ(n)) ∈ Mn (R). On rappelle que
∀n ∈ N∗ ,
n=
X
ϕ(d).
A = {F ∈ K(X) | F (X) = F (1/X)}.
Montrer que A est un sous-corps de K(X).
d|n
Exercice 36 : Soit K un corps ni. Calculer
x.
1. Calculer la matrice B T DB .
∗
x∈K
2. En déduire le déterminant de la matrice de Smith S ∈ Mn (R) donnée par
Y
∀(i, j) ∈ J1, nK2 ,
3
sij = i ∧ j.
Exercice 37 : Déterminer les automorphismes d'anneaux de Q.
Corps
Exercice 38 : Déterminer les automorphismes d'anneaux de C dont la restricExercice 29 : Soit A un anneau intègre commutatif ni. Montrer que A est tion de f à R est l'identité.
un corps.
Exercice 39 : Soit f : R → R un automorphisme de corps.
Exercice 30 : Soit A un anneau commutatif non nul dont les seuls idéaux sont 1. Montrer que pour tout x ∈ Q, on a f (x) = x.
{0} et A. Montrer que A est un corps.
2. Montrer que f est croissante.
3. Conclure que f est l'identité.
Exercice 31 : Soit A un anneau intègre non nul. On suppose que l'anneau A
ne possède qu'un nombre ni d'idéaux. Montrer que A est un corps.
4
Algèbres
Exercice 32 : Montrer que Q[i] = {a + ib ∈ C | a, b ∈ Q} est un corps.
Exercice 33 : Soit d ∈ N tel que
Exercice 40 : On considère


 a b c
A =  c a b  ∈ M3 (R)

b c a
√
d∈
/ N. Montrer que
√
Q[ d] = {a + b d ∈ R | (a, b) ∈ Q2 }
√


(a, b, c) ∈ R3 .

1. Montrer que A est une sous-algèbre commutative de M3 (R).
2. Déterminer la dimension de A.
est un corps.
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Exercice 41 : Dans R[X], on considère
A = Vect(X n | n > 2).
1. Montrer que A est une sous-algèbre de R[X].
2. Montrer que A n'est pas isomorphe à R[X].
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Exercice 46 : On note A l'ensemble des matrices de Mn (K) dont la somme
des lignes et des colonnes est constante.
1. Montrer que A est une sous-algèbre de Mn (K).
2. On dénit s : A → K par
∀M ∈ Mn (K),
n
X
m1k .
k=1
Exercice 42 : Soit K un corps. On considère
Montrer que l'application s est un morphisme d'algèbre.
A = {F ∈ K(X) | deg(F ) 6 0}.
1. Montrer que A est une sous-algèbre de K(X).
2. Déterminer les éléments inversibles de A.
3. Déterminer les idéaux de A.
s(M ) =
Exercice 47 : Soit A une algèbre sur un corps K. Pour a ∈ A, on note
fa : A → A,
x 7→ ax.
1. Montrer que fa est une application linéaire.
2. Montrer que l'application f : A 7→ L (A), a 7→ fa est linéaire.
3. En déduire que si A est de dimension nie n, alors A est isomorphe à une
sous-algèbre de Mn (K).
Exercice 43 : Déterminer les sous-algèbres de dimension nie de C 0 (R, R).
Exercice 44 : Soit A une algèbre intègre, commutative et de dimension nie
sur le corps R.
Exercice 48 : Soit A une algèbre sur un corps K. Pour a ∈ A, on note
1. Montrer que A est un corps.
fa : A → A, x 7→ ax.
2. Montrer que pour tout élément a ∈ A, il existe un polynôme P ∈ R2 [X]
non nul tel que P (a) = 0.
1. Montrer que f est une application linéaire.
3. En déduire que l'algèbre A est isomorphe à C.
2. On suppose que A est de dimension nie. Soit a ∈ A.
(a) Montrer que a est inversible ou est un diviseur de 0.
(b) Montrer que
Exercice 45 (Quaternion) : On considère
A=
a b
−b̄ ā
∀a ∈ A× ,
2
∈ M2 (C) (a, b) ∈ C .
∃P ∈ K[X],
a−1 = P (a).
3. Soit B une sous-algèbre de dimension nie de A. Montrer que B × = A× ∩B .
4. Donner des contres-exemples aux résultats précédents lorsque l'hypothèse
de dimension nie n'est pas vériée.
1. Montrer que A est une sous-algèbre sur R non commutative de M2 (C).
2. Montrer que tout élément non nul de A est inversible.
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Exercice 31 : Pour x ∈ A non nul, considérer les idéaux xn A pour n ∈ N.
Solutions
√
Exercice 3 : Commencer par traiter le cas où ab est nilpotent, an de trouver Exercice 39 : Si x < y , alors f (y − x) = f ( y − x)2 , donc f (y) > f (x).
le candidat pour l'inverse de 1 − ba. En notant c l'inverse de 1 − ab, l'inverse de Finalement, on a pour x ∈ R l'égalité
1 − ba est 1 + bca.
x = sup{q ∈ Q | q < x} = sup{q ∈ Q | q < f (x)} = f (x),
Exercice 9 : Seul 0 est nilpotent. On remarque que 2x = (x + 1)2 − x2 − 1,
donc 2x commutent avec les éléments de A. De plus, en développant (x+1)3 , on d'où le résultat.
obtient que 3x = −3x2 , donc 3x commutent avec les éléments de A. On conclut
Exercice 42 : Les éléments inversibles et les idéaux de A sont
avec x = 3x − 2x.
A× = {F ∈ K(X) | deg(F ) = 0} et Ik = {F ∈ K(X) | deg(F ) 6 −k}
Exercice 13 : Les inversibles sont les 2k 5` avec k, ` ∈ Z.
Exercice 14 : Les inversibles sont les rationnels m/n avec m et n impairs. Les pour k ∈ N.
idéaux de A sont les 2k A avec k ∈ N.
Exercice 43 : On a nécessairement A = Vect(1). En eet, si f ∈ A est non
constant
et P ∈ R[X] tel que P (f ) = 0, alors P (x) = 0 pour tout x ∈ f (R). On
Exercice 24 : Montrer le résultat par récurrence sur n.
en déduit que P = 0, donc la famille (f n )n∈N est libre.
α1
Exercice 25 : Si n = p1 · · · pαr r est la décomposition primaire de n, alors
1
1
ϕ(n) = n 1 −
··· 1 −
.
p1
pr
Comme 2 6 p1 < p2 < · · · < pr , on a
1
ϕ(n) > n 1 −
2
1
1
n
1−
··· 1 −
=
.
3
r+1
r+1
Finalement, on a facilement r 6 ln2 (n), d'où le résultat.
Exercice 28 : Si on note A = B T DB , on a alors
aij =
n
X
k=1
bki ϕ(k)bkj =
X
ϕ(k) =
k|i k|j
Comme det(B) = 1, on en déduit que det(S) =
X
ϕ(k) = i ∧ j.
k|i∧j
k=1 ϕ(k).
Qn
6/6