TD 7 - Anneaux, Idéaux

FIMFA 2007-2008-TD d’algèbre I
Rachel Ollivier
TD 7 - Anneaux, Idéaux
Exercice 1. Montrer que Z[X] est un anneau factoriel non principal.
√
√
Exercice 2. On considère A = Z[√ 10] l’ensemble des nombres réels de la forme a + b 10 avec a, b ∈ Z. On définit
l’application N : A → Z, N (a + b 10) = a2 − 10b2 .
1. Vérifier que A est un anneau.
2. Montrer que pour tous x, y ∈ A, N (x)N (y) = N (xy). En déduire la forme des inversibles de A.
3. Montrer que 2 est irréductible dans A.
4. Montrer que 2 n’est pas un élément premier dans A.
√
√
Exercice 3. Soit A = Z[i 5] l’ensemble des nombres complexes de la forme a + bi 5 avec a, b ∈ Z.
1. Vérifier que A est un anneau. Quels sont les éléments inversibles de A ?
√
2. Soient x = 3 et y = 2 + i 5. Monter que les éléments x et y sont premiers entre eux non inversibles.
3. Montrer que x et y n’ont pas de PPCM.
√
4. Soient z = 9 et t = 3(2 + i 5). Montrer que z et t n’ont pas de PGCD.
5. Rappeler pourquoi, dans un anneau intègre, un élément non nul premier est irréductible. Montrer que 3 est
irréductible dans A mais pas premier. Que peut-on dire de A ?
Exercice 4 (Théorème des deux carrés). Soit A = Z[i] l’anneau des entiers de Gauss et
Σ = {a2 + b2 , a, b ∈ N}.
1. Déterminer les éléments inversibles de A. (On introduira une “norme “ N comme dans l’exercice 2.)
2. Montrer que Σ est stable par multiplication.
3. Montrer que Z[i] est euclidien.
4. Soit p un nombre premier. Montrer que p ∈ Σ si et seulement si p n’est pas irréductible dans Z[i]. (On remarquera
que l’anneau Z[i]/pZ[i] est isomorphe à Fp [X]/(X 2 + 1).)
5. Soit p un nombre premier. Montrer que p ∈ Σ si et seulement si p = 2 ou p ≡ 1 mod 4.
6. Soit n ∈ N, n ≥ 2 et n = Πpvp (n) sa décomposition en facteurs premiers. Montrer que n ∈ Σ si et seulement si
vp (n) est pair pour p ≡ 3 mod 4.
7. Déterminer les éléments irréductibles de Z[i].
Exercice 5.
1. Soit A un anneau, I un idéal et on note π la projection A → A/I.
(a) Montrer que les idéaux de A/I sont en bijection avec les idéaux de A contenant I.
(b) Montrer que les idéaux premiers (resp. maximaux) de A/I sont en bijection avec les idéaux premiers (resp.
maximaux) de A contenant I.
2. Déterminer les idéaux premiers de
(a) C[X],
(b) R[X]/(X 2 + X + 1),
(c) R[X]/(X 3 − 6X 2 + 11X − 6),
(d) R[X]/(X 4 − 1).
3. Déterminer les morphismes de R-algèbres de ces anneaux dans R, dans C.
Exercice 6. Soient p un nombre premier impair, ² une racine primitive pième de l’unité et A = Z[²].
1. Montrer que le polynôme Φp = 1+X +...+X p−1 est irréductible sur Q. On pourra appliquer le critère d’Eisenstein
à P (X) = Φp (X + 1).
2. Montrer que A est un groupe libre de rang p − 1 dont une base est donnée par {1, ², ..., ²p−2 }.
1
2
3. Montrer que p n’est pas irréductible dans A (on pourra donner le reste de la division euclidienne de X p−1 +... +1
par X − 1) et que l’intersection de Z avec l’idéal (1 − ²)A est égale à l’idéal pZ de Z. En déduire que A/(1 − ²)A '
Z/pZ.
Exercice 7 (Radical de Jacobson). Soit A un anneau. On définit le radical de A comme l’intersection des idéaux
à gauche maximaux de A. On le note Rad(A). C’est un idéal à gauche de A.
1. Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes
(a) x ∈ Rad(A),
(b) Pour tout a ∈ A, l’élément 1 − ax est inversible à gauche,
(c) Pour tout a ∈ A, l’élément 1 − ax est inversible.
2. (a) Soit M un idéal à gauche maximal et a ∈ A − M . Montrer que
(a : M ) = {x ∈ A, xa ∈ M }
est un idéal à gauche maximal.
(b) Montrer que Rad(A) est l’intersection de tous les idéaux de la forme (a : M ) où M est idéal maximal à
gauche et a ∈ A − M .
(c) En déduire que Rad(A) est un idéal bilatère.
3. Montrer que Rad(A) est égal à l’intersection des idéaux à droite maximaux.
4. Soient K un corps et A le sous-anneau de Mn (K) des matrices triangulaires supérieures.
(a) Montrer que le sous-ensemble R de A des matrices de diagonale nulle est un idéal bilatère de A.
(b) Soit Mi = {(ai,k ) ∈ A, ai,i = 0}. Montrer que Mi est un idéal maximal à gauche de A.
(c) Montrer que Rad(A) = R.
5. Un idéal à gauche I (resp. à droite, bilatère) est dit nilidéal si tout x ∈ I est nilpotent. Montrer qu’un nilidéal
est inclus dans Rad(A).
Exercice 8. Soit O l’ensemble des racines des polynômes unitaires à cœfficients dans Z.
1. Montrer l’équivalence entre les assertions suivantes :
(a) z ∈ O.
(b) Le sous-anneau Z[z] de C engendré par z est un groupe abélien de type fini.
(c) Il existe un sous-anneau de C contenant z qui est un groupe abélien de type fini.
2. Montrer que O est un sous-anneau de C. On l’appelle l’anneau des entiers algébriques. Montrer qu’il n’est pas
noetherien.
3. Si K est un corps de nombres c’est-à-dire une extension finie de Q, on note OK = O ∩ K son anneau d’entiers.
(a) Identifier OQ .
√
√
√
(b) Soit ∆ ∈ Z−{0, 1} sans facteur carré. On pose K = Q( ∆). Pour z = x+y ∆ ∈ K, on pose z̄ = x−y ∆
et
½
N (z) = z z̄,
T (z) = z + z̄.
√
(i) Si ∆ ≡ 2, 3 mod 4 montrer que OK = Z[ ∆].
h √ i
(ii) Si ∆ ≡ 1 mod 4, montrer qur OK = Z 1+2 ∆ .
Exercice 9 (Résultant).
considère l’application
1. Soient k un corps et P, Q ∈ k[X] des polynômes de degrés respectifs p et q. On
R:
kq−1 [X] × kp−1 [X] −→ kp+q−1 [X]
(A, B)
7−→ AP + BQ.
On appelle résultant de P et Q et l’on note Res(P, Q) le déterminant de cette application. A quelle condition
est-il nul ?
2. Application : On appelle nombre algébrique toute racine d’un polynôme à coefficients dans Q. Montrer que
l’ensemble des nombres algébriques est un corps.
Exercice 10. Soit A un anneau commutatif.
1. Soit I un idéal de A et a ∈ A. On note (a : I) := {x ∈ A, ax ∈ I}. On suppose que les idéaux (a : I) et I + aA
sont finiment engendrés. Montrer qu’il en est de même pour I.
2. Déduire de ce qui précède que si tout idéal premier de A est finiment engendré, alors A est noetherien.