programme n°2 - Le site de la MP du lycée Pasteur

Lycée Pasteur MP 2016-2017
Semaine 2 : du 19 au 23 septembre 2016
Groupes
Reprise du programme précédent.
Tout groupe monogène inni est isomorphe à (Z, +). Tout groupe monogène ni de cardinal n
est isomorphe à (Z/nZ, +).
Ordre d'un élément dans un groupe
Élément d'ordre ni d'un groupe, ordre d'un tel élément. Si x est d'ordre ni, l'ordre de x est le
cardinal du sous-groupe de G engendré par x.
Si x est d'ordre ni d et si e désigne le neutre de G, alors, pour n dans Z, on a xn = e ⇐⇒ d|n.
L'ordre d'un élément d'un groupe ni divise le cardinal du groupe. (La démonstration n'est
exigible que pour G commutatif.)
Rappel sur groupe symétrique. Décomposition en produit de cycles, signature, groupe alterné.
Anneaux
Anneau. Produit ni d'anneaux.Les anneaux sont unitaires.
Sous-anneaux. Morphisme d'anneaux. Image et noyau d'un morphisme. Isomorphisme d'anneaux.
Anneau intègre. Corps. Sous-corps. (Les corps sont commutatifs.)
Idéaux d'un anneau commutatif
Idéal d'un anneau commutatif. Le noyau d'un morphisme d'anneaux est un idéal.
Idéaux de Z.
Topologie
Reprise du programme précédent.
Produit ni d'espaces vectoriels normés.
Boules fermées, boules ouvertes, sphères. Convexité des boules. Parties, suites, fonctions bornées.
Suites d'éléments d'un espace vectoriel normé. Suite convergente, divergente. Unicité de la limite.
Caractère borné d'une suite convergente. Opérations algébriques sur les suites convergentes.
Convergence d'une suite à valeurs dans un produit ni d'espaces vectoriels normés.
Suites extraites, valeurs d'adhérence. Une suite ayant au moins deux valeurs d'adhérence diverge.