Programme : récapitulatif

Programme : récapitulatif
Groupes
1. définition, élément neutre, inverse;
2. notations pour les lois :
· : a · b ou ab
+ : a+b
∗
3. actions des groupes :notions d’orbite, stabilisateur,équation
aux classes;
Groupes cycliques
Z/nZ
éléments : classes
0̄ de 0
1̄ de 1
...
n − 1 de n − 1.
Par abus de notation, on note souvent a pour la classe de a (et pas
ā)
Si b ∈ Z, on a b̄ = la classe r¯ du reste r de b de la division par n.
Régles de calcul : ā + b̄ = a + b.
Exemple :n = 7, 3 + 1 = 4, 6 + 4 = 10 = 3.
Anneaux
1. définition, deux lois +, ·;
2. notations pour les lois :
+ groupe commutatif, 0 élément neutre
· la loi multiplicative, 1 élément neutre
3. anneau intègre : définition;
4. idéaux;
5. idéal premier, deux définitions équivalentes :
I
I
un idéal I ⊂ A tel que A/I est intègre ;
un idéal I ⊂ A tel que si fg ∈ I , alors f ∈ I ou g ∈ I .
6. idéal maximal : un idéal I ⊂ A tel que A/I est un corps.
7. idéaux dans k[x]: I = (P) est premier ⇔ I est maximal ⇔ est
irréductible. Exemples : P = x, P = x + 1, k = R et
P = x 2 + 1, P un polynôme de degré 2 sans racines dans k.
Anneaux (exemples)
1. Anneaux principaux, exemples : Z, k[x], algorithme d’Euclide,
algorithme étendu.
2. Anneaux quotients :
2.1 Z/nZ, régles de calcul : ā + b̄ = a + b, ā · b̄ = a · b.
2.2 A = k[x]/(P), P = an x n + an−1 x n−1 + . . . + a1 x + a0
si α est la classe x̄ de x on a
an αn + an−1 αn−1 + . . . + a1 α + a0 = 0 dans A
éléments de A : constantes de k, α, α2 , . . . , αn−1 ,
tout élément s’écrit comme b0 + b1 α + . . . + bn−1 αn−1
exemple A = R[x]/(x 2 + 1), α2 + 1 = 0 et
α(α + 2) = α2 + 3α = −1 + 3α.
3. la fonction indicatrice d’Euler.
4. polynômes irréductibles dans Z[X ], critère d’Eisenstein.
Corps
1. extensions de corps, corps de rupture, corps de décomposition:
définitions.
2. corps finis :
2.1
2.2
2.3
2.4
Fp , Fq ,
Fq 6= Z/qZ si q n’est pas premier;
F∗q est cyclique;
construction de F∗q en utilisant les polynômes irréductibles,
génératereurs du groupe cyclique F∗q .